4.1 因式分解 课件（内嵌视频） 2025-2026学年北师大版数学八年级下册

八下数学BSD第四章

因式分解1.因式分解复习回顾1.单项式：若一个代数式是________________，这样的代数式叫作单项式，单独________或_________也是单项式。2.多项式：几个单项式的____叫作多项式。3.整式：单项式和多项式统称整式。数与字母的乘积一个数一个字母和例如：2x2y3，5，x例如：2x2y3+5，x+2y手工课上，老师给同学发下一张如左图形状的纸张，要求他在恰好不浪费纸张的前提下剪拼成右图形状的长方形，作为一幅精美剪纸的衬底，请问你能帮助这位同学解决这个问题吗？aabb问题1：21能被哪些数整除？1，3，7，21.问题2：你是怎样想到的？因为21=1×21=3×7.思考：既然有些数能分解因数，那么类似地，有些多项式可以分解成几个整式的积吗？知识回顾新课探究993-99能被100整除吗？你是怎样想的？993-99=99×992-99×1=99×(992-1)=99×9800=98×99×100。所以，993-99能被100整除。小明993-99还能被哪些正整数整除？把一个数式化成了几个数乘积的形式(99+1)(99-1)如果将上面问题中的99换成a，你能把a3-a化成几个整式乘积的形式吗？尝试·交流993-99=99×992-99×1=99×(992-1)=99×9800=98×99×100

a3-a=a·a2-a·1=a·(a2-1)=a·(a+1)(a-1)=a(a+1)(a-1)问题3：如图，一块菜地被分成三部分，你能用不同的方式表示这块草坪的面积吗？方法二：m(a+b+c)方法一：ma+mb+mcm(a+b+c)=ma+mb+mcmambmc观察下面拼图过程，写出相应的代数式。观察·思考（1）mmmcbama+b+c_____________________=____________。（2）_____________________=____________。xx1xx111x+1x+1ma+mb+mcm(a+b+c)x2+2x+1(x+1)2把一个多项式转化成_________________的形式，这种变形叫做因式分解.因式分解也可以称为分解因式几个整式的乘积概念引入其中，每个整式都叫作这个多项式的因式.练一练1.下列从左边到右边的变形中，哪些是因式分解？哪些不是？单项式不能因式分解不是整式把一个多项式化成几个整式乘积的形式，这种变形叫作因式分解。注意：因式分解是一种恒等变形；变形对象：是_________；变形过程：由________变成____的形式；变形结果：是几个_____的积；因式分解必须分解到每个因式都不能分解为止。多项式和、差积整式手工课上，老师给同学发下一张如左图形状的纸张，要求他在恰好不浪费纸张的前提下剪拼成右图形状的长方形，作为一幅精美剪纸的衬底，请问你能帮助这位同学解决这个问题吗？aabba²-b²=(a+b)(a-b)操作·思考1.计算下列各式：（1）3x(x-1)=___________；（2）m(a+b-1)=_____________；（3）(m+4)(m-4)=_________；（4）(y-3)2=__________。3x2-3xma+mb-mm2-16y2-6y+92.根据上面的算式进行因式分解：（1）3x2-3x=___________；（2）ma+mb-m=___________；（3）m2-16=____________；（4）y2-6y+9=__________。3x(x-1)m(a+b-1)(m+4)(m-4)(y-3)23x(x-1)=__________；m(a+b-1)=__________；(m+4)(m-4)=________；(y-3)2=__________。3x2-3xma+mb-mm2-16y2-6y+93.因式分解与整式乘法有什么关系？请举例说明。（1）3x(x-1)=_________；（2）m(a+b-1)=___________；（3）(m+4)(m-4)=_______；（4）(y-3)2=_________。3x2-3xma+mb-mm2-16y2-6y+9（1）3x2-3x=___________；（2）ma+mb-m=__________；（3）m2-16=____________；（4）y2-6y+9=_______。3x(x-1)m(a+b-1)(m+4)(m-4)(y-3)2整式乘法因式分解探究点二：因式分解与整式乘法的关系

