等腰三角形课件数学北师大八年级下册

2等腰三角形第1课时等腰三角形的性质知识点等腰三角形的性质定理及其推论1．等腰三角形的性质定理：_______________________．简述为：___________．2．等腰三角形_____________、_____________及_____________互相重合．等腰三角形的两底角相等等边对等角顶角的平分线底边上的中线底边上的高线【注意】(1)遇到等腰三角形时，首先要考虑运用其“等边对等角”的性质，其次可以考虑运用其“三线合一”的推论．(2)在△ABC中，AB＝AC，若AD是顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线三者中的任意一个，都可得另外两个．考点等腰三角形的性质典例

[2023·益阳]如图，AB∥CD，直线MN与AB，CD分别交于点E，F，CD上有一点G且GE＝GF，∠1＝122°.求∠2的度数．思路导析根据AB∥CD，可得∠DFE＝∠1＝122°，从而得到∠EFG＝58°，再由GE＝GF，可得∠FEG＝∠EFG＝58°，然后根据三角形内角和定理，即可求解．解：∵AB∥CD，∠1＝122°，∴∠DFE＝∠1＝122°，∴∠EFG＝180°－∠DFE＝58°.∵GE＝GF，∴∠FEG＝∠EFG＝58°，∴∠2＝180°－∠FEG－∠EFG＝64°.【温馨提示】本题主要考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，题目比较基础．变式1如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝40°，D为BC边的中点，CE平分∠ACB，交AB于点E，交AD于点F，则∠AFC的度数为()A．130°B．120°C．110°D．100°变式2如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，CD平分∠ACB，过点B作BD⊥CD，垂足为点D，连接AD，若AB＝3，BC＝4，则△ADB的面积为___．变式3[2025·铁岭期中]如图，△ABC中，AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，且AE＝AB．(1)若∠C＝35°，求∠BAE的度数；(2)若△ABC周长为20cm，AC＝8cm，求CD的长．解：(1)∵AE＝AB，EF垂直平分AC，∴AB＝AE＝EC，∠C＝∠CAE，∠B＝∠AEB．∵∠C＝35°，∠AED＝∠C＋∠CAE＝2∠C＝70°，∴∠BAE＝180°－2∠AEB＝180°－140°＝40°；(2)∵△ABC周长为20cm，AC＝8cm，∴AB＋BC＝20－8＝12(cm)，∴AB＋BE＋EC＝12cm，∵AE＝AB，AD⊥BC，∴BD＝DE.∵AB＝AE＝EC，即2EC＋2DE＝12cm.∴CD＝EC＋DE＝6cm.第2课时等边三角形的性质知识点等边三角形的性质等边三角形的三条边都_____，三个内角都_____，并且每个角都等于___°.相等相等60【注意】(1)遇到等边三角形时，首先要想到它的三条边相等，三个内角相等且都等于60°.(2)遇到等边三角形时，也要想到等腰三角形的性质．考点1等边三角形的性质典例1如图，直线m∥n，等边△ABC的顶点B在直线n上，∠2＝35°，则∠1的度数为()A．40°B．25°C．30°D．35°思路导析过点C作CD∥m，先根据平行线的性质得出∠ACD＝∠2＝35°，∠DCB＝∠1，再根据等边三角形的性质和∠2的度数求出∠1的度数即可．【温馨提示】本题主要考查等边三角形的性质和平行线的性质，掌握等边三角形的性质和平行线的性质是解题的关键．变式1如图，直线l1∥l2，△ABC是等边三角形，∠1＝50°，则∠2的大小为()A．60°B．80°C．70°D．100°变式2如图，一个等边三角形纸片，剪去一个角后得到一个四边形，则图中∠α＋∠β的度数是()A．180°

