高中数学苏教版选修2-1讲义第三章3．2空间向量的应用

3.2交间向量的应用

第1课时直线的方向向量与平面的法向量

预

习

入门答辩一辨析何息解疑惑

导

I引

新知自解——自读教材找关键区

知识点1直线的方向向■

入H备科

m，m,的…斯是一组非零共线向量，表示向量m的有向线段所在直线与直线/平行.

问题1：表示向量生，。3,…小的有向线段所在直线与直线/的关系怎样？

提示：平行或重合.

问题2：如何表示。1，。2…圆与直线/的关系呢？

提示：利用一个向量来表示克线/的方向，«|,3…4“与该向量共线..

新at解

宜线/上的向量e(eWO)以及与e共线的非零向量叫做直线/的方向向量.

知识点2平面的法向■

入n备科

直线/与平面。垂直，/”6是平面a内的两条直线.

问题1：表示直线/的方向向量的有向线段所在的直线与平面a是否垂直？

提示：垂直.因为这些直线与/平行或重合.

问题2：直线/的方向向量与直线小A的方向向量是否垂自？

提示：垂直.

新at豫

1.如果表示非零向量〃的有向线段所在直线垂直于平面。，那么称向量〃垂直于平面a,记作”.

此时，我们把向量〃叫做平面a的法向量.

2.与平面垂直的直线叫故平面的法线.因此，平面的法向量就是平面法线电方向向量.

［归纳•升华・领悟］

1.一条直线有无数个方向向量，它们共线.一个平面有无数个法向量，它们也共线.

2.平面a的一个法向量垂直于与平面a共面的所有向量.

3.给定一点A和一个向量a,那么过点A,以向量。为法向量的平面是惟一的.

课

堂

突破考点总结规律

互

动I

高考为标提炼技法

区把握热点考向贵在学有所悟

师生共研突破亚难$4%金”gon刖。IttupazAangnan

利用直线方向向量和平面的法向■判定

考点

1饯面位置关系

［例1］根据下列条件，分别判定相应直线与平面、平面与平面的位置关系:

⑴平面a,夕的法向量分别是〃=(一1,1,-2),。=(3,2,一》

(2)直线/的方向向量。=(一6,8,4),平面a的法向量”=(2,2,-1).

［思路点拨］利用方向向量与法向量的平行或垂直来判断线、面位置关系.

|精解详析］⑴•.”=(一1/，-2),。=(3,2,一习，

・•・“”=(—1,1,-2)(3,2,-，=-3+2+1=0,

:.id,故a_L/?.

(2)Vz/=(2,2,-I),a=(-6,8,4),

.\wa=(2,2,一I)•(一6,8,4)=­12+16-4=0,

:.uLi,故/?a或/〃a.

［一点通］

1.两直线的方向向量共线(叁直)B寸，两直线平行(垂直).

2.直线的方向向量与平面的法向量共线时，直线和平面垂直；直线的方向向量与平面的法向量垂直

时，直线在平面内或线面平行.

3.两个平面的法向量共线时,两平面平行.

"履俶条例'/

I.若两条直线/iJ2的方向向最分别为。=(1,2,—2),〃=(一2,—4,4),则人与/2的位置关系为

解析：2a,,\a//b,即/1〃6或喇与02重合.

答案：平行或重合

2.4据下列条件，判断相应的线、面位置关系：

(1)直线2i,6的方向向量分别是。=(1，-3,-1),(=(8,2,2)；

(2)平面a,£的法向量分别是“=(1,3,0),o=(—3,—9,0)；

(3)直线/的方向向量，平面［的法向量分别是。=(1,-4,-3),“=(2,0,3)；

(4)直线/的方向向量，平面［的法向量分别是。=(3,2,1),”=(-12-1).

解：(1)・・・。=(1,一3,—1),6=(822),

•••。必=8—6—2=0,

：.a±h,即/j.

(2)•・・〃=(1,3,0),。=(一3,-9,0),

，。=-3〃，

:即a〃⑶

(3)V«=(1,-4,-3),w=(2,0,3),

a11:^0且a#ki氏kWR),

・••〃与〃既不共线也不垂直，即/与a相交但不垂直.

