高中数学同步讲义（人教A版必修二）第27讲 8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积（教师版）

第04讲8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积

学习目标

课程标准学习目标

1.通过阅读课本培养学生空间想象能力和抽象思维能

力；

①了解楂柱、棱锥、棱台的表面积与体积的

2柱.、锥、台的侧面枳和体枳问题是高中数学的重要内

计算公式。

容，现就柱、隹、台的侧面积和体积的常见问题分类解

②理解并掌握侧面展开图与几何体的表面

析以下。对于棱柱、棱锥、棱台的表面积，多采用面积

积之间的关系，并能利用计算公式求几何体

累加的方式求解；

的表面积与体积。

3.特别地，若为正棱柱（锥、台），各侧面积相等，可

用乘法计算；计算其体积时，关键是求底面积和高，并

注意公式的运用；

思维导图

知识清单

知识点1:棱柱、棱锥、棱台的表面积

(1)正方体、长方体的表面积

正方体、长方体的表面积就是各个面的面积的和

长、宽、高分别为Ac的长方体的表面枳：

方体=2(。8+ac)

棱长为，，的正方体的表面积：

S助体二6。二

(2)棱柱、棱锥、棱台的侧面展开图

棱柱的侧面展开图为平行四边形，一边为棱柱的侧棱，另一边等于楂柱的底面周长.如图:

棱台的侧面展开图由若干个梯形拼成如图

(3)棱柱、棱锥、棱台的表面积

棱柱的表面积：S极柱=5侧+25底

棱锥的表面积：S棱钺=S网+S展

棱台的表面积：S极台=S"S上底+S「底

知识点2：棱柱、棱锥、棱台的体积

（1）棱柱的体积

①棱柱的高：柱体的两底面之间的距离，即从一底面上任意一点向另一底面作垂线，这点与垂足（垂线与

底面的交点）之间的距离，即垂线段的长.

②棱柱的体积：柱体的体积等于它的底面积S和高力的乘积，即V=S/2.

（2）棱锥的体积

①棱锥的高：锥体的顶点到底面之间的距离，即从顶点向底面作垂线，顶点与垂足（垂线与底面的交点）

之间的距离，即垂线段的长.

②棱锥的体积：锥体的体积等于它的底面积S和高〃的乘积的，即V=-Sh理解.

3

（3）棱台的体积

①棱台的高：台体的两底面之间的距离，即从上底面上任意一点向下底面作垂线，此点与垂足（垂线与底

面的交点）之间的距离，即垂线段的长

②棱台的体积：V=g（S'+阿+S）/2（S',S分别为上下底面面积，〃为台体的高）

A

pp(r=h^o(r=h用

嘘二/p-AB(D-^P-ABCD

=gs(h+%)_；sh

。J

=；(S+府+S,)h

题型精讲

题型01棱柱的表面积

【典例1】（2024•全国•高一假期作业）某几何体为棱柱或棱锥，且每个面均为边长是2的正三角形或正方

形，给出下面4个值：@4>/3:②24；③4+46；④12+26.则该几何体的表面积可能是其中的（）

A.①②③B.①③④C.①②④D.①②③④

【答案】D

【详解】当该儿何体为止四面体时，其表面积为4x3X22=46.

4

当该几何体为正四棱锥时，其表面积为4x立x22+22=4+46.

4

当该几何体为正三棱柱时，其表面积为2X@X22+3X22=12+2>/5.

4

当该几何体为正方体时，其表面积为6x2?=24.

故选：D.

【典例2】（2023下•全国•高一专题练习）棱柱A4G中，底面三角形的三边长分别为3、4、5,高

为士（。>0）.过三条侧棱中点的截面把此三棱柱分为两个完全相同的三棱柱，用这两个三棱柱拼成一个三

a

棱柱或四棱柱，小明尝试了除原三棱柱之外的所有情形，发现全面积都比原三楂柱A3C・44G的全面积小，

则。的取值范围是.

【答案】(0,1)

【详解】由题知，原三棱柱ABC-A4G是直三棱柱，设底面是以“为宜角顶点的宜角三角形，且A6=4,

BC=3,AC=5,

I44«

原三棱柱的全面积S=2x]x3x4+(3+4+5)x,=12+~^(«>0).