B．220°

C．240°

D．300°变式3

已知：如图，D，E分别是等边三角形ABC两边AB，AC上的点，连接BE，CD，BE与CD交于点O，AD＝CE，则∠BOD的度数是()A．50°B．60°C．65°D．70°考点2利用等边三角形的性质进行证明和计算典例2如图，在△ABC中，点D，E是边BC的三等分点，且△ADE是等边三角形，则∠BAC的度数为()A．105°B．120°C．130°D．150°思路导析利用等边三角形的性质以及等腰三角形的性质得出∠B＝∠BAD＝∠C＝∠EAC＝30°，进而利用三角形内角和定理求出即可．【温馨提示】此题主要考查了等边三角形的性质与等腰三角形的性质等知识，得出∠B＝∠C的度数是解题关键．变式如图，在等边△ABC中，BD是AC边上的中线，延长BC至点E，使CE＝CD，若DE＝4，则AB＝__．8第3课时等腰三角形的判定知识点1等腰三角形的判定定理有两个角相等的三角形是___________．简述为：___________．反证法知识点2先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立．这种证明方法称为反证法．等腰三角形等角对等边考点1等腰三角形的判定典例1如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC边上的点，BD＝CE，∠ABE＝∠ACD，BE与CD相交于点F.求证：△ABC是等腰三角形．思路导析先证△BFD≌△CFE(AAS)，得出BF＝CF，则∠FBC＝∠FCB，得出∠ABC＝∠ACB，则AB＝AC．证明：∵BD＝CE，∠ABE＝∠ACD，∠DFB＝∠EFC，∴△BFD≌△CFE(AAS)，∴BF＝FC，∴∠FBC＝∠FCB，∴∠ABE＋∠FBC＝∠ACD＋∠FCB，即∠ABC＝∠ACB，∴AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形．变式1下列能确定△ABC为等腰三角形的是()A．∠A＝50°，∠B＝80°B．∠A＝42°，∠B＝48°C．∠A＝2∠B＝70°D．AB＝4，BC＝5，周长为15变式2如图，把一张长方形的纸沿对角线折叠，重合部分是一个等腰三角形吗？为什么？解：重合部分为等腰三角形．理由如下：折叠后的图形如图所示，根据轴对称的性质可得AF＝AB＝CD，∠F＝∠B＝∠D＝90°，又∵∠FHA＝∠DHC，∴△FAH≌△DCH(AAS)，∴CH＝AH，∴重合部分为等腰三角形．考点2

反证法典例2用反证法证明“在△ABC中，AB＝AC，则∠B是锐角”，应先假设()A．在△ABC中，∠B一定是直角B．在△ABC中，∠B是直角或钝角C．在△ABC中，∠B是钝角D．在△ABC中，∠B可能是锐角思路导析反证法的第一步是假设结论不成立；原结论为∠B是锐角，它的反面是∠B不是锐角，则是直角或钝角．变式2用反证法证明命题“钝角三角形中必有一个内角小于45°”时，首先应该假设这个三角形中()A．有一个内角小于45°B．每一个内角都大于等于45°C．有一个内角大于等于45°D．每一个内角都小于45°第4课时等边三角形的判定知识点1等边三角形的判定1．有一个角等于60°的等腰三角形是___________．2.___条边都相等的三角形是等边三角形．3.___个角都相等的三角形是等边三角形．等边三角形三三【注意】(1)三个判定定理的前提不同，2和3是在普通三角形的条件下，1是在等腰三角形的条件下．(2)判定定理1告诉我们，在等腰三角形中，只要有一个角是60°，无论这个角是顶角还是底角，这个三角形都是等边三角形．知识点2含30°角的直角三角形的性质在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．【规律总结】在这样一个角度特殊(30°，60°，90°)的直角三角形中，它们三边之比有1∶∶2(由短到长)的关系，这个性质能帮助我们解决很多计算问题．考点1等边三角形的判定及应用典例1如图，在△ABC中，点D为AC边上一点，DE⊥AB于点E，ED的延长线交BC的延长线于点F，且CD＝CF.(1)求证：△ABC是等腰三角形；(2)当∠F＝___度时，△ABC是等边三角形？请证明你的结论．30思路导析(1)由CD＝CF，得∠F＝∠CDF，由垂直的定义，得∠F＋∠B＝90°，∠ADE＋∠A＝90°，由余角的性质，得∠B＝∠A，即可证明问题；(2)∠F＝30°时，由垂直的定义，得∠B＝90°－30°＝60°，由(1)知△ABC是等腰三角形，即可证明△ABC是等边三角形．解：(1)证明：∵CD＝CF，∴∠F＝∠CDF.∵∠ADE＝∠CDF，∴∠F＝∠ADE.∵DE⊥AB，∴∠F＋∠B＝90°，∠ADE＋∠A＝90°，∴∠B＝∠A，∴△ABC是等腰三角形；(2)当∠F＝30度时，△ABC是等边三角形，理由：∵DE⊥AB，∴∠B＋∠F＝90°，∴∠B＝90°－30°＝60°，由(1)知△ABC是等腰三角形，∴△ABC是等边三角形．故答案为：30.变式[2025·巴彦淖尔期中]如图，P为等边△ABC的边AB上一点，Q为BC延长线上一点，且PA＝CQ，连接PQ交AC边于点D．证明：PD＝DQ.证明：如图，过点P作PF∥BC交AC于点F.∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠ACB＝60°.∵PF∥BC，∴∠APF＝∠B＝60°，∠AFP＝∠ACB＝60°，∴∠APF＝∠AFP＝60°，∴△APF是等边三角形，∴∠APF＝∠BCA＝60°，AP＝PF＝A