2026年导数的应用阶段测试题及答案

2026年导数的应用阶段测试题及答案

一、单项选择题（每题2分，共20分）1.函数$f(x)=x^3-3x^2+2$在区间$[0,2]$上的极小值点是（）A.0B.1C.2D.不存在2.曲线$y=x^2+1$在点$(1,2)$处的切线方程为（）A.$y=2x$B.$y=2x-1$C.$y=2x+1$D.$y=3x-1$3.函数$f(x)=x^3-3x$的单调递增区间是（）A.$(-\infty,-1)\cup(1,+\infty)$B.$(-1,1)$C.$(-\infty,0)\cup(0,+\infty)$D.$(-\infty,-\sqrt{3})\cup(\sqrt{3},+\infty)$4.函数$f(x)=\frac{1}{3}x^3-4x+4$在区间$[0,3]$上的最大值是（）A.4B.$\frac{4}{3}$C.1D.05.若函数$f(x)=x^3-3x^2+a$有三个不同的零点，则实数$a$的取值范围是（）A.$(-\infty,0)$B.$(0,4)$C.$(4,+\infty)$D.$(-\infty,-4)\cup(4,+\infty)$6.曲线$y=\lnx$在点$(1,0)$处的切线方程为（）A.$y=x-1$B.$y=-x+1$C.$y=x+1$D.$y=-x-1$7.函数$f(x)=e^x-x$的最小值是（）A.1B.0C.-1D.不存在8.函数$f(x)=x^2-2x+3$在区间$[0,3]$上的平均变化率是（）A.2B.1C.4D.$\frac{1}{2}$9.已知函数$f(x)$的导函数$f'(x)=x^2-4$，则$f(x)$的一个单调递减区间是（）A.$(-\infty,-2)$B.$(-2,0)$C.$(0,2)$D.$(2,+\infty)$10.函数$f(x)=x^3-3x^2+2x$的图象与直线$y=k$有三个交点，则实数$k$的取值范围是（）A.$(-\infty,0)$B.$(0,2)$C.$(2,+\infty)$D.$(-\infty,-2)\cup(2,+\infty)$二、填空题（每题2分，共20分）1.函数$f(x)=x^3-3x^2+1$的单调递增区间是______。2.曲线$y=x^3-3x^2+2x$在点$(1,0)$处的切线方程为______。3.函数$f(x)=x^3-3x$在区间$[-1,2]$上的最大值是______。4.函数$f(x)=\frac{1}{3}x^3-x^2+ax$在$R$上是增函数，则实数$a$的取值范围是______。5.已知函数$f(x)$的导函数$f'(x)=x^2-4x+3$，则$f(x)$的极小值点是______。6.曲线$y=e^x$在点$(0,1)$处的切线方程为______。7.函数$f(x)=x^3-3x^2+2$在区间$[0,3]$上的最小值是______。8.函数$f(x)=\frac{1}{3}x^3-4x+4$在区间$[0,3]$上的极小值是______。9.若函数$f(x)=x^3-3x^2+a$在区间$[-1,2]$上的最大值为1，则实数$a$的值是______。10.函数$f(x)=x^3-3x^2+2x$的单调递减区间是______。三、判断题（每题2分，共20分）1.函数$f(x)=x^3-3x^2+2$在区间$[0,2]$上无极值。（）2.曲线$y=x^2+1$在点$(1,2)$处的切线方程为$y=2x$。（）3.函数$f(x)=x^3-3x$在区间$(-\infty,-1)\cup(1,+\infty)$上单调递增。（）4.函数$f(x)=\frac{1}{3}x^3-4x+4$在区间$[0,3]$上的最大值是4。（）5.若函数$f(x)=x^3-3x^2+a$有三个不同的零点，则实数$a$的取值范围是$(-\infty,0)$。（）6.曲线$y=\lnx$在点$(1,0)$处的切线方程为$y=x-1$。（）7.函数$f(x)=e^x-x$的最小值是0。（）8.函数$f(x)=x^2-2x+3$在区间$[0,3]$上的平均变化率是2。（）9.已知函数$f(x)$的导函数$f'(x)=x^2-4$，则$f(x)$的一个单调递减区间是$(-\infty,-2)$。（）10.函数$f(x)=x^3-3x^2+2x$的图象与直线$y=k$有三个交点，则实数$k$的取值范围是$(-\infty,-2)\cup(2,+\infty)$。（）四、简答题（每题5分，共20分）1.求函数$f(x)=x^3-3x^2+2$在区间$[0,2]$上的极值。2.求曲线$y=x^3-3x^2+2x$在点$(1,0)$处的切线方程。3.已知函数$f(x)=x^3-3x$，求其单调递增区间。4.求函数$f(x)=\frac{1}{3}x^3-4x+4$在区间$[0,3]$上的最值。五、讨论题（每题5分，共20分）1.讨论函数$f(x)=x^3-3x^2+2$在区间$[0,2]$上的单调性。2.讨论曲线$y=x^3-3x^2+2x$在点$(1,0)$处的切线与曲线的位置关系。3.已知函数$f(x)=x^3-3x$，若函数$g(x)=f(x)+m$在区间$[-1,2]$上有零点，求实数$m$的取值范围。4.求函数$f(x)=\frac{1}{3}x^3-4x+4$在区间$[0,3]$上的零点个数。答案：一、单项选择题1.B。对$f(x)$求导得$f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)$，令$f'(x)=0$，解得$x=0$或$x=2$，当$x\in(0,1)$时，$f'(x)<0$，当$x\in(1,2)$时，$f'(x)>0$，所以极小值点是1。2.B。$f'(x)=2x$，则$f'(1)=2$，所以切线方程为$y-2=2(x-1)$，即$y=2x-1$。3.A。$f'(x)=3x^2-3=3(x+1)(x-1)$，令$f'(x)>0$，解得$x<-1$或$x>1$。4.A。