由题意，将原三棱柱分为两个完全相同的三棱柱，记为直三棱柱ABC-DEF和直三棱柱如

图所示：

当拼成一个三棱柱时，有两种情况，如图①和②:

QOX

图①的全面积S|=4X5X3X4+(5+5+4+4±=24+1("0),

_1232

图②的全面积52=4乂5又3乂4+(5+5+3+3)><£=24+工(«>0),

当拼成一个四棱柱时，有四种情况，如图③、④、⑤、@：

nF(B^D(B)

।9OR

图⑤的全面积1=4'5X3乂4+(4+3+4+3)',=24+1(a>0),

1OOQ

图⑥的全面积S6=4x/x3x4+(4+3+3+4)xt=24+?(〃>0),

由上得，两个三棱柱拼成一个新的三棱柱或四棱柱的全面积最大是24+迎(a>0),

则12+—>24+—（«>0）,解得：0<«<1,

aa

故”的取值范围是（0,1）.

【典例3】（2023上•上海♦高二专题练习）已知一个正四棱柱的对角线的长是9cm,表面积等于144cm2,

求这个棱柱的侧面积（cm2）.

【答案】112或72

【详解】设底面边长、侧棱长分别为"m,/cm,

2222

Na+a+l=9

人2a2+4«/=144

解得仁a=4或kft7=r6

所以5=4x4x7=1125?或S=4x6x3=7201?.

【变式1］（2023上•北京海淀•高二校考阶段练习）在长方体A8CO-AAC。中，AB=BC=2,AG=3.该

长方体的表面积为（）

A.4B.8C.12D.16

【答案】D

【详解】如图，在长方体中，连接ACAC”

AC=ylAB2+BC2=>/4+4=2V2，

CJ=^AC；-AC2=x/9^8=1，

该长方体的表面积为S=2s正方形谢+4S矩形的％=2X（2X2）+4X（2X1）=16.

故选:D.

【变式2］（2023•全国•高一专题练习）如图，用若干校长为”的小正方体组成一个模型，该模型的表面积

是.

0

【答案】56a2

【详解】根据所给几何体，分别求得每层的侧面积，再加上卜底面积，减去覆盖部分的面积，可知表面积

为：S=4(4/+3/+2/+/)+(]6-9+9-4+4-1+1)[2=40/+16/=56a1

故答案为:56a2.

【变式3](2024•全国•高一假期作业)如图，已知正三棱柱ABC-A/B/C/的底面边长是2,D,E是CG,

(1)正三棱柱ABCWBQ的侧棱长;

(2)正三棱柱ABC-A/B/Ci的表面积.

【答案】⑴2夜

(2)12夜+26

【详解】(1)由题意8E=EC=1,DE=A£=2xsin600=V3，

根据正三棱柱得。。_1_面43。，乂BCu面A/3C,所以CC/_L4C,

在RSEC。中，CD=y/ED2-EO=>/3^T=V2»

又。是C。的中点，故侧棱长为20.

(2)底面积为5尸25△48。=2'2><6乂3=2百，侧面枳为Sz=3S悟qc=3x2x2&=12及.

所以棱柱表面积为S=Si+S2=12V2+26.

题型02棱柱的体积

【典例1】（2024•全国•高一假期作业）如图，已知正六楂柱的最大对角面的面积为4m。互相平行的两个

侧面的距离为2m,则这个六棱柱的体积为（）

A.3m'B.6m'C.12m3D.以上都不对

【答案】B

【详解】设六棱柱的底面边长为“，高为鼠

则2ah=4,ah=2.a=»故〃=6,

V33

y=6」x毡x毡=

2332

故选:B.

【典例2】（2024•全国•高三专题练习）如图，正方体AACO-A/CA中，及尸分别是棱、CQ的中点,

则正方体被截面BE/（分成两部分的体积之比M:匕=.

【答案】3

【详解】设正方体ABC。-44GA的棱长为幼，体积为V,则

V=2ax2ax2a=8/，

因为七是棱AB】的中点，所以石耳=〃，

V；=S,,,,xBC=—xEB.xBBxBC=—xax2“x2a=2",

LLzr/AiIc

.•・K=V-%=8/-2/=6/.

.•工竺=3.

匕2a3

故答案为：3

【典例3】（2023下•福建宁德•高一校联考期中）如图，三棱柱ABC-ABC内接于一个圆柱，且底面是正

三角形，圆柱的体积是2九，底面直径与母线长相等.

⑴求圆柱的底面半径；

（2）求三棱柱ABC-AAG的体积.

