离散型随机变量的均值课件-高二下学期数学人教A版选择性

7.3.1离散型随机变量的均值一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，

‧‧‧，xn，我们称X取每一个值xi的概率为X的概率分布列(listofprobabilitydistribution)，简称分布列.(1)离散型随机变量的分布列根据概率的性质，离散型随机变量分布列具有下述两个性质:(2)离散型随机变量的分布列的性质复习旧知根据X的定义，{X＝1}＝“抽到次品”，{X＝0}＝“抽到正品”，X的分布列为解：例5.

一批产品中次品率为5%，随机抽取1件，定义求X的分布列.用表格表示如下：X01P0.950.05两点分布题型三两点分布典例解析对于只有两个可能结果的随机试验，用A表示“成功”，

表示“失败”,定义如果P(A)＝p，则P()＝1－p，那么X的分布列如下表所示.X01P1－pp我们称X服从两点分布或0—1分布.X23P0.30.7思考：随机变量X的分布列由下表给出,它服从两点分布吗?注:只取两个不同值的随机变量并不一定服从两点分布不服从两点分布,因为X的取值不是0或11.一个袋中有质地、大小完全相同的3个白球和4个红球.(1)从中任意摸出1个球，用0表示摸出白球，用1表示摸出红球，求X的分布列；

(1)由题意知，所以X的分布列为跟踪训练(2)从中任意摸出2个球，求η的分布列.所以η的分布列为1.设随机变量X的分布列如下：C则P(X＝10)等于(

)巩固练习7.3.1离散型随机变量的均值新课程标准解读核心素养1.理解离散型随机变量的均值的意义、性质并能简单应用.2.会用离散型随机变量的均值解决一些相关的实际问题.1.数学抽象、数学运算：离散型随机变量的均值的意义和计算.2.数学建模：离散型随机变量的均值的实际应用.

问题1

甲、乙两名射箭运动员射中目标箭靶的环数的分布列如下表所示.环数X78910甲射中的概率0.10.20.30.4乙射中的概率0.150.250.40.2如何比较他们射箭水平的高低呢?类似两组数据的比较，首先比较击中的平均环数，如果平均环数相等，再看稳定性.假设甲射箭n次，射中7环、8环、9环和10环的频率分别为甲n次射箭射中的平均环数为探究新知探究点1、离散型随机变量的均值当n足够大时，频率稳定于概率，所以稳定于即甲射中平均环数的稳定值(理论平均值)为9，这个平均值的大小可以反映甲运动员的射箭水平.同理，乙射中环数的平均值为从平均值的角度比较，甲的射箭水平比乙高.一般地，若离散型随机变量X的分布列如下表所示，Xx1x2‧‧‧xnPp1p2‧‧‧pn则称

为随机变量X的均值或数学期望，数学期望简称期望.均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数，它综合了随机变量的取值和取值的概率，反映了随机变量取值的平均水平.

例1

在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分.如果某运动员罚球命中的概率为0.8，那么他罚球1次的得分X的均值是多少?由题意得，X的分布列为解：即该运动员罚球1次的得分X的均值是0.8.一般地，如果随机变量X服从两点分布，那么探究点2.两点分布的均值例2

抛掷一枚质地均匀的骰子，设出现的点数为X，求X的均值.由题意得，X的分布列为解：即点数X的均值是3.5.

(1)明取值：根据随机变量X的意义,写出X可能取得的全部值；(2)求概率：求X取每个值的概率；(3)画表格：写出X的分布列；(4)求均值：由均值的定义求出E(X)2.求离散型随机变量的均值的步骤：反思感悟1.意义：均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数，它综合了随机变量的取值和取值的概率，反映了随机变量取值的平均水平.2.离散型随机变量的均值E(X)是一个数值，是随机变量X本身固有的一个数字特征，它不具有随机性，反映的是随机变量取值的平均水平．3.由离散型随机变量的均值的定义可知，它与离散型随机变量有相同的单位．随机变量的均值是一个常数，它不依赖于样本的抽取，而样本的平均值是一个随机变量，它随样本抽取的不同而变化．

如果X是一个离散型随机变量，X加一个常数或乘一个常数后，其均值会怎样变化?即E(X＋b)和E(aX)(其中a,b为常数)分别与E(X)有怎样的关系?设X的分布列为根据随机变量均值的定义，类似地，可以证明一般地，下面的结论成立：探究点3、均值的性质1.随机变量ξ的分布列是ξ135P0.50.30.2(1)则Eξ=.

2.随机变量ξ的分布列是2.4(2)若η=2ξ+1，则Eη=.