(4)Va=(3,2,l),〃=(一1,2,-1),

••・。〃=-3+4—1=0,

/.a-Lu,即/?ct或I//a.

考点2平面的法向■的求解及应用

［例2］已知点4(300),5(0,4,0),C(0,0,5),求平面ABC的一个单位法向量.

［思路点拨I可先求出一个法向量，再除以该向量的模，便可得到单位法向量.

［精解详析I由于43,0,0),B(0,4,0),C(0,0,5),

所以次司=(-3.4.0),3,0,5).

设平面A8C的法向量*〃彳。y,z),

则有〃.以司=0,且AC=0,

—3r+4v=0.

即,取z=l,得x=|,y三,

—3x+5z=0.

于是〃=(**i).又同=噜^,

所以平面a的单位法向量是

［一点通I

求平面的法向量的方法与步骤：

(1)求平面的法向量时，要选取两相交向量伺同、\AB\.

(2)设平面法向量的坐标为n=(xtyfz).

(4)求出的向量中三个坐标不是具体的值而是比例关系，设定某个坐标为常数而得到其他坐标.(常数

不能为0)

//////^做条例'〃〃/

3.已知平面。经过三点412,3),仅2,0,-1),C(3,-2,0),试求平面。的一个法向量.

解：•••4(123),4(2,0,-1),C(3,-2,0),

，应=(1,-2,-4),园=(2,—4,-3).

设平面a的一个法向量是〃=(x,z).

依题意应有〃•以B〔=O且”•|"^々~|=0.

X—2y—4z=0,

即.解得z=0,Kx=2y.

2x—4y—3z=0.

令x=2,则y=l

，平面a的一个法向量是n=(2,1.0).

4.如图所示，在四棱锥S-ABC。中，底面是直角梯形，Z.4BC=90°,

面A6CO,且SA=AB=BC=\,AD=y求平面SCO与平面SB4的一个法

解：因为AD.A3、AS是两两垂直的线段，所以如图所示建立空间直

系A-xyz,

则4(0,0。)，尾，0,0),。(1.1,0),5(0,0,1),

则|DC|=&I,0),|z)5|=f—0,1).

由题意易知向量|AZ)|=(g,(),0)是平面SAB的一个法向量.

设〃=(x,y,z)为平面SQC的法向量，

f〃.|。。|=1+产0,

—p+z=0.

即u

取戈=2,则y=—1,z=l,

，平面SDC的一个法向量为(2,-1,1).

5.如图所示，四棱锥V-ABCD,底面ABC。为正方形，%_L平面ABCD,以

这五个顶点为起点和终点的向量中，求：

(I)直线AB的方向向量；

(2)求证：8。_1平面磔。，并确定平面以。的法向量.

解：(Q由已知易得,在以这史上］负点为起点和终点的向量中，直线A3的方

向向量有:屋、窟、园、园四个.

(2)..•底面ABCD为正方形，：.BD±AC.

•・•%JL平而ABCD,BD?平面ABCD,

：.BD±VA,yLACC\VA=Ar

・・.8/1_L平面四C,所以平面%C的法向量有|昉］、忸引两个.

［方法•规律•小结］

确定平面的法向量通常有两种方法：

(I)几何体中已经给出有向线段，只需证明线面垂直.

(2)几何体中没有具体的直线，此时可以采用待定系数法求解平面的法向量.

训

随堂练课下练练

提

源堂8分钟时点媒.让课下限时检测，提速能

学生处热打铁消化所提能，每注一检测，步区

学，既舔速度又缘准度步为营步步嬴

课时达标训练(二十二)

1.若直线/J■平面。，且/的方向向量为(，几2,4),平面a的法向量为1，2),则加为

24

-*

1-T=**6

解析：•・•/的方向向量与平面a的法向量平行.-

22-

答案：1

2.设A是空间任意一点，〃为空间任一非零向量，则适合条件国的点M的轨迹是.

解析：|AM；〃=O称为一个平面的向量表示式,这里考查的是基本概念.