【答案】⑴1

（2）速

2

【洋解】（1）设底面圆的直径为2八

由题可知，圆柱的体积1/=口2.2/=2兀，

解得r=l,即圆柱的底面半径为2

（2）因为“WC为正三角形，底面圆的半径为1,

由正弦定理，边长AB=2xlxsin60o=6，

所以三棱柱4BC-4瓦G的体积=

（22）2

【变式1］（2024上•上海徐汇・高二统考期末）如图，一个三棱柱形容器中盛有水，且侧棱AA=8.若侧面

AA店由水平放置时，液面恰好过AC,BC,AjClt6/0的中点.当底面44c水平放置时，液面高为

【答案】6

【详解】当侧面AA必必水平放置时，水的形状为四棱柱形，底面是梯形,

3

设A/WC的面积为S,则SM影=：S,

4

3

水的体积V^-SxAA=6S,

4f

当底面48c水平放置时，水的形状为三棱柱形，设水面高为儿

则有V次=S/?=6S,得力=6,

即当底面ABC水平放置时，液面高为6.

故答案为：6.

【变式2］（2023上•上海•高二专题练习）已知直四棱柱的底面为菱形，底面菱形的两对角线长分别为

73an,侧棱长为2。*求：该直四棱柱的体积；

【答案】右切户；

【详解】由底面菱形的两对角线长分别为1。力，拒cm,

不妨设AC=\Hcrn,BD=icni,

则底面菱形的面积S=-ACBD=-x\x^=—（cm2）

222

所以该棱柱的体积为V=Sh=x2=G（cni）

2

【变式3］（2023•全国•高一随堂练习）某自来水厂要制作一个无盖长方体水箱，所用材料的形状是矩形板,

制作方案如图（单位：dm）,求水箱的容积.

*］：事

【答案】500立方分米.

【详解】由题设可得长方体的底面为边长为10的正方形，高为5,

故体积为10x10x5=500（立方分米）.

题型03棱锥的表面积

【典例1】（2023下•甘肃酒泉•高二校考期末）如果一个正四棱锥的底面边长为6,高为3,那么它的侧面

积为（）

A.36B.36夜C.72D.72夜

【答案】B

【详解】如图所示，连接AC町）交了点0,取8c的中点E,分别连接S0,S20£,

因为四楂锥S-ABC£>为正四棱锥，所以SO_L底面48c£>,且S0=3,

在等腰ASAC中，石为BC的中点，所以SEJ.5C,即SE为正四棱锥的斜高，

在直角二S0E中，OE=^AB=\SO=3,可得SE=y/S。+OE?=36，

所以正四楂锥S-4BC。的侧面积为S=gx4x6x30=36&.

故选：B.

【典例2]（2023下•黑龙江哈尔滨•高一哈尔滨市第六中学校校考期中）棱长为1的正方体纸盒展开后如图

所示，则在原正方体纸盒上，分别将四点两两相连，构成的几何体的表面积为.

【答案】26

【详解】在原正方体纸盒上，分别将M,MC,。四点两两相连，如图所示,

因为MN,MC,MD,ND,NC,CD为王方体的面对角线，

所以MN=MC=MD=ND=NC=CD=O,

所以。-MAC为正四面体，

所以表面积为：立x（a）2x4=2后，

故答案为：2G.

【典例3]（2023下•贵州•高一校联考阶段练习）如图一，将边长为2的正方形ABCO剪去四个全等的等腰

三角形后，折成如图二所示的正因棱锥.记该正四棱锥的斜面为人（侧面三角形的高），"B=e.

（2）将折起来后所得正四棱锥的表面积记为S,请将S表示为。的函数，并求S的范围.

【答案】（1）证明见解析

⑵S=4—4tan6,可畤;（0.4）

（2）用正方形面枳减去4个全等的等腰三角形面积可■得.