5.8ξ47910P0.3ab0.2Eξ=7.5,则a=

b=

.0.40.1小试牛刀例3某地最近出台一项机动车驾照考试规定：每位考试者一年之内最多有4次参加考试的机会，一旦某次考试通过，即可领取驾照，不再参加以后的考试，否则就一直考到第4次为止．如果李明决定参加驾照考试，设他每次参加考试通过的概率依次为0.6,0.7,0.8,0.9，求在一年内李明参加驾照考试次数X的分布列和X的均值．题型一求离散型随机变量的均值典例解析解：X的取值分别为1,2,3,4.X＝1，表明李明第一次参加驾照考试就通过了，故P(X＝1)＝0.6.X＝2，表明李明第一次考试未通过，第二次通过了，故P(X＝2)＝(1－0.6)×0.7＝0.28.X＝3，表明李明第一、二次考试未通过，第三次通过了，故P(X＝3)＝(1－0.6)×(1－0.7)×0.8＝0.096.X＝4，表明李明第一、二、三次考试都未通过，故P(X＝4)＝(1－0.6)×(1－0.7)×(1－0.8)＝0.024.所以李明一年内参加考试次数X的分布列为X1234P0.60.280.0960.024所以X的均值为E(X)＝1×0.6＋2×0.28＋3×0.096＋4×0.024＝1.544.依题意，ξ的可能取值为0,1,2.跟踪训练2.某卫视综艺节目中有一个环节叫“超级猜猜猜”，规则如下：在这一环节中嘉宾需要猜三道题目，若三道题目中猜对一道题目可得1分，若猜对两道题目可得3分，若是三道题目完全猜对可得6分，若三道题目全部猜错，则扣掉4分.如果某嘉宾猜对这三道题目的概率分别为，，，且三道题目之间相互独立.求该嘉宾在该环节中所得分数的分布列与均值.根据题意，设X表示该嘉宾所得分数，则X的可能取值为－4，1，3，6.所以X的分布列为

3.猜歌名游戏是根据歌曲的主旋律制成的铃声来猜歌名.某嘉宾参加猜歌名节目，猜对每首歌曲的歌名相互独立，猜对三首歌曲A，B，C歌名的概率及猜对时获得相应的公益基金如表所示.规则如下:按照A，B，C的顺序猜，只有猜对当前歌曲的歌名才有资格猜下一首.求嘉宾获得的公益基金总额X的分布列及均值.歌曲ABC猜对的概率0.80.60.4获得的公益基金额/元100020003000解：分别用A,B,C表示猜对歌曲A,B,C歌名的事件，A,B,C相互独立X的分布列如下表所示：X0100030006000P0.20.320.2880.192X的均值为例4已知随机变量X的分布列如下：X－2－1012Pm(1)求m的值；(2)求E(X)；(3)若Y＝2X－3，求E(Y)．(1)由随机变量分布列的性质，E(Y)＝E(2X－3)＝2E(X)－3＝题型二

离散型随机变量的均值性质的应用典例解析已知随机变量ξ的分布列为ξ－101Pm所以E(ξ)＝－所以E(η)＝E(aξ＋3)＝aE(ξ)＋3＝得a＝2.跟踪训练

例5根据天气预报，某地区近期有小洪水的概率为0.25，有大洪水的概率为0.01.该地区某工地上有一台大型设备，遇到大洪水时要损失60000元，遇到小洪水时要损失10000元.为保护设备，有以下3种方案:

方案1运走设备，搬运费为3800元；

方案2建保护围墙，建设费为2000元，但围墙只能防小洪水；

方案3不采取措施.

工地的领导该如何决策呢?题型三

离散型随机变量的均值的应用典例解析解：设方案1、方案2、方案3的总损失分别为X1,X2,X3.采用方案1,无论有无洪水，都损失3800元.因此采用方案2,遇到大洪水时，总损失为2000+60000=62000元；没有大洪水时，总损失为2000元.因此采用方案3,有∴因此,从期望损失最小的角度,应采取方案2.跟踪训练X16171819202122P0.040.160.240.240.20.080.041.离散型随机变量的均值：一般地，若离散型随机变量X的分布列如下表所示，Xx1x2‧‧‧xnPp1p2‧‧‧pn则称为随机变量X的均值或数学期望，数学期望简称期望.2.均值的性质：3.随机变量X服从两点分布，则有课堂小结课堂练习（课本P66）解：1.已知随机变量X的分布列为X12345P0.10.30.40.10.1(1)求E(X)；(2)求E(3X+2).解：2.抛掷一枚硬币，规定正面向上得