答案：过点A且与向量〃垂直的平面

3.设直线/i的方向向量为。=(2,-1,2),直线b的方向向量为力=(1/，M，若/」/2,则切=.

解析：V/i-L/z,/.2—1+2tr.=0.in=~y

答案：一；

4.在空间中，己知平面a过点A(3,0,0)和仇0,4,0)及z轴上一点C(0.0,a)(a>0),如果平面&与平面xOy

的夹角为45。，则。=.

解析：平面xOy的法向量为〃=(0,0,1),仄屈=(-3,4,0),-3,0,a),设平面a的法向量为〃

—3x+4)，=0,

=次，y,z),则

-3x+az=0,

则3x=4y=az,取z=l,则"=(14

1

12

又丁.〉。，**♦Cl=^

答案重

5.已知@=(1,4,3),)=(3,x,)，)分别是直线八、/2的方向向量，若h〃h，则x=，.尸.

解析：由/】〃/?,得;=：=*解得x=12,)，=9.

答案：129

6.已知A(2,2,2),8(2,0,0),C(0,2,-2),

(1)写出直线4c的一个方向向量；

(2)设平面a经过点A,目］一。是a的法向量,M(x,y,z)是平面a内任一点，试写出x、y、z满足的

关系式.

解：(1)•・•以2,0,0),C(0,2,-2),

・••园=(-2,2,-2),

即(一2,2,一2)?直线BC的一个方向向量.

(2)由题意次司=a一2,y~2,z-2),

•・•同_L平面a,AM?a,・••同/说|.

/.(—2,2,—2)-(x—2,y—2,z—2)=0.

/.-2(x-2)4-2(y-2)-2(z-2)=0.

化简得x—y+z—2=0.

7.在正方彳本A6CO-Ai8|CQ］中，

(I)求平面ABCD的一个法向量；

(2)求平面4BG的一个法向量；

(3)若M为C。的中点，求平面的一个率向餐.

解：以\为坐标原点，分别以次司,\AD1|访1斤在直线为x

轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为&

⑴•・•平面ABCD即为坐标平面x。%・・・〃i=(0,0,l)为其一个法向

⑵丁耳母平面A1BG,

5LVBXD=(0,4,0)—(4,0,4)=(一。，4,—a),

，小=病司=(一1,1,一1)为平面41cl的一个法向量.

(3)设〃=(xo,泗，zo)为平面4MQi的一个法向量,

•・・|AM|=G，a,0),|AI>1=(0,a,a),

g,a,0)=京o+ayo=O,

〃.而］|：=?M),涧，zo?-l

［J〃同

=?xo,>'o,zo?・？0,a,a?=ayo+azo=().

令xo=2,则泗=-1,zo=l,

.・.〃=(2,—1,1)为平面人MR的一个法向量.

8.如图，已知ABCO—A/IGOI是长方体，建立的空间直角坐标系

示,44=3,3c=4,AA\=2.

(I)求平面BCD1的一个法向最；

(2)设M(x,y,z)是平面办C"内的任意一点，求x,y,z满足的关

解：(1)在如题图所示的空间直角坐标系A一与2中，各点坐标为

C(3,4,0),Di(0,4,2),

由此得|祁|=(0,4,-2),S=(一3。2);

设平面BiCDi的一个法向量为a=(x,y,z),

则a,配J,aj函I，从而/瓦下|=0,a-|cPf|=0,

所以0・x+4・y—2・z=0,—3-J+0-V+2-Z=0,

2y-z=(),

解方程组

3x—2z=0,

不妨取z=6,则y=3,x=4.

所以〃=(4,3,6)就是平面BCD的一个法向量.

(2)由题意可得=(A—3,y,z-2),因为“=(4,3,6)是平面囱CO的一个法向量，所以。■!

从而小居而卜0,

即4(A—3)+3y+6(z-2)=0,4A+3y+6Z=24,

所以满足题意的关系式是4x+3y+6z=24.