【详解】（1）作人垂足分别为例，M

由题可知，M,N分别为ERA8的中点，

所以在他“VW中，AN=\,ZFAB=0,

1

所以4尸=

cos。

易知，在心"中以

所以AM=AFcosf--^1=—!——cos^+—^-sin^0+0tan<9

14Jcos队222

拉+&tan®

即a=

2

（2）在RfaAFN中,易知RV=4V【ane=tan。，

所以SAM=gABEV=tan8，

又正方形ABCD的面积为2x2=4，

所以正四棱锥的表面积记S=4-4tanaec（0,：）

因为夕6（0,：）,所以Ovtan'vl,

所以Se（0,4）

【变式1]（2023卜•重庆沙坪坝•高二重庆八中校考期末）已知止三棱锥的底面边长为6,高为3,则该三

棱锥的表面积是（）

A.54百B.27x/3

C.18x/3D.1573

【答案】B

（详解】如图，正三棱锥O-ABC中，OM为正三棱锥O-A4C的高，

则。M=3,取8c的中点N,连接AN,ON,

则M在AN上，且MN=gAN,

又AB=6,BN=3,所以/W=，62-32=36，

所以MN=；AN=G,则ON=y]OM2+MN?=2g，

J

所以s=!4CXON=66，S.z.r=-BCxAN=9y/3

故三棱锥的表面积为6石x3+9\石=27石.

故选:B

B

【变式2］（2023上•广东揭阳•高三统考期中）如图，正四面体尸-A8C的各棱长均为1,则它的表面积

是.

【答案】£

【详解】因为sPBC是正三角形，其边长为1,所以S.=；xlxjl-（gj=#，

因此，四面体P—A5c的表面积S,rBc=4x^=JL

4

故答案为：6

【变式3］（2023•全国•高一课堂例题）如图，正四棱锥S-A8CD的底面边长为4,顶点S到底面中心。的

距离为4,求它的表面积.

【答案】16+16。

［详解】作SE1BC,垂足为点E,连接OE.

因为SO_LOE,所以宓2=5。2+0七2

因为S£_L，C,SO±BC,SEcSO—S,SE,SOu*面SOE,

所以平面SOf,而OEu平面SOE,

所以8C_LOE,故QE=2.又SO=4,所以SE=2币.

又底面周长。=4x4=16,所以SMwLga—gxlGxZ石=16".

又S底=4x4=16,因此，该止四棱锥的表面积为S?、=16+166.

题型04棱锥的体积

【典例1】（2024.全国.模拟预测）如图，已知四棱锥夕-A4CQ中，四边形AbCQ为平行四边形，旦厂分别

为侧棱PDPC的中点，过人民?三点的平面将该四棱锥分成两部分，两部分的体积分别记为匕匕曾〈匕），

V

【答案】C

【详解】由题意可知，AB〃CD,EF〃CD,：.AB〃EF,如图,

连接加'，则平面AI3FE就是截面AEF,将四棱锥分成的两部分分别是四棱锥0-/W正和五面体/WC7）跖.

连接BE,BD,一：棱锥p-ABE和T棱锥P-BEF的底面共面，

•••三棱锥尸-A8E和三棱锥尸-8所的高相等，

・二它们体积的比值等于底面积的比值.

SAB

又皆处==2,（A6E在边A8上的高和△麻户在边EF上的高相等），

Lt，

“P-A8E_2

P-BEF

因为点E为夕£＞的中点,

•••点产和点D到平面A腿的距离相等，

^P-ABt：=VD-ABE''VP-ABE=5VP-八册•

因为四边形A8co为平行四边形，，/=VP_BCD.

设四棱锥「一44。。的体积为丫，则，•.・%-八"=；V，

|33

又VfEF=-V-，・.・匕―庄=；匕-八砥=iV，

LLo

35匕3

即乂费匕，匕="乂蓝口沱=亍

故选：C.

【典例2】（2024上•山东济南•高三统考期末）在正四棱锥尸-A8CZ）中，物=AE?=2,则该棱锥的体积

为

【答案】¥

【详解】P在平面A8CO上的投影是“，因为是正四棱锥,

所以“是正方形A8CD对角线的交点，连结

AH=^2-+22=x/2,PH=\lPN-AH?=〃-2=4，

所以S正方物IBC。=4,于是%棱tffP-A8s

【典例3】（2024•全国•高三专题练习）如图所示，在长方体ABC。-A'B'CT）'中，用截面截下一个三棱锥

C-WD。，则三棱锥C-A。。的体积与剩余部分的体积之比为.

iy

【答案】1:5

=AC

【详解】设=a,AD=b,AA'=c,所以长方体体积^ABCD-ABC'D^

三棱锥C-AO7）的体积匕ra,=^CDS^D=\a^bc=\abc,

3326

Vabcabc

,剩余部分的体积=YABCD-ABCD--c-Am）=。反一，=7

66

三棱锥C-A^'D的体积与剩余部分的体积之比为1:5.