$f'(x)=x^2-4=(x+2)(x-2)$，令$f'(x)=0$，解得$x=\pm2$，当$x\in[0,2)$时，$f'(x)<0$，当$x\in(2,3]$时，$f'(x)>0$，$f(0)=4$，$f(3)=1$，所以最大值是4。5.B。令$f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)=0$，解得$x=0$或$x=2$，当$x<0$或$x>2$时，$f'(x)>0$，当$0<x<2$时，$f'(x)<0$，所以极大值为$f(0)=a$，极小值为$f(2)=a-4$，要使函数有三个不同零点，则$\begin{cases}a>0\\a-4<0\end{cases}$，解得$0<a<4$。6.A。$f'(x)=\frac{1}{x}$，则$f'(1)=1$，所以切线方程为$y=x-1$。7.B。$f'(x)=e^x-1$，令$f'(x)=0$，解得$x=0$，当$x<0$时，$f'(x)<0$，当$x>0$时，$f'(x)>0$，所以最小值为$f(0)=1$。8.A。平均变化率为$\frac{f(3)-f(0)}{3-0}=\frac{(3^3-3\times3^2+2\times3)-(0^3-3\times0^2+2\times0)}{3}=2$。9.C。令$f'(x)=x^2-4<0$，解得$-2<x<2$。10.B。$f'(x)=3x^2-6x+2$，令$f'(x)=0$，解得$x=\frac{3\pm\sqrt{3}}{3}$，当$x\in(\frac{3-\sqrt{3}}{3},\frac{3+\sqrt{3}}{3})$时，$f'(x)<0$。二、填空题1.$(-\infty,0)\cup(2,+\infty)$。$f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)$，令$f'(x)>0$，解得$x<0$或$x>2$。2.$y=-x+1$。$f'(x)=3x^2-6x+2$，则$f'(1)=-1$，所以切线方程为$y=-x+1$。3.2。$f'(x)=3x^2-3=3(x+1)(x-1)$，令$f'(x)=0$，解得$x=\pm1$，$f(-1)=2$，$f(2)=2$，所以最大值是2。4.$[1,+\infty)$。$f'(x)=x^2-2x+a$，因为函数在$R$上是增函数，所以$f'(x)\geq0$恒成立，即$\Delta=4-4a\leq0$，解得$a\geq1$。5.1。$f'(x)=x^2-4x+3=(x-1)(x-3)$，令$f'(x)=0$，解得$x=1$或$x=3$，当$x<1$时，$f'(x)>0$，当$1<x<3$时，$f'(x)<0$，所以极小值点是1。6.$y=x+1$。$f'(x)=e^x$，则$f'(0)=1$，所以切线方程为$y=x+1$。7.-2。$f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)$，令$f'(x)=0$，解得$x=0$或$x=2$，$f(0)=2$，$f(2)=-2$，所以最小值是-2。8.$\frac{4}{3}$。$f'(x)=x^2-4=(x+2)(x-2)$，令$f'(x)=0$，解得$x=\pm2$，当$x\in[0,2)$时，$f'(x)<0$，当$x\in(2,3]$时，$f'(x)>0$，$f(2)=\frac{4}{3}$，所以极小值是$\frac{4}{3}$。9.2。$f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)$，令$f'(x)=0$，解得$x=0$或$x=2$，当$x<0$或$x>2$时，$f'(x)>0$，当$0<x<2$时，$f'(x)<0$，所以极大值为$f(0)=a$，极小值为$f(2)=a-4$，$f(-1)=a-4$，$f(2)=a-4$，所以最大值为$f(0)=a=1$。10.$(1,3)$。$f'(x)=3x^2-6x+2$，令$f'(x)<0$，解得$1<x<3$。三、判断题1.×。函数有极小值。2.×。切线方程为$y=2x-1$。3.√。4.√。5.×。取值范围是$(0,4)$。6.√。7.√。8.√。9.×。单调递减区间是$(-2,2)$。10.×。取值范围是$(-2,2)$。四、简答题1.解：$f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)$，令$f'(x)=0$，解得$x=0$或$x=2$，当$x\in(0,2)$时，$f'(x)<0$，所以函数在$[0,2]$上的极小值为$f(2)=-2$，无极大值。2.解：$f'(x)=3x^2-6x+2$，则$f'(1)=-1$，所以切线方程为$y=-x+1$。3.解：$f'(x)=3x^2-3=3(x+1)(x-1)$，令$f'(x)>0$，解得$x<-1$或$x>1$，所以单调递增区间是$(-\infty,-1)\cup(1,+\infty)$。4.解：$f'(x)=x^2-4=(x+2)(x-2)$，令$f'(x)=0$，解得$x=\pm2$，当$x\in[0,2)$时，$f'(x)<0$，当$x\in(2,3]$时，$f'(x)>0$，$f(0)=4$，$f(3)=1$，所以最大值是4，最小值是$f(2)=\frac{4}{3}$。五、讨论题1.解：$f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)$，令$f'(x)=0$，解得$x=0$或$x=2$，当$x\in(0,2)$时，$f'(x)<0$，当$x\in(2,+\infty)$或$x\in(-\infty,0)$时，$f'(x)>0$，所以函数在$[0,2]$上单调递减，在$(2,+\infty)$和$(-\infty,0)$上单调递增。2.解：切线方程为$y=-x+1$，令$g(x)=x^3-3x^2+2x-(-x+1)=x^3-3x^2+3x-1$，$g'(x)=3x^2-6x+3=3(x-1)^2\geq0$，所以$g(x)$在$R$上单调递增，又$g(1)=