第2课时空间线面关系的判定

入门答辩沸析问题解疑感

I

新知自解自读教材找关键

自主学习

入H备科

以前人们为夯实地面，采用的是一种由三人合作使用的石制工具，石墩上有三

个石耳，用三根粗绳子拴着，三个人站在三个方位上，同时拉绳子使石墩离开地面,

然后落下石墩夯实地面.若三个人所站方位使得绳子两两成等角，且与水平地面所

IOM

成角为45。，为了使重量为100kg的石墩垂直离开地面.每个人至少需要用

3

kg的力.

问题1：在空间中给定一个定点A(一个石耳)和一个定方向(绳子方向)，&能确定

这条直线在空间的位置吗？

提示：能.

问题2：石墩下落的过程中，石墩所在的直线和地面垂直吗？

提示：垂直.

问题3：若一条直线平行于平面，直线的方向向量〃和平面的的法向量〃有什么关系？若直线垂直于

平面呢？

提示：“JL〃，11〃n.

新aI解

1.空间中平行关系的向量表示

设两直线/、/〃的方向向量分别为a,b,两平面a、少的法向量分别为小。，则

线线平行l//m?a=kbt(ASR)

线面平行I//dlakulau=0

面面平行a//^u//v'?u=kv(k^R)

2.空间垂直关系的向量表示

设直线/,，〃的方向向量分别为。，分平面a,0的法向量分别为“，则

线线垂直lA-m'?ab=O

线面垂直1JLa?a〃=ku,(&£R)

面面垂直a±_Lv?〃♦♦=()

［归纳•升华•领悟卜

用空间向量解决立体几何问题的步骤为

(1)化为向量问题：

用空间向最表示立体图形中点、线、面等元素.

(2)进行向量运算：

进行空间向量的运算，研究点、线、面之间的关系.

(3)回到图形问题：

把运算结果“翻译”成相应的几何意义.

课

堂

突破考点总结规律

互

动

高考为标提炼技法

区把握热点考向贵在学有所悟

师生共研突破更难”(."citggangyor!tupoz^an^van

考点1证明战线垂直

［例IJ在棱长为。的正方体Q4BC-OiAiBCi中，E、尸分别是AB、3c上的动点，且AE=3凡求

证：AiFLCiE.

［思路点拨］先将空|与匣］用向量表示，利用向量法证明.

［精解详析］以。为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则4(60,a),CKO,a,a).

设AE=B/=x,

•\E(a,x,0),F(a-x,«,0).

中=(-x,a,­a).

=­ai+ax—/+/=0,

即AI〃_LC］£

［一点通］

利用空间向量证明线线垂直的方法：

(1)坐标法：根据图形的特征，建立适当的直角坐标系，准确地写出相关点的坐标，表达出两直线的方

向向量，证明其数量积为零.

(2)基向量法：利用向量的加减运算律，结合图形，将要证明的两直线所在的向量用基向量表达出来，

利用数量积运算说明两向量的数量积为0.

俶亲夫〃〃/

I.如图，已知正三棱柱A8C—4BiG的各棱长都为I,M是底面上4c边的中点，N

是测棱ra上的点，且CN=^CCI.

求证：ABilMN.

B

MC

证明：法一：(基向量法)

设43=Q,|Ac|=/>,AAJ=C,则由已知条件和正三棱柱的性质，得⑷=|力|=|c|=1,

ac=hc=O,

画=a+c,\AM|=1(a+&),

〔AN|=/>+；C,|MN|=C^"|—IAM~|=—,+*+；C,

|4BJ|MN|=(a+◎.(-/+)+(c)

=­2~^2COS60。+；=().

J鬲：.ABi工MN.

法二：(坐标法)

设AB中点为。，作00HM.

以。为坐标原点，以OB,OC,OOi所在直线分别为x轴,

y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系.

由已知得A(一；,0,0),

0,0),

《0,喙,0),乂。,坐,；)，

0,1),

•・・M为BC中点、，・•・%,坐,0)

•,朝=(T坐()，瓯=(1，。/)，

回=_；+0+；=0.

•・•逅工宣,；・ABiLVN.