故答案为：1:5.

【典例4】（2024•全国•高一假期作业）如图所示，正六棱锥的底面边长为4,〃足〃C的中点，。为底面中

心，NS〃O=60°.

⑴求出正六棱锥的高，斜高，侧棱长；

（2）求六棱锥的表面积和体积.

【答案】（1）高为6,斜高为4石，侧棱长为2炳

（2）表面积为72石，体积为486

【详解】（1）如图:

在正六棱锥S—A8CQEF中，SB=SC,

〃为8c中点，所以

因为O是正六边形ABCDEF的中心,

所以SO为正六棱锥的高.

OH=—BC=2>/3,

2

在Rt^SO〃中，ZS/7O=60°.

所以SO=OHtan600=6.

在RtASOH中，SH=>]SO2+OH2=473-

在RtaS”8中，SH=46，BH=2,

所以SB=YSH2+BH2=2屈.

故该正六棱锥的高为6,斜而为4后，侧棱长为2a.

(2)ZXSBC的面积为《BCXS”=1X4X46=86,

22

△08C的面积为:8CXO〃=；X4X2G=4G,

所以正六棱锥的表面积为6x46—6x86=72退，

体积为3$八腕/比＞xSO=gx6x4石*6=48石

【变式1］（2024•全国•高一假期作业）正多面体被古希腊圣哲认为是构成宇宙的基本元素.如图，该几何体

是一个楂长为2的正八面体，则此正八面体的体枳与表面积的数值之比为（）

A.见B."C.如D.逅

189123

【答案】B

如图所示，连接4C，EFC\AC=O,

则四边形ABC。为正方形，且EO_L平面48c。，

由正八面体可知，

AB=BC=EA=EC=2,

则AC=2也，EO=五，

所以V=2/T8m=2x；xEOx4BxBC=2x；x&x2x2=^,

表面积S=8S曰8=2?=8后，

8&

所以丫_亍_"，

丁南=丁

故选：B.

【变式2］（2024•全国•百三专题练习）已知三棱锥A-8c。的体积为1,M,N分别为ARCO的中点，则三棱

锥A-MNB的体积为.

【答案】y/0.25

【详解】设点N到平面4?。的距离为"，

因为N分别为CD的中点，则点C到平面ABD的距离为2d,

又因为M分别为A力的中点，则SgBD=2SgBM，

由题意可知：＞2=?迪=^----------==------------=4,

VA-A《NB匕Y-W-2x入//ax入3-x//x

整理得K_“N8=7匕=7，即三棱锥A-仞NB的体积为5.

444

故答案为：-7.

4

【变式3］（2024•全国•高一假期作业）正四棱锥S-A灰刀的底面边长为4,高为1,求:

s

⑴求棱锥的体积和侧棱长;

⑵求楂锥的表面枳.

【答案】（1）与，3

（2）16+8出

由题意可知底面四边形A88是正方形，设其对角线交于。点，则SO=1,

所以四棱锥的体积为：Vs_A8CD=Axlx4x4=y,

侧棱长S4=/O2+（；AC、=.+>>；底=3；

（2）取A5的中点E,连接SE,易知SEJ.A8,

由上可知SE=JSA2-AE2=旧，

所以棱锥的表面积为5=4乂:*4义方+4*4=16+8石.

题型05棱台的表面积

【典例1】（2023•河北・统考模拟预测）机（zhu）,是一种古代打击乐器，迄今已有四千多年的历史，桃的

上方形状犹如四方形木斗，上宽下窄，下方有一底座，用椎（木棒）撞击其内壁发声，表示乐曲将开始.如

图，某机（含底座）高60cm,上口正方形边长70cm,下口正方形边长54cm,底座可近似地看作是底面边

长比下口边长长4cm,高为16cm的正四棱柱，则该机（含底座）的侧面积约为（石。2.236）（）

A.12960cm2B.1480女dC.16800cm2D.18240cm2

【答案】B

【详解】如图正四棱台中，连接AC,AG，过点A、。分别作AE_LAG、CF1AG,交AG于点E、F,

依题意AB=54cm,=70cm,AE=CF=60-16=44cm,

则AE=7°应;"应=8&cm,所以=^AE2+(A.E)2=,2064cm,

所以正四棱台的斜高为J(AA『-卜瓦;巧-=2()石cm,

所以正四棱台的侧面积d-4K“；7"x20石-49606工11090.56cm2,

2

又正四棱柱的侧面积S?=4x（54+4）x16=3712cm,

所以该机（含底座）的侧面积约为11090.56+3712a14802.56al4803cm2；

故选：B

【典例2】（2023下•福建南平•高一统考期末）已知正四棱台上、下底面的边长分别为4和8,而为2.该正

四棱台的表面枳为.

