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1.7.几何空间向量的外积外积的基本性质（特别注意反交换律）外积的计算内积与外积在立体几何中的应用点到直线的距离二面角直线与平面的夹角点到平面的距离二重外积1几何空间向量的外积外积的定义向量的外积是向量间的另一种重要的运算,有很多应用,如力学中的力矩.2几何空间向量的外积外积的性质证明:3几何空间向量的外积外积的性质则证明:4几何空间向量的外积外积的运算性质定理7.3.证明:(EP1)由定义可得;(EP2)且由反交换律得另一等式5几何空间向量的外积外积的运算性质因于是由命题7.2可得,6几何空间向量的外积外积的运算性质7几何空间向量的外积外积的运算性质因此最后,由反交换律可得右分配律.8几何空间向量的外积外积的计算则从而证明:由外积的性质易得.9几何空间向量的外积外积的计算:说明1)外积计算公式也形式地记为因此,平行四边形的面积为10几何空间向量的外积外积的计算：例题解:先求得于是11几何空间向量的外积外积的计算：例题已知空间3点A(1,1,0),B(1,2,1),C(0,1,2).求三角形ABC的面积;求AB边上的高.解:三角形ABC的面积为以AB,AC为邻边的平行四边形的面积的一半,所以=(2,1,1).AB边上的高：12几何空间向量的外积外积与内积在立体几何中的应用立体几何中的夹角与距离的问题可以转化为向量的计算问题.建立适当的直角坐标系后,应用外积与内积有时可以简化计算过程,或者使得思路变得简单.这里将涉及点到直线的距离,二面角,直线与平面的夹角,点到平面的距离等.点到直线的距离.设P为空间一点,l

为一空间直线.在直线上任取两点A,B,13几何空间向量的外积点到直线的距离：例题求点M到直线PQ距离.解:建立如图的直角坐标系,得于是14几何空间向量的外积二面角则这两个平面所成的二面角等于或15几何空间向量的外积直线与平面的夹角则直线与平面的夹角为16几何空间向量的外积点到平面的距离在平面上任取一点A,17几何空间向量的外积例题7.4求解:先给出相关点的坐标:18几何空间向量的外积例题7.419几何空间向量的外积例题7.4平面BPQ的法向量为平面MPQ的法向量为可以看出该二面角为钝角20几何空间向量的外积例题7.4=421几何空间向量的外积二重外积命题7.4.proof由反交换律得到可见,向量的外积不满足结合律.例.证明雅可比恒等式:证：三式相加即得.22几何空间向量的外积命题7.4的证明命题7.4证:取一个右手系直角

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