2.直四棱柱A8CO-A山IGDI中，底面ABC。是矩形，48=2,AD=\,A4=3,M是8c的中点.在

DP上是否存在一点N,使MN_LOG?并说明理由.

解：如图所示，建立以。为坐标原点，DA,DC,DO所右直线分别为x轴，y

轴，z轴的空间直角坐标系，则C】(0,2,3),2,0),

0(00,0),设存在M。。，h),

则|MN|=(一］—2,“

=(02,3),

j^C,|=f-2>-2,/?).(0,2,3)=-44-3/Z,

,当,丽砥=0,

此时|DC,~|,・,・存在使MNLDC1.

考点2证明平行关系

［例2］已知正方体ABC。一A/iGDi的棱长为2,E、

(1/G〃平面ADE；

(2)平面AQ£〃平面BiCiF.

［思路点拨］建立直角坐标系，求得平面的法向量，

定线面平行，面面平行.

［精解详析］如图，建立空、可直角坐标系。一孙z,则。(00,0),4(2,0,0),C(0,2,0),C(0,2,2),E(2,

2,1),R0,0,l),

所以|罔卜(0,2,1),前］=以,00,^1=(021).

设〃1=(X1，＞,|,Z1),

“2=(X2,刃，Z2)分别是平面八。区平面86尸的法向量，则〃」画！，〃」应，

W|.［AMJ=2V=0,

〃」AE|=2V+Z=0,

x=0,

c取y=l,贝IJm=(0,1,-2).

z=-2v，

同理可产〃2：(0,l，-2).

(1)・・・〃「属卜(0,1,-2X0,2,1)=0,

A/?iI|FC;|,又“G?平面AQE,〃平面AQE.

⑵・・・〃i〃〃2，・•・平面AOE〃平面B\C\F.

［一点通］

利用向量法证明几何体的平行问题的途径：

(I)利用三角形法则和平面向量基本定理实现向量间的相互转化，得到向量的共线关系.

(2)通过建立空间直角生标系，借助直线的方向向量和平面的法向量进行平行关系的证明.

3.如图,在正方体48co—AWiGOi中，。1为办功的中点，求证：501〃平

面AS.

证明：法一：以。为原点,圆园,画分别为x,y,z

轴正方向建

立如图所示的空间直角坐标系.

设正方体的棱长为2,

则A(2,00),Di(0,0,2X_C(0,2,0),8(220),Oi(1,1,2),

••・西卜(-2,0,2),瓯|=(0,-2,2),

西卜(-1,-1,2),

••・函与画］,函j共面,

：,~BOX〃平面ACQi.

又BOi?平面AC。，・・・BOi〃平面AC。.

法二：在证法一建立的空间直角坐标系下，取AC的中点0,连接。0,则0(1,1。)，.-.［^^=(1,1,

又珂=(-1,-1,2),・••丽

又函不共线,：.DXO//BO\.

又BOi?平面ACOi,・・・80i〃平而AC。1.

4.长方体A8CQ—Ai8iG。］中，DA=2,DC=3,DD1=4,M,N,E,F分别

是棱AQ，4B］,DiCt，的中点,求证：平面AMN〃平面日归D

证明：建立如右图所示的空间直角坐标系，取MN、DB及EF的中点R,T,

5,则

一(2,0,0),M(1,0,4),

A(2,I，4),£>(0,0,0),

8(230),40,I，4),

产(1,3,4),盛,I，4),

5《,J,4),7(1,I，0),

・♦.量=(1,-0),屋|=(1,I，0),

4),国=(一/4,4),

A|^|=^F|,鱼=国N?EF,RTS,

得MN〃EF,AR//TS,

:.MN〃平面EFBD,AR〃平面EF3Q,

又「MNPAR=R,Z.平面AMN//平面EFBD.

考点3证明线面垂直

［例31如图所示，在正方体4BCQ-4%GG中，E、尸分别是8出、DC的中占,

求证：AEJ_平面4DE

［思路点拨］先.立空间直角坐标系,写出相关向量的坐标，证明

|珂,祠_L国司即可.