【答案】48夜+80/80+48加

【详解】因为正四棱台的侧面等腰梯形，

又正四棱台的上、下底面的边长分别是4、8,高为2,

所以侧面梯形的斜高为4=J—1+2?=2上，则梯形的面积（4+8）x2&xg=12&,

上下底底面面积分别为4x4=16,8x8=64,

所以该四棱台的表面积为16+64+4x12夜=80+48夜.

故答案为：80+48V2.

【典例3】（2024•全国•高一假期作业）正六棱锥被过棱锥高的中点且平行于底的平面所截，得到正六棱台

和较小的棱锥.

⑴求大棱锥、小棱锥、棱台的侧面积之比；

⑵若大棱锥的侧棱K为12cm,小棱锥的底面边K为4cm,求截得的棱台的侧面积与全面积.

【答案】(1)4:3:1

(2)侧面积为144夜(cm),全面积为144及+120g(cm2)

【详解】(1)设正六棱锥尸的高P0=2〃，底面边长人8=2〃，

因为正六棱锥被过棱锥高的中点且平行于底的平面所截，得到正六棱台和较小的棱锥,

所以小棱锥P—AWDEF的高为PO=h,底面边长48'=。,

在,中，因为A8//4B，所以J五=(二丫=!，

S/I勿14

于是有:SPAW：SABKA,:S=1：3：4,

因此大棱锥、小棱锥、棱台的侧面积之比为4:3:1；

己知大棱锥的侧棱小=12,

显然在,P4B中，A8上的高长为J122-(gx8

=8&,

所以S,尸八8=gx8x8近=32应，

所以^P-ABCDE!=6x32&=192夜，

由(1)可知：截得的棱台的侧面积为:xl92&=144&(cnf),

截得的棱台的全面积为144>£+6xjx4x4x4+6xgx8x8x曰=144夜+120G(cm2).

【变式1](2023•陕西西安•校联考模拟预测)正四棱台的上、下底面的边长分别为2,8,该梭台的表面积

为148,则侧棱长为()

A.3B.4C.5D.6

【答案】C

O1Q

【详解】设正四棱台侧面的高为〃，则2?+82+寸x/?x4=148,力=4,

所以侧棱长为卜等j=5.

故选:C

【变式2】（2023,江苏•高一专题练习）一个正三棱台的上、下底面边长分别为3cm和6cm,高是：3cm.

则三棱台的侧面积为（）

"cm?

A.2775cm2B.

2

C,正面

D.75cm2

2

【答案】B

卜底面中心，则。O=Tcm,

【详解】如图，。…O分别是上、

连接AQ并延长交4G于点。连接A。并延长交8。于点力，连接。"，过。作〃E_LA。亍点E，

3

在RlZXQEO中，RE=QQ=；cm,

DE=DO-OE=DO-DtO]=1x^x(6-3)=^y(cm),

所以DD>JA£2+=J1|)4-等)(cm),

DE?=A/3

所以S正三校台恻=3$(BC+)•。展畔(cnr).

故选:B

【变式3］（2023下•河南驻马店高一统考期末）《九章算术》中将正四梭台（上、下底面均为正方形）称

为“方亭现有一方亭，高为2,上底面边长为2,下底面边长为4,则此方亭的表面积为.

【答案】20+12石

【详解】如图所示，ACBD分别是正四梭台不相邻两个侧面的高，AEA.CD,

则AE即为正四梭台的高，AE=2,

由AB=2,CO=4,得40=40=/22+=6，

所以此方亭的表面枳为42+22+4：<（2+小"=20+126.

故答案为：20+126.

