人教版数学八年级下册

人教版八年级数学下册勾股定理的逆定理第2课时勾股定理的逆定理的应用学习目标1.灵活应用勾股定理的逆定理解决实际问题.上节课我们学习了有关互逆定理的知识，勾股定理的逆定理是什么?你能准确的区分这两个定理吗?勾股定理勾股定理的逆定理在Rt△ABC中，∠C=90°,a，b

为直角边c为斜边.三边存在a2+b2=c2

△ABC中，a，b

为较短边，c

为最长边，满足a2+b2=c2判定△ABC是直角三角形，∠C=90°.题设结论回顾旧知我们已经学会用勾股定理解决实际问题，那么勾股定理的逆定理在实际生活中有哪些应用呢？在军事和航海上经常要确定方向和位置，常用到勾股定理的逆定理.想一想1如图，某港口P位于东西方向的海岸线上.“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16nmile，“海天”号每小时航行12nmile.它们离开港口一个半小时后分别位于点Q，R处，且相距30nmile.如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？EPNRQ思考1：题目已知了哪些信息？“远航”、“海天”号的速度，运行时间，QR30，“远航”号的航向.思考2：由题目信息，可以得出什么？PQ，PR，QR的长度，

145°.合作探究21如图，某港口P位于东西方向的海岸线上.“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16nmile，“海天”号每小时航行12nmile.它们离开港口一个半小时后分别位于点Q，R处，且相距30nmile.如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？EPNRQ思考3：需要解决的问题是什么？求出两艘船航向所成的角思考4：已知线段的长度求角的度数，可以用什么知识呢？勾股定理的逆定理

2

如图，在四边形

ABCD

中，AB=20，BC=15，CD=7，AD=24，∠B=90°.求四边形ABCD

的面积.解：如图，连接

AC.∵∠B=90°，AB=20，BC

=15，∴AC2=AB2+BC2=202+152=625.∵AD2+CD2=242+72=625，∴AC2=AD2+CD2，∴△ADC

是直角三角形，且∠D

是直角.∴S四边形ABCD

=S△ABC

+S△ADC=AB·BC+AD·CD

=×20×15+×24×7=234.ABCD转化思想练习1.如果三条线段长

a，b，c

满足

a2=c2-b2，这三条线段

组成的三角形是不是直角三角形？为什么？解:

这三条线段组成的三角形是直角三角形.∵a2

=

c2-b2，∴a2

+

b2=

c2，由勾股定理的逆定理知这个三角形是直角三角形.解：根据题意，PQ＝16×1.5＝24，PR＝12×1.5＝18，QR＝30．∵242＋182＝302，即PQ2＋PR2＝QR2，∴∠QPR＝90°，由“远航”号沿东北方向航行可知∠1＝45°．因此∠2＝45°，即“海天”号沿西北方向航行．如何有效解决实际问题：1．构建对应几何图形．2．标注有用信息（或添加必要的辅助线），明确已知和所求．3．应用数学知识解决问题．

ABDC

勾股定理与勾股定理的逆定理的条件和结论相反．勾股定理是直角三角形的性质，其逆定理是直角三角形的判定．勾股定理是根据直角三角形探求边长的关系，体现了由形到数的转化；勾股定理的逆定理是由三角形的三边关系探求三角形的形状，体现了由数到形的转化．典例精析我们知道3,4,5是一组勾股数，那么3k,4k,5k（k是正整数）也是一组勾股数吗？一般地，如果a,b,c是一组勾股数，那么ak,bk,ck（k是正整数）也是一组勾股数吗？解：（1）3k,4k,5k也是一组勾股数.因为（3k）2+（4k）2=9k2+16k2=25k2,（5k）2=25k2,所以（3k）2+（4k）2=（5k）2.勾股数拓展性质的证明：（2）如果a,b,c是一组勾股数，那么ak,bk,ck也是一组勾股数.因为a,b,c是勾股数，则a2+b2=c2（ak）2+（bk）2=a2k2+b2k2=（a2+b2）k2=c2k2,（ck）2=c2k2故（ak）2+（bk）2=（ck）2,所以ak,bk,ck也是一组勾股数.新知探究思考：前面我们学习了两个命题，分别为：命题1：如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2．命题2：如果三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形．两个命题的题设和结论有何联系？

②勾股数拓展性质：一组勾股数，都扩大相同倍数k(k为正整数)，得到一组新数，

这组数同样是勾股数.；10，24，26；8，15，17；7，24，25

9，40，41；……3，4，56，8，1015，20，25合作探究

下列各组数是勾股数的是

(

)

A.6，8，10B.7，8，9

C.0.3，0.4，0.5D.52，122，132A针对训练3.小明向东走80m后，沿另一方向又走了60m，再沿第三个方向走100m回到原地.小明向东走80m后是向哪个方向走的？北南东西OA分析：如图所示，小明先向东走到A处，则OA=80m.根据题意，小明应该是往东西方向坐标以上或者以下行走的，所以应该分两种情况讨论.解：（1）小明从O走到A