［精解详析］设正方体的棱长为I,

如图所示，建立空间直•角坐标系，

则A(1QO),《1,1,号，

A］(1,O/)，0(001),

《0,0)

|A,D,~|=(-1A0)>座］=(。,J)，

A|AE|-|^,^=0X(-1)4-ixo+|xo=o,

园I.丽=TT=o,

••・祠』硒I，弱

BPAE±A\D\tAELDiFf又斗皿皿尸”,

••・4£：，平面4。尸.

［一点通］

用向量法证明线而垂直的方法及步骤：

(1)基向量法：

①设出基向量，然后表示直爱的方向向量.

②找出平面内两条相交直线的向量并用基向量表示.

③利用数量积计算.

⑵坐标法：

①建立空间坐标系，将直线的方向向量用坐标表示.

②求平面内任意两条相交直爱的方向向量或平面的法向量.

③证明直线的方向勺量与平面内两相交直线的方向向量垂直或与平面的法向量平行.

小"题做条钝'〃〃/

5.如图,在正方体A8CQ—A/iG4中,E,5分别为581，的中点,求证：5/J_平面814c.

证明：设正方体的棱长为2,建立如图所示的直角坐标系，则42,(),0)

C(0,2,0),3(2,2,2),E(2,2,1),/■(l,l,2).

法一：^F|=(-l,-1,1),|鬲|=(022),就］=(-2,2,0),

•••屋・函|=(-1,-1,1).(0,2,2)=0,

|1F|-|AC|=(-1,-l,l).(-2,2,0)=0,

：.EF±ABi,EF.LAC,又AB|GAC=A,

・・.EF_L平面BiAC.

法二：设平面SAC的法向量为〃=(x,y,z).

〃_LAB1,

又应=(0,2,2),=(-2,2,0),AB\OAC=A,?

庭］AC|,

n|=2y+2z=0,

屋=-2x+2y=().

令x=l,可得平面BMC的一个法向量为〃=(1,1,—I)

又亘=(一1,-!)=-«.

：.\EF\//fi,・•・£凡L平面614c.

6.如图，在棱长为1的正方体/WCD-AISGQI中，点、E是棱BC的中点，点、F是

棱CO上的动点.确定”点的位置，使得。归_1_平面八巴£

解：以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系.

设。尸=x,则A(0,0,0),1,0,0),

D(0,l,0),4(0,0/)，9(1,0,1),

D,(0,1,1),《I,0),

F(x,1,0).

・・・|席卜(1，t)，

|福|=(1,。［),屋］=(x,l,0).

1-1=0,即Qi£_LABi.

由QEJ■平面/ABIF?DIE±AF?|D1F|-|AF|=O

?x—；=(),即)x=；.又AB\QAF=At

，当点尸是C。的中点时，OiEJ■平面

考点4”

［例4］在正方体ABC。-中，E是棱8C的中点，试在棱CG上求一点P，使得平面人力出

1.平面C\DE.

［精解详析］如图，建立空司直角坐标系.设正方体的棱长为1,

则4(1,01)，^)(1,1,1),雄，h0)

设点P的坐标为(0,1,a).、

A["J=(0,l,0),141尸卜(_1,1,〃-1),\DEl=^2,1,0/=(0,1,1).

设平面的一个法向量为〃i=(x”yi，zi),

"A居]=o,?『=0,

则4

〃JA尸卜.-式1+>>"+?〃—1?zi=0.

令Z1=1,则得汨二。一1,所以平面AiBi尸的一个法向量为〃1=3—1,0,1).

设平面C1OE的一个法向量为〃2=(X2，)，2，Z2)，

f712-1DE\=0,f1

即斗12=-2”,

嗔画=0,J'2+z2=0,Z2=—>,2.

取”=1,则得也二-2,Z2=—1»

・•・平面GOE的一个法向量为〃2=(-2/，-1),

因为平面AiSP_L平面GQE?〃i

?〃1〃2=0?一2(。-1)—I=0,

a=2-

故当点P为CG的中点时，

平面48/_1_平面GDE.

