湖南省常德市2026届高三年级3月模拟数学试卷+答案

科目：数学

(试题卷)

注意事项：

1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在

答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答

题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干

净后，再选涂其他答案标号，不留痕迹。回答非选择题时，

将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3．本试卷共4页。如缺页，考生须及时报告监考老

师，否则后果自负。

4．考试结束后，将本答题卷和答题卡一并交回。

姓名

准考证号

祝你考试顺利！

2026年常德市高三年级模拟考试

数学

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的．

1．已知集合M=，N={x|1≤x≤3}，则MN=

A．{x|1≤x≤2}B．{x|1≤x<2}

C．{x|_1<x≤3}D．{x|_1<x<2}

2．已知i是虚数单位，复数z满足z_2z=_1+3i，则z=

A．1+iB．1_iC．1+2iD．1_2i

3．一个袋中有6个大小和质地相同的球，其中红球2个，白球4个，现从中依次不放

回地随机摸取2次，每次摸出1个球，则第二次摸出的球是红球的概率为

21

A．B．

39

21

C．D．

93DC

4．如图，在边长为2的正方形ABCD中，E、F分别为BC、

AE的中点，则AE.DF=E

A．_1B．1F

A

C．_1D．1B

22

5．一个圆锥的底面半径与一个球的半径相等，且它们的体积也相等，则圆锥的侧面积

与球的表面积的比值为

A．1B．C．D．

6．已知圆C:(x_2)2+y2=1与双曲线Ea>0,b>0)的渐近线相切，则椭圆

T1的离心率e=

A．B．C．D．

7．已知实数x，y满足：5x=7y_2y，则

A．x≥1B．y≥1

C．(x_1)(y_1)≥0D．(x_1)(y_1)≤0

8．已知△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，△ABC的面积StanC，

角C的平分线交AB于D点，且a=2，CD则BD=

A．3B．4C．5D．3

532

数学试题第1页(共4页)

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项

符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．

9．已知tanx=2，则

10．下列说法正确的是

A．样本数据2，3，3，4，7，8，10，18的第80百分位数为10

B．样本数据的正线性相关程度越强，则样本相关系数r的值越大

．根据分类变量与的成对数据，计算得到2，依据的独

Cxyx=2.947＜x0.05“=0.05

立性检验，结论为变量x与y不独立

D．一元线性回归模型的残差比较均匀地分布在以取值为0的横轴为对称轴的水平

带状区域内

11．已知a,b,c成等差数列，若关于x,y的方程组恰有2组解，则

A．ab<0B．a>0C．a+b>0D．

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．

12．已知曲线y=ex在x=0处的切线l与圆C:(x-1)2+y2=4相交于A、B两点，则

|AB|=.

13．已知函数f为奇函数，则实数a=.

14．函数y的值域为_____________.

nx

四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15．(本小题满分13分)

已知数列a的前项和，*

{n}nSn=2an-2n∈N.

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）设b=log2，数列bb的前n项和为T，求证：T<1．

nan{nn+1}nn

数学试题第2页(共4页)

16．(本小题满分15分)

如图，三棱柱ABC_A1B1C1中，平面BCC1B1丄平面AA1C1C，BC=AC=2CC1=2，

，为的中点

LB1C1CMAC.

（1）证明：平面A1BM丄平面AA1C1C；

（）若求直线与平面所成角的正弦值

2LCAAABA1BM.

17．(本小题满分15分)

泊松分布是一种统计与概率学里常见的离散型分布.若随机变量X服从参数为

λ(λ>0)的泊松分布（记作Xπ(λ)），则其概率分布为P，k∈N，其

中e为自然对数的底数.

（1）当λ≥20时，泊松分布可以用正态分布来近似，当λ≥50时，泊松分布基本上就

等于正态分布，此时可认为XN(λ,λ).若Xπ(81)，求P(90＜X＜99)的值；

（2）设XB(n，p)，当p≤0.05且n≥20时，二项分布可近似看成泊松分布，即

p=Cpkn_ke_k∈N，其中λ=E(X).

某工厂生产电子元器件，次品率为0.3%，各元件是否为次品相互独立，记X为产

品中的次品数，按泊松分布近似计算.