题型06棱台的体积

【典例1】（2023・安徽•校联考模拟预测）中国国家馆，以城市发展中的中华智慧为主题，表现出了“东方之

冠，鼎盛中华，天下粮仓，富庶百姓〃的中国文化精神与气质.如图，现有一个与中国国家馆结构类似的正四

棱台ABCD-AB£D「上下底面的中心分别为。1和O,若44=24g=4,“A4=60。，则正四棱台

4BCO-44GA的体积为（）

A20>/2R28x/2r20x/6n284

3333

【答案】B

【详解】因为"CO—A4CQ是正四棱台，/W=2A4=4,4A3=60。，

侧面以及对角面为等腰梯形，故以=乂竺二竺1=2，AO=^AC=£B=2瓜

1cos乙41A8-2

3=与A[B1=母,所以0a=,4心（40—401）2=叵,

所以该四楼台的体积为丫=，00・（5诋7>+5仙”+\国8拨由n）='（16+4+8）=生亚，

故选；B.

【典例2】（2023上•云南昆明•高三昆明一中校考阶段练习）某款厨房用具中的香料收纳罐的实物图如图1

所示，该几何体为上、下底面边长分别为8cm,6cm的正四棱台，若棱台的高为3cm,忽略收纳罐的厚度，则

该香料收纳罐的容积为（）

小B]

图1图2

148,,,

A.—cm3B.74cm3C.148cm3D.298cm3

J

【答案】c

【详解】由题意可知，该香料收纳罐的容积为gx3x,+6+而彘，=148cm3.

故选：C.

【典例3】（2023•全国•模拟预测）如图，在正四棱台ABCO-AgCQ中，A4=2,AB=3.若该四棱台

【答案】V2

【详解】如图，连接AG，BR交于点连接AC8。交于点。，连接。。…

则底面ABC。，9u平面ABC。，

过用作B|E1BD于点E,则OQ〃/E,底面A3CO.

•••该四棱台的体积丫=1（22+32+2、3）4£：=吆回,「.4£：=诬.

362

又・,・8。=3&，BR=2五,,BE=BD；R=专.四二新炉十台炉=4+、=&

故答案为：O

【变式1]（2023上•山东济宁•高三济宁一中校考阶段练习）如图，已知正四棱台的两底面均为正方形，且

边长分别为20cm和10cm,侧面积为780cm°,则其体积为.

【答案】2800cm3

【详解】如图，取A4的中点E、44的中点E，上、下底面的中心Q、O,

则&E为斜高，四边形£。。凶|为直角梯形.

正四棱台的侧面枳S=4xgx（10+20）xE6=780,

EE】=13cm,

在直角梯形EOQg中，过点E,作E.M±。七,于点M,

则O[E[=OM=5cm,O}O=E、M,

因为GE]=g=5cm,OE=—AB=10cm,

所以EM=OE-OM=5cm,

/.0.0=EM=yjE^-EM2=A/132-52=12cm,

/.该四棱台的体积为12x（10?+2（）2+10x20）=2800（cm）

故答案为：2800cm3

【变式2]（2023上•黑龙江鸡西•高三鸡西市第一中学校校考期末）《九章算术》是我国古代的数学名著.

其“商功”中记载："正四面形棱台（即正四棱台）建筑物为方亭."现有如图所示的烽火台，其主体部分为一方

亭，将它的主体部分抽象成ABC。-A4G仅的正四棱台（如图所示，其中上底面与下底面的面积之比为1:16,

方亭的高为棱台上底面边长的3倍.已知方亭的体积为567m3,则该方亭的上底面边长为（）m

【答案】A

【详解】因为上底面与下底面的面积之比为1:16,设4科=x,则A8=4x,

故方亭的高为3x,

故方亭的体积为:1*+16/+6.16/）.3x=567,解得x=3,

故A&=3m,即该方亭的上底面边长为3m.

故选：A

【变式3］（2023・广西•模拟预测）已知正四棱台ABC。-AMG4的上、下底面边长分别为4、6,高为0,

则正四棱台ABC。-48cA的体积为,外接球的半径为.

［答案］迪V26

3

22

【详解】根据题意易知该棱台的上、下底面积分别为：5,=4=16,52=6=36,

所以正四棱台—的体积为丫/+邑卜夜=苧：

连接AC,8。交于点外，连接AG，4A交于点如图所示：

当外接球的球心。在线段延长线上，

设。«二力，外接球半径为R,则。a=,—四『，

因为。。2=&,上、下底面边长分别为4、6,

则AQ=工用仅=2&,D（）?=LBD=3五,

22

所以*=D0；+h2=+（。-0）2=h=3五,R=而

当外接球的球心。在线段o?q延k线上，显然不合题意;

当球心0在线段。02之间时，则。2。2=（血-力『，同上可得，方=3拒，不符舍去.