［一点通］

证明面面垂直的方法：

(I)利用空间向量证明面面垂直通常可以有两个途径：一是利用两个平面垂直的判定定理将面面垂直问

题转化为线面垂直进而转化为线线垂直问题；二是直接求解两人平面的法向量，证明两个法向量垂直，从

而得到两个平面垂直.

(2)向量法证明面面垂直的优越性主要体现在不必考虑图形的位置关系，恰当建系或用基向量表示后，

只需经过向量运算就可隼到要证明的结果,思路方法很“公式化”.

勿勿致做条钝,〃〃/

7.如图，在五面体ABCDE/中，平面ABC。，AD//BC//FE,ABA.AD,M

为£C的中点，AF=AB=BC=FE=^AD.^.v£：平面AMO_L平面CDE.

证明：法一：如图所示，建立空间直角坐标系，点A为坐标原

设A8=l,依题意得仅1,0,0),

0(1,1,0),0(020),£(0,1,1),

产(0,0,1),唯1,1).

则国]=G，1，5&(-1,0,1),[1^1=(0,2,0)

・•.而国=-!+0+!=0,

，AM_LCE,又屈=0,：,AD±CE,

又AMnAO=A,

，CE_L平面AMD

而C£?平面CDE,所•以平面CDE上平面AMD.

法二：由法一得四=(一|。|),屋]=(0,-1J),

|/W1=(020),|AM|=W，I,^).

设平面COE的法向量为〃=(x,>>,z),

it-CE=0,

则<

u\DE|=Q.

—A'IZ=0,

于是)

-y+z=0.

令x=l,可得“=(1,1,1).

设平面AMO的法向量为0=(x'，y1,z'),

令z'=1,可得。=(—1,0』).

VMV=(1,1,1).(-1,0,1)=-1+0+1=0.

〃-L

.•・平面CDC平面AMD.

8.在四面体48co中，A8_L平面8CQ,BC=CD,N8CD=90。，/AQ8=30。，E、尸分别是AC、

A。的中点，求证：平面BE凡L平面ABC

证明：建系如图，取A(0,0,0),

则易得B(0.0.0),《乎小冬,0),

£)(0,小©0),《小〃，坐出尸(。，去a,乳

则有|前|=(一乎°,乎凡0),

13Al=(0,0,a),|bc|=(坐°,乎出0),

・・•丽向=0,屋.园|=0,

：.EF±AI3,EF.LBC.

义ABCBC=B,・・・七尸"1>平面ABC.

又瓦？平面BEF,・•・平面BEF上平面4BC.

9.在长方体ABC。-ABGDi中，AA[=2AB=2BC,E,棱AA\,BBi，

ABi的中点.

求证:

(1)CE〃平面GER

(2)平面平面CEF.

证明：以。为原点，D4,DC,。。所在的直线为x轴,立空间直角坐

标系D—xyz,设BC=1,

则C(0』,0),£(1,0,1),Ci(0,l,2),F(l,l,l),I，2)

(1)设平面CEi尸的法向量〃=(x,y,z),

,.・。闾=(1,o)|FCJ=(-1，0，1)，

1

X—p?=0,

即

x+z=0.

令工=,得〃=(1,2J).

VCE=(1,-1,1),〃屋］=1-2+1=0,

CE±n.

又・・・CE?平面CiE)F,

，CE〃平面GEF

(2)设平面EFC的落向芈为/〃=(〃，b,c),

•・,同=(0,1,0),同=(-1,0,-1),

m-|EF|=Qtf/?=0,

.同=o,即1—4—c=0.

令。=一1,得加=(一1。1).

V/1/M=lX(-1)4-2X04-1X1=-14-1=0,

・,・平面CELJ•平面CEF.

［方法•规律•小结］

1.利用向量方法证明几何中的平行问题可以通过两条途径实现，一是利用三角形法则和平面向量基

本定理实现向量间的相互转化，得到向量的共线关系；二是通过建立空间直角坐标系，借助直线的方向向

量和平面的法向量进行平行关系的证明.

2.用向量法处理空间中垂直关系的关键是求得直线的方向向量和平面的法向量，借助直线的方向向

量与平面的法向量之间的关系确定空间中的线面垂直问题.

