立体图形的直观图课件-高一下学期数学人教A版-1

第八章立体几何初步8.2立体图形的直观图学习目标1.掌握斜二测画法的步骤.2.能借助椭圆模板画圆的直观图.3.能用斜二测法画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱及其简单组合)的直观图.基础落实·必备知识一遍过知识点1

水平放置的平面图形的直观图画法用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤45°135°水平面

x'轴或y'轴的线段

保持原长度不变

一半思考辨析三角形的直观图还是三角形吗?平行四边形的直观图还是平行四边形吗?提示

根据斜二测画法的规则,相交的直线在直观图中仍相交,平行的直线在直观图中仍平行,所以三角形的直观图还是三角形,平行四边形的直观图还是平行四边形.自主诊断1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)相等的角,在直观图中仍相等.(

)(2)长度相等的线段,在直观图中长度仍相等.(

)(3)若两条线段垂直,则在直观图中对应的线段仍垂直.(

)×××2.已知在平面直角坐标系中,一个平面图形上的一条线段AB的实际长度为4cm,若AB∥x轴,则画出直观图后对应线段A'B'=

cm,若AB∥y轴,则画出直观图后对应线段A'B'=

cm.

42知识点2

空间几何体的直观图的画法画几何体的直观图时,与画平面图形的直观图相比,只是多画一个与x轴、y轴都垂直的z轴,并且使平行于z轴的线段的平行性和长度都不变.自主诊断1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)建立z轴的一般原则是让z轴过空间图形的顶点.(

)(2)画几何体的直观图时一般让z轴与几何体的高平行.(

)√√(3)画圆锥的直观图时,可以只画x轴和z轴.(

)√2.已知一个建筑物上部为四棱锥,下部为长方体,且四棱锥的底面与长方体的上底面尺寸一样,长方体的长、宽、高分别为20m,5m,10m,四棱锥的高为8m.如果取经过长方体一个顶点的三条棱所在直线作为x轴、y轴、z轴,其中长方体的长所在直线为x轴,宽所在直线为y轴,高所在直线为z轴,按1∶500的比例画出它的直观图,那么在直观图中,长方体的长、宽、高和四棱锥的高应分别为(

)A.4cm,1cm,2cm,1.6cmB.4cm,0.5cm,2cm,0.8cmC.4cm,0.5cm,2cm,1.6cmD.4cm,0.5cm,1cm,0.8cmC解析

由比例尺可知,长方体的长、宽、高和四棱锥的高应分别为4

cm,1

cm,2

cm和1.6

cm,再结合直观图的画法,知长方体的长、宽、高和四棱锥的高应分别为4

cm,0.5

cm,2

cm,1.6

cm.重难探究·能力素养速提升探究点一画水平放置的平面图形的直观图【例1】

画出如图所示水平放置的等腰梯形的直观图.解

画法:(1)如图所示,取AB所在直线为x轴,AB的中点O为坐标原点,建立平面直角坐标系,画相应的x'轴与y'轴,两轴相交于点O',使∠x'O'y'=45°.(2)以O'为中点在x'轴上取A'B'=AB,在y'轴上取O'E'=OE,以E'为中点画C'D'平行于x'轴,并使C'D'=CD.(3)连接B'C',D'A',擦去作图过程中的辅助线等,所得的四边形A'B'C'D'就是水平放置的等腰梯形ABCD的直观图.规律方法

变式训练1如图,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,点A在x轴上,用斜二测画法画出水平放置的平行四边形OABC的直观图.解

画法:(1)画出相应的x'轴与y'轴,两轴相交于点O',使∠x'O'y'=45°,如图.(2)在x'轴上取点A',使得O'A'=OA.在题图中,设CD垂直于x轴,D为垂足,在O'A'上取点D',使得O'D'=OD,作D'C'平行于y'轴,使得D'C'=DC,连接O'C'.(3)作C'B'平行于x'轴且C'B'=CB,连接A'B'.(4)去掉x'轴、y'轴、线段C'D',得四边形O'A'B'C',即为水平放置的平行四边形OABC的直观图.探究点二画空间几何体的直观图【例2】

用斜二测画法画出六棱锥P-ABCDEF的直观图,其中底面ABCDEF为正六边形,点P在底面的投影是正六边形的中心O(尺寸自定).画法(1)画出六棱锥P-ABCDEF的底面.如图①所示,在正六边形ABCDEF中,取AD所在的直线为x轴,对称轴MN为y轴,两轴相交于点O.(2)画相应的x'轴、y'轴和z'轴,三轴相交于点O',使∠x'O'y'=45°,∠x'O'z'=90°;在图②中,以O'为中点,在x'轴上取A'D'=AD,在y'轴上取M'N'=MN;以点N'为中点画B'C'平行于x'轴,且等于BC;再以点M'为中点画E'F'平行于x'轴,且等于EF;连接A'B',C'D',D'E',F'A',得正六边形ABCDEF水平放置的直观图A'B'C'D'E'F'.(3)画正六棱锥P-ABCDEF的顶点.在z'轴上取点P',使P'O'=PO.(4)成图.连接P'A',P'B',P'C',P'D',P'E',P'F',并进行整理,便得到六棱锥P-ABCDEF的直观图P'-A'B'C'D'E'F',如图③所示.规律方法