（i）这1000件产品中恰有2件次品的概率；

（ii）求使得P(X=i)最大时的X值．

_3

(参考数据：e≈0.05；若XN(μ,σ2)，则有P(μ_σ<X<μ+σ)≈0.6827，

P(μ_2σ<X<μ+2σ)≈0.9545，P(μ_3σ<X<μ+3σ)≈0.9973)

数学试题第3页(共4页)

18．(本小题满分17分)

抛物线C：x2=2py(p>0)的焦点为F，O为坐标原点，抛物线C上的一点M(2，m)

到焦点F的距离为2.

（1）求抛物线C的标准方程；

（2）已知直线l交抛物线C于A，B两点，直线AO交抛物线的准线于点P，且BP丄x轴.

（i)）证明：直线l过定点；

（ii）点Q为抛物线C的准线与y轴的交点，若△MAB的面积与△QAB的面积相等，求

直线l的方程.

19．(本小题满分17分)

已知函数f(x)=(x_1)lnx+e(其中e为自然对数的底数）.

（1）求函数f(x)的单调区间；

（2）当x时，证明：f(x)<_x+e+1；

（3）若f(x)=b有两个不同的实数解x1,x2，且<x1<x2，求证：xx2<e+1.

数学试题第4页(共4页)

2026年常德市高三年级模拟考试

数学参考答案及评分标准

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的．

题号12345678

答案BADDDACB

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项

符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．

题号91011

答案ACDABDAD

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．

12．2·213．114．

四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15．(本小题满分13分)

解：（1）①当n=1时，S1=2a1-2，又S1=a1，解得a1=2.................................2分

②当n≥2时，an=Sn-Sn-1=2an-an-1，所以an=2an-1..............................4分

所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以n分

{an}12an=2...........................6

（2）由b=log2=logn..................................................................................8分

nan2

所以bnbn........................................................................10分

所以Tn...............12分

因为*，所以分

n∈NTn<1...................................................................................13

16．(本小题满分15分)

法一：

解：（）连接与交于点，连接，

1AB1A1BNMN

三棱柱侧面为平行四边形，所以为的中点，

AA1B1BNA1B

又为的中点，所以分

MACMN//B1C..........................................................................2

数学参考答案第1页共5页

又因为ΔB1C1C中CC1=1,B1C1=BC=2,LB1C1C

222

由余弦定理可得B1C=C1C+C1B_2C1C.C1Bcos

所以222，所以分

B1C+C1C=B1C1B1C丄CC1.....................................................4

因为平面BCC1B1丄平面AA1C1C且交线为CC1，B1CC平面BCC1B1

所以B1C丄平面AA1C1C....................................................................................6分

又，所以平面

MN//B1CMN丄AA1C1C,

又平面，所以平面平面分

MNCA1BMA1BM丄AA1C1C............................................7

（）由π,1，得，故两两垂直，

2LCCA=LCAA=CC1=A1C1A1C丄CC1CA1,CC1,CB1

11132

以C为坐标原点，CA1,CC1,CB1所在直线为x,y,z轴建立如图所示空间直角坐标系，

则，，，，31分

B1(0,0,3)A1(3,0,0)A(3,_1,0)B(0,_1,3)M(,_,0)10

22

所以=(_3,0,3)，1=(_3,_1,3)，，

设平面的法向量为，

A1BMn=(x,y,z)

则，令x=1，则y=_3，z=0，

则=(1,_3,0)13分

设直线AB与平面A1BM所成角为θ,

则sinθ=|cos

故直线AB与平面A1BM所成角的正弦值为....................................................15分

法二：

解：（）延长与交于点，连接

1A1MC1CHBH.