故答案为：涯；V26.

3

题型07求简单组合体的表面积和体积

【典例1】（2023上•江苏盐城•高三校联考阶段练习）如图所示的粮仓可以看成圆柱体与圆锥体的组合体,

设圆锥部分的高为0.5米，圆柱部分的高为2米，底面圆的半径为1米，则该组合体体积为（）

A.立方米B.2兀立方米

C.”立方米D.立方米

26

【答案】D

【详解】圆柱体积为汽X12x2=27（，圆锥体积为：X7TX12xO.5=m，

36

所以，该组合体的体积为2兀+^=粤.

DO

故选：D

【典例2】（2023•河北邢台咛晋中学校考模拟预测）半正多面体（semiregularsolid）亦称“阿基米德多面体〃,

是南边数不完全相同的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美，二十四等边体就是•种半正多面体,

如图，棱氏为2的正方体截去八个一样的四面体就得到二十四等边体，则该二十四等边体的体积为（）

【答案】A

【详解】由题设，该二十四等边体是正方体去掉八个角得到，各顶点在正方体棱的中点上,

如下图，故该二十四等边体的体积为V

32

故选：A

【典例3】（多选）（2023上•江西•高三校联考阶段练习）如图，这是某同学绘制的素描作品，图中的几何

体由两个完全相同的正六棱柱垂直贯穿构成，若该正六棱柱的底面边长为2,高为8,则下列结论正确的是

（）

A.该几何体的体积为变无

3

B.该几何体的体积为变也

C.该几何体的表面积为136+246

D.该几何体的表面积为144+246

【答案】AC

【详解】过直线4Q和直线分别作平面平面尸（图略），平面a和平面/都平行于竖直的正六棱柱

的底面，如下图所示：

如下图所示，易知正六边形的对角线=4，底面面积为6x,x2x2sin60=66：

D1

则该竖直的正六棱柱夹在平面a和平面夕之间的部分的体积为6GX4=24G；

将多面体ABCDNM分成三部分，VA_BFM=^D-CEN=-x—xlxx/3x|=—,

326

三棱柱BEM-C硒的体积为:xlxgx2=6所以多面体ABCDW的体积为32+6=半.

两个正六棱柱重合部分的体积为246-4x生叵=2.

33

一个止六棱柱的体积为x8=486.

故该几何体的体积为2x486-也=空无，即A正确，B错误;

33

梯彩ABCO的面积为（2+4）X2X；=6,正六棱柱侧面除梯形A笈C。外的面积为2x8-6=10,

所以水平的正六棱柱的侧面积S1=4x（2x8—6）+2x2x8=72,

竖直的正六棱柱的侧面积SZ=S=72,正六棱柱的底面面积S,=6G,

两个正六棱柱侧面的公共面积5=2x4=8.

故该几何体的表面积为S1+S2+4S3—S4=136+24G，即C正确，D错误；

故选：AC

【变式1］（2023上•山东•高三校联考阶段练习）盖碗是由茶碗、茶盖、茶船三件套组成，盖琬又称“三才

碗”，蕴含了古代哲人讲的“天盖之，地栽之，人育之〃的道理.如图是乾隆时期的山水人物方盖碗的茶盖和

茶碗，近似看作两个正四棱台的组合体，其中茶碗上底面的边长为6cm,下底面边长为3cm,高为5.4cm,

则lL（1000cm3）茶水至少可以喝（不足一碗算一碗）（）

A.7碗B.8碗C.9碗D.10碗

【答案】C

【详解】由条件可得，茶碗的上底面面枳S|=6x6=36cm。

茶碗的下底面面积§2=3x3=9cm”,茶碗高/?=5.4cm,

则茶碗的体积V='（£+S?+Je•SJ；卜6+9+136x9卜5.4=113.4cn?,

所以1000+113.4^8期,即lL（1030cm，茶水至少可以喝9碗.

故选：C

【变式2］（2023上•山东德州•高三统考期中）如图，青铜器的上半部分可以近似看作圆柱体，下半部分可

以近似看作两个圆台的组合体，已知A3=8cm,CD=2cm,则该青铜器的体积为（）

C.43clcm】D.43夜Ticm，

2

【答案】D

【详解】设圆柱的底面圆半径为总底层圆台的上卜底面圆半径分别为公4,且6=2,弓=