卜」

训

随堂练课下练练

提

课堂8分钟对以缥,让课下限时检测，提速能

学生赴热打铁消化所提能，每注一检测，步区

学，既捺速度又缘准度步为营步步羸

课时达标训练（二十三）

1.若两平面的法向量分别为〃=（2,—3,4）,0=（一$I,一号，则a与夕的位置关系是.

解析：•・•〃=—3。，,\u//v,

答案：平行

2.若平面a、夕的法向量分别为（一1,2,4）,（x,—1»—2）,并且a_L夕，则％的值为.

解析：„夕，

/.-X-2—8=0.

Ax=-10.

答案：一10

3.在正歹体yQ—A严6Di中，0辱勺牛点，则897平面0£）伸的关不是.

解析：•・•祠=|宿+丽=而+|^|+丽+同=|^|+而,・••瓯，画，画

共面.

又〈BiC不在平面ODCi内，

平而OD3.

答案：平行

4.若域|=j同+〃同（勺〃£R）,则直线AB与平面COE的位置关系是___.

解析：•・•前图西+定|（九蚱R）,

••・应与园园失面.

・•・A3〃平面CQE或A8?平面CDE.

答案：AB〃辛面CQE或A8?平面CDE

5.已知次司=(1,5,-2),标司=(3,1,z),若屋］_L展］,而］=。-1,3，，-3),且BP_L平面ABC,

则(x,y,z)等于.

解析：|AB|-|BC|=3+5—2z=(),故z=4.

丽祠=x-I+5y+6=0,

二=3(x—l)+y—12=0,

得尸当y=~~1-5

答案:像T4)

6.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABC。是正方形，侧棱POJ-底面AHCD,

PD=DC,七为PC的中点，E/LLBP于点F.求证：

⑴以〃平面EDB；

(2)P8_L平面EFD.

证明：以。为坐标原点，DA,DC,。。所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空

间直角坐标系。一孙z,如图,设OC=PO=1,则P(0,0,l),41,0,0),。(0.0,0),

1n

伏I,1,0),'2f2)

.,•弱=(1,1,ft设

F(x,)，，

rz),

则I，尸|=(x,y,z—1

•・•屋j_L画,

••・x+(_y-£)=0,即x+y-z=0.①

又・••盛〃屈］,可设而=/廊］,

/.x=2,y=z,z—1=一人.②

I2

由①②可知，X=yy=yZ=y

Xl=Zl,

(1)设m=(x\,ji,zi)为平面EDB的一个法向量，则有

y\=-z\.

取Z］=.l,则〃/=(—1,1,一1).

•・,屈］=(1,0,-I),・••同,〃/=().

义加？平面EDB,二期〃平面EDB.

(2)设〃2=(X2,丁2,Z2)为平面月尸。的一个法向量，则有

j匣=0?52-5+1=0,.y-Z2,

n2\DE|=0?p24-|z2=0,―々.

取■Z2=1,则〃2=(一I,—1,1).

・•・屈］〃〃2,・・・尸81■平面£尸£).

7.如图所示，在四棱锥"一A8C。中，PC_L平面ABC。，PC=2,在四边形

ABCD+,ZB=ZC=90°,AB=4,。。=1,点/在P8上，PB=4PM,PB与平面

A8CQ成30。的角.求证：

(1)CM〃平面PAD,

(2)平面附8J_平面PAD.

证明：以C为坐标原点，。所在直线为x轴，C。所在直坡为)，轴，CP所在

直线为z轴建立如图所示的空间面角坐标系C-xyz.

•・•PCJL平面ABCD,

：.4PBC为尸8与平面A8CD所成的角，

JZPBC=30°.

,:PC=2,:・BC=2小，PB=4.

.,.D(O,hO),B(2小，00),4(2小，4,0),尸(0,0,2),

-1,2),3,0),

\DP|-/?=0,f-y+2z=0,

⑴法一：令〃=(x,z)为平面PAD的一个法向量，则即《厂,

.\DA\-II=().〔2小x+3v=