三棱柱侧面为平行四边形，又为的中点，

AA1C1CMAC

所以为的中点，所以，又

CHC1HC=CC1=BB1HC//BB1,

所以四边形为平行四边形所以分

BHCB1,BH//B1C.....................................................2

又因为ΔB1C1C中CC1=1,B1C1=BC=2,LB1C1C

222

由余弦定理可得B1C=C1C+C1B_2C1C.C1Bcos

所以222，所以分

B1C+C1C=B1C1B1C丄CC14

因为平面BCC1B1丄平面AA1C1C且交线为CC1，B1CC平面BCC1B1,

所以B1C丄平面AA1C1C............................................................................................6分

数学参考答案第2页共5页

又，所以平面，

BH//B1CBH丄AA1C1C

又平面，所以平面平面分

BHCA1BMA1BM丄AA1C1C...........................................7

（2）解法同法一

阅卷评分说明：z

如图建立直角坐标系，写点的坐标10分

求得平面的法向量为分

A1BM=(1,_3,0)..............13

求得直线AB与平面A1BM所成角正弦值为分

H

y

17．(本小题满分15分)x

解：（1）因为当X~π(λ)，且λ=81时，可近似地认为X~N(λ,λ)，

即X～N(81,81)，这里μ=81,σ=81=92分

所以，P(90<X<99)=P(81+9<X<81+18)=P(μ+σ<X<μ+2σ)

=P(μ_2σ<X<μ+2σ)_P(μ_σ<X<μ+σ)..............................................4分

0.9545_0.6827

==0.13595分

2

（2）(i)由题知X~π(λ)，其中λ=np=1000×0.003=3..............................................7分

P..............................................................9分

.........................................................................................................10分

所以.......................................................................12分

3

由≤1解得i≥2，

i+1

所以，当i≤2时，P(X=i)≥P(X=i+1)；当i≥3时，P(X=i)<P(X=i+1).

即P(X=1)<P(X=2)=P(X=3)>P(X=4)>

所以当X=2或X=3时，P(X=i)最大15分

18．(本小题满分17分)

解：（1）法一：由抛物线的定义有|MF|=m又点M(2，m)在抛物线上，

所以.........................................................................................................2分

解得：m=1，p=2，

所以抛物线C的标准方程为x2=4y..........................................................................5分

数学参考答案第3页共5页

法二：由题可知.................................................................................2分

解得：m=1，p=2.

所以抛物线C的标准方程为x2=4y..........................................................................5分

（）由题可知直线的斜率存在，设直线：，，，，（）

2(i)lly=kx+bA(x1y1)B(x2y2)x1x2≠0

因为点在准线上，且轴，所以

PBP丄xP(x2，_1).

由、三点共线，，即，

A、OP所以kOA=kOp

化简得①分

x2y1+x1=0....................................................................................................7

b

联立，消y得x2_4kx_4b=0,

由韦达定理得：，分

x1+x2=4kx1x2=_4b....................................................................9

又2得代入①得②分

x1=4y1y1=x1=0.......................................................11

将

x1x2=_4b代入②得_bx1+x1=0,

又，所以

x1≠0b=1.

所以直线l：y=kx+1过定点(0,1)...........................................................................13分

(ii)因为ΔMAB的面积与ΔQAB的面积相等，所以点M与点Q到直线l的距离相等.

①若直线l过MQ的中点，又M(2，1)，Q(0,_1)，MQ的中点为T(1，0),

则直线的斜率

lk=kFT

所以直线l的方程为y=_x+1..................................................................................15分

②若直线，则直线的斜率

l//MQlk=kMQ

所以直线l的方程为y=x+1.

综上，直线l的方程为y=_x+1或y=x+1..............................................................17分

19．(本小题满分17分)

解：（1）函数f(x)的定义域为(0,+∞)1分

f,=lnxlnx............................................2分

所以函数f,(x)在(0,+∞)上单调递增，又f,(1)=03分

所以当x∈(0,1)时f,(x)<0；当x∈(1,+∞)时f,(x)>0.

所以f(x)的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1,+∞)4分

（2）法一：

当x时，f(x)_(_x+e+1)=(x_1)lnx+x_1=(x_1)(lnx+1)...............6分

因为x，所以x_1<0，且lnx+1>0,

e

所以(x_1)(lnx+1)<0,

数学参考答案第4页共5页

所以f(x)_(_x+e+1)<0，即f(x)<_x+e+18分

法二：当x时，设g(x)=f(x)_(_x+e+1)=(x_1)lnx+x_1，

则g,+1=lnx...............