空间向量与空间角(一)课件-高三数学二轮复习

第3讲空间向量与空间角(一)专题三

立体几何1.(2025·北京，T17)四棱锥P-ABCD中，△ACD与△ABC为等腰直角三角形，∠ADC=90°，∠BAC=90°，E为BC的中点.(1)F为PD的中点，G为PE的中点，证明：FG∥面PAB；探究真题明确方向

证明∴FN∥GM，∴四边形FGMN为平行四边形，∴FG∥MN，∵FG⊄平面PAB，MN⊂平面PAB，∴FG∥平面PAB.证明(2)若PA⊥面ABCD，PA=AC，求AB与面PCD所成角的正弦值.

解

解2.(2025·全国Ⅰ卷，T17)如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，BC∥AD.(1)证明：平面PAB⊥平面PAD；在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊂底面ABCD，∴AP⊥AB，∵AB⊥AD，AP，AD⊂平面PAD，AP∩AD=A，∴AB⊥平面PAD，∵AB⊂平面PAB，∴平面PAB⊥平面PAD.证明

证明

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证明

证明

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证明(ⅱ)求直线AC与PO所成角的余弦值.

解

解

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解命题热度：本讲是历年高考命题常考的内容，属于中档题目，各种题型均有考查，分值约为5~17分.考查方向：一是考查利用空间向量求线线角、线面角；二是已知空间角求参数的值；三是考查与空间角有关的最值问题，这类问题利用向量法往往容易上手，具有操作方便的优势.考点二直线与平面所成的角考点一异面直线所成的角内容索引专题突破练考点一异面直线所成的角

例1√

解析

√

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解析

解析

规律方法跟踪演练1

(2025·秦皇岛模拟)如图，四棱锥P-ABCD中，PB⊥平面ABCD，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，PB=BA=AD=3，BC=5，点E在棱PA上.(1)若E为PA的中点，证明：BE⊥PD；因为PB⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，所以AD⊥PB，因为AD∥BC，AB⊥BC，所以AB⊥AD，又AB，PB⊂平面PAB，AB∩PB=B，所以AD⊥平面PAB，因为BE⊂平面PAB，所以AD⊥BE，因为PB=BA，E为PA的中点，所以BE⊥PA，又AD，PA⊂平面PAD，AD∩PA=A，所以BE⊥平面PAD，因为PD⊂平面PAD，所以BE⊥PD.证明

解返回

解考点二直线与平面所成的角

例2如图①，连接BO并延长交AC于D.连接OA，DA1，易得OA1⊥平面ABC.因为OA⊂平面ABC，OB⊂平面ABC，所以A1O⊥OA，A1O⊥OB.又A1A=A1B，A1O=A1O，所以△A1OA≌△A1OB，即OA=OB，故∠OAB=∠OBA.因为AB⊥AC，所以∠BAC=90°，则∠OAB+∠OAD=90°，∠ODA+∠OBA=90°，即∠ODA=∠OAD，故OA=OD，所以OA=OD=OB，故O为BD的中点，又E是A1B的中点，所以OE∥A1D，又OE⊄平面AA1C1C，A1D⊂平面AA1C1C，所以OE∥平面AA1C1C.证明

解

解利用空间向量求线面角的解题步骤规律方法

证明

解返回

解专题突破练答案12341.(1)因为CD⊥平面ABC，BC，AC，AB⊂平面ABC，所以CD⊥BC，CD⊥AC，CD⊥AB.又AB⊥BC，且BC∩CD=C，BC，CD⊂平面BCD，所以AB⊥平面BCD，又BD⊂平面BCD，则AB⊥BD，所以四面体ABCD的四个面都为直角三角形，则四面体ABCD为鳖臑.答案12341.

答案12341.

2.答案1234

答案12342.

答案12343.

答案12343.

答案12344.

答案12344.(2)①因为PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则B(1，0，0)，C(1，1，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)，设M(0，y，z)，因为MB2+MD2=5，则1+y2+z2+(y-2)2+z2=5，整理可得(y-1)2+z2=1，答案12344.

答案12344.

1234答案1234答案因为CD⊥平面ABC，BC，AC，AB⊂平面ABC，所以CD⊥BC，CD⊥AC，CD⊥AB.又AB⊥BC，且BC∩CD=C，BC，CD⊂平面BCD，所以AB⊥平面BCD，又BD⊂平面BCD，则AB⊥BD，所以四面体ABCD的四个面都为直角三角形，则四面体ABCD为鳖臑.证明(2)若直线MN⊥平面ABD，求直线BE与MN所成角的余弦值.1234答案1234答案

解1234答案

解1234

答案1234答案

证明1234答案

证明1234(2)求A1P与平面A1BC所成角的正弦值.答案1234答案

解

1234答案1234答案

证明

1234答案1234答案

解12344.(2025·玉溪模拟)如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，AD∥BC，AD=2AB=2BC=2.(1)证明：平面PAC⊥平面PCD；答案1234答案

证明1234(2)若PA