利用斜二测画法画几何体的直观图应遵循的基本原则(1)画几何体的直观图在要求不太严格的情况下,长度和角度可适当选取.为了增强立体感,被挡住的部分通常用虚线表示.(2)画法规则可简记为:两轴夹角为45°,竖轴垂直仍不变,平行不变,长度横竖不变,纵折半.(3)画空间几何体的直观图,要注意选取适当的坐标原点,建立坐标系画出坐标轴.变式训练2画底面边长为3cm、高为3.5cm的正三棱柱的直观图.解

(1)画轴.如图,画x轴、y轴、z轴,三轴相交于点O,使∠xOy=45°,∠xOz=90°.(2)画底面.在x轴上,以O为中点,取线段AB,使AB=3

cm;在y轴正半轴上取线段OC,使OC=

cm.连接AC,BC,则△ABC就是正三棱柱底面的直观图.(3)画侧棱.过A,B,C各点分别作z轴的平行线,在这些平行线上分别截取3.5

cm长的线段AA',BB',CC'.(4)成图.顺次连接A',B',C',并加以整理(去掉辅助线,将被遮挡的部分改为虚线),就得到了该正三棱柱的直观图.探究点三直观图的还原与计算问题【例3】

如图,梯形A1B1C1D1是一水平放置的平面图形ABCD的直观图.若A1D1∥O'y',A1B1∥C1D1,A1B1=C1D1=2,A1D1=O'D1=1.试画出原四边形的形状,并求原图形的面积.画法如图,建立平面直角坐标系xOy,在x轴上截取OD=O'D1=1,OC=O'C1=2.在过点D的y轴的平行线上截取DA=2D1A1=2.在过点A的x轴的平行线上截取AB=A1B1=2.连接BC,即得到了原图形(如图).由作法可知,原四边形ABCD是直角梯形,上、下底长度分别为AB=2,CD=3,直角腰长度为AD=2.故面积为S=×2=5.规律方法

直观图的还原技巧(1)由直观图还原为原图形是画直观图的逆过程:一是在直观图中建立坐标系x'O'y',使∠x'O'y'=45°,对应地建立直角坐标系xOy;二是平行x'轴的线段长度不变,平行y'轴的线段扩大为原来的2倍;三是对于相邻两边不与x',y'轴平行的顶点可通过作x'轴、y'轴的平行线变换确定其在xOy中的位置.还原时,要注意坐标系变化前后变化的量与不变的量,计算时要结合两个坐标轴确定数据.(2)原图形的面积S原与直观图的面积S直观有如下关系:S直观=S原.变式训练3(1)已知等边三角形ABC的边长为a,那么用斜二测画法画出的△ABC的平面直观图△A'B'C'的面积为(

)D(2)如图,在直观图中,四边形O'A'B'C'为菱形且边长为2cm,则在xOy坐标中原四边形OABC为

(填形状),面积为

cm2.

矩形8解析

由题意,结合斜二测画法可知,四边形OABC为矩形,且OA=2

cm,OC=4

cm,所以四边形OABC的面积S=2×4=8(cm2).本节要点归纳1.知识清单:(1)水平放置的平面图形的直观图的画法.(2)空间几何体的直观图的画法.(3)直观图的还原与计算.2.方法归纳:转化思想.3.常见误区:同一图形选取坐标系的角度不同,得到的直观图可能不同.学以致用·随堂检测促达标123451.(多选题)利用斜二测画法得到的下列结论中正确的是(

)A.水平放置的三角形的直观图是三角形B.水平放置的正方形的直观图是正方形C.水平放置的菱形的直观图是菱形D.水平放置的平行四边形的直观图是平行四边形AD解析

对于A,在水平放置的三角形的直观图中,三角形底边上的高与底边的夹角为45°或135°,底边上的高的长度减少为原来的一半,依然是三角形,故A正确;对于B,正方形中的直角,在直观图中变为45°或135°,故B错误;对于C,菱形的对角线互相垂直平分,在直观图中对角线的夹角变为45°,故C错误;对于D,由斜二测画法知,水平放置的平行四边形的直观图还是平行四边形,故D正确.故选AD.12345123452.如图所示,四边形A'B'C'D'是由斜二测画法得到的平面四边形ABCD的直观图,其中A'D'∥B'C',A'B'平行于y'轴,A'D'平行于x'轴,将四边形A'B'C'D'还原成平面四边形ABCD是(

)A.任意梯形

B.直角梯形C.任意四边形

D.平行四边形B12345解析

因为直观图A'B'C'D'中,∠B'A'D'=45°,所以在原平面四边形ABCD中,∠BAD=90°.因为直观图A'B'C'D'中,A'D'∥B'C',A'D'≠B'C',所以原平面图形ABCD中,AD∥BC,AD≠BC.综上,原平面图形ABCD是直角梯形.故选B.123453.水平放置的△ABC的直观图如图所示,则△ABC的面积为

.

2解析

把水平放置的△ABC的直观图还原为原图形,如图所示,则△ABC的面积为S=×2×2=2.12345123454.如图为一个水平放置的矩形ABCO,在直角坐标系xOy中,点B的坐标为(4,2),则用斜二测画法画出的该矩形的直观图中,顶点B'到x'轴的距离为

.

12345解析

直观图如图,则O'A'=B'C'=1,∠B'C'x'=45°,故B'到x'轴的距离为