思考2：因式分解与整式乘法有什么联系与区别?联系：因式分解与整式乘法是方向相反的变形.(多项式)“和”(整式乘积)“积”整式乘法因式分解区别化“积”为“和”化“和”为“积”x2-

1(x+1)(x-

1)因式分解整式乘法思考：整式乘法与因式分解有什么关系？整式积的形式多项式整式乘法因式分解整式乘法因式分解互逆运算可以利用整式乘法来检验因式分解的结果是否正确。例1

判断下列各式哪些是整式乘法?哪些是因式分解?(1)x2－4y2＝(x＋2y)(x－2y)(2)2x(x－3y)＝2x2－6xy(3)(5a－1)2＝25a2－10a＋1(4)x2＋4x＋4＝(x＋2)2(5)(a－3)(a＋3)＝a2－9(6)m2－4＝(m＋2)(m－2)(7)2πR＋2πr＝2π(R＋r)因式分解整式乘法整式乘法因式分解因式分解整式乘法因式分解探究点二：因式分解与整式乘法的关系例3

若多项式

x2+ax+b分解因式的结果为a(x－2)(x+3)，求

a，b的值.解：∵

x2+ax+b=a(x-

2)(x+3)=ax2+ax-

6a，∴a=1，b=-6a=-6.方法归纳：对于此类问题，掌握因式分解与整式乘法为互逆运算是解题关键，应先把分解因式后的结果展开，再与原多项式各项对应的系数比较，使其分别相等即可.探究点二：因式分解与整式乘法的关系【练一练】2.下列多项式中，分解因式的结果为

-(x+y)(x-y)的是()A．x2-y2 B．-x2+y2C．x2

+y2

D．-x2-

y2B探究点二：因式分解与整式乘法的关系解：∵x2＋Ax＋B

＝(x－3)(x＋5)＝x2＋2x－15，∴A＝2，B＝－15.∴3A－B＝3×2＋15＝21.解：∵x2＋Ax＋B

＝(x－3)(x＋5)＝x2＋2x－15，∴A＝2，B＝－15.∴3A－B＝3×2＋15＝21.4.如果x2＋Ax＋B＝(x－3)(x＋5)，求3A－B的值.随堂演练1.连一连：x2-y29-25x2x2+6x+9xy-y2(x+3)2y(x-y)(3+5x)(3-5x)(x+y)(x-y)【教材P112随堂练习T1】2.下列由左边到右边的变形，哪些是因式分解？为什么？【教材P112随堂练习T2】（1）(a+3)(a-3)=a2-9；（2）m2-4=(m+2)(m-2)；（3）a2-b2+1=(a+b)(a-b)+1；（4）2mR+2mr=2m(R+r)。3.利用因式分解说明：257-512能被12整除。解：因为257-512=257-(52)6=257-256=256×(25-1)=256×24=256×12×2所以257-512能被12整除。因式分解定义：把一个多项式化成几个整式的_____的形式，叫做因式分解，也可称为___________.其中，每个整式叫做这个多项式的_______.与多项式乘法运算的关系

的变形过程.因式分解是把一个多项式化为几个整式的_____，整式乘法是把几个整式的______化为一个_________.乘积

分解因式因式

互逆多项式

乘积

乘积

课堂小结整式乘法--积化和差分解因式--和差化积判断下列各式从左到右的变形中，是否为因式分解：

A.x(a﹣b)=ax﹣bxB.x2﹣1+y2=(x﹣1)(x+1)+y2C.y2﹣1=(y+1)(y﹣1) D.ax+by+c=x(a+b)+cE.2a3b=a2•2ab

F.(x+3)(x﹣3)=x2﹣9判定因式分解的条件：(1)左边是多项式．(2)右边是积的形