人教高二数学等差数列的概念(1)-教学设计

课程基本信息课例编号2020QJ11SXRA053学科数学年级高二学期上课题等差数列的概念（1）教科书书名：普通高中教科书数学选择性必修第二册(A版)出版社：人民教育出版社出版日期：2019年4月教学人员姓名单位授课教师李翥北京市第五中学指导教师雷晓莉北京市东城区教师研修中心教学目标教学目标：（1）理解并掌握等差数列、等差中项的概念，能用定义判断一个数列是否为等差数列；（2）经历由等差数列的递推公式推导通项公式的过程，掌握等差数列的通项公式，并掌握其与一次函数之间的关系；（3）对等差数列的通项公式进行简单应用，体会函数与方程的思想在研究等差数列时的重要意义．教学重点：等差数列的定义，等差数列的通项公式.教学难点：等差数列的通项公式.教学过程时间教学环节主要师生活动师生问答、共同探究问题1什么是等差数列？追问1：看下面几个问题中的数列，你能发现它们的规律吗？(1)北京天坛圜丘坛的地面由石板铺成，最中间是圆形的天心石，围绕天心石的是9圈扇环形的石板，从内向外各圈的石板数依次为9，18，27，36，45，54，63，72，81．①(2)S，M，L，XL，XXL，XXXL型号的服装上衣对应的尺码分别是：38，40，42，44，46，48．②(3)测量某地垂直地面方向上海拔500m以下的大气温度，得到从距离地面20m起每升高100m处的大气温度（单位：℃）依次为25，24，23，22，21．③追问2：你能给出等差数列的定义吗？如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示.追问3：判断下列数列是否为等差数列.(1)5，9，13，17，21，…是，公差为4；(2)9，7，5，3，1，…是，公差为-2；(3)6，6，6，6，6，…是，公差为0；(4)0，1，0，1，0，1，…不是，1－0＝1，0－1＝－1，不是同一个常数.可以看到，等差数列的公差可以为正数、负数或者0.公差为正数时，等差数列单调递增；公差为负数时，等差数列单调递减；公差为0时，数列为常数列.追问4：如果在a与b中间插入一个数A，使a，A，b成等差数列数列，那么A应满足什么条件？由等差数列的定义，有：A－a＝b－A，所以A＝.此时，我们把A叫做a和b的等差中项.也就是说，两个数a和b的等差中项是它们的算术平均数.这个性质在等差数列的研究中有重要的意义.问题2如何推导等差数列的通项公式呢？追问1：你能根据定义，写出等差数列的递推公式吗？设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则由定义可得：an＋1－an＝d，n∈N*.追问2：你能根据递推公式，推导等差数列的通项公式吗？由递推公式，有a2－a1＝d，a3－a2＝d，a4－a3＝d，….于是a2＝a1＋d，a3＝a2＋d＝(a1＋d)＋d＝a1＋2d，a4＝a3＋d＝(a1＋2d)＋d＝a1＋3d，……归纳可得an＝a1＋(n－1)d，由于刚才的推导过程是从a2＝a1＋d开始的，所以这里n的范围是n≥2.当n＝1时，上式为a1＝a1＋(1－1)d＝a1，这就是说，上式对n=1也成立.因此我们得到首项为a1，公差为d的等差数列{an}的通项公式为：an＝a1＋(n－1)d，n∈N*.在刚才的推导过程中，我们根据等差数列的递推公式，先写出一些具体的递推关系式，观察它们的规律，归纳得到一般结论.这种由特殊到一般的推理方式，是数学中发现新规律和新结论的重要方法.追问3：还能用其他方法推导等差数列的通项公式吗？an－an－1＝d，an－2－an－3＝d，…a3－a2＝d，a2－a1＝d.一共有多少个等式呢？共有n个，我们可以从减项或被减项的角标发现规律，这也是我们在数列中数清项数的常用方法.我们把这n个等式进行累加求和.我们看到，在等式的左边，每一个式子的减项和下一个式子的被减项都消去了，最后只剩下第一个式子的被减项an＋1和最后一个式子的减项a1；每一个等式的右边都是常数d，一共有n个式子，所以累加后有an－a1＝(n－1)d，即an＝a1＋(n－1)d，n∈N*我们推导通项公式时用的累加法的过程，是由递推公式，写出了从a1到an＋1的所有递推关系式，对他们求和，最终得到an和a1、d与n的关系，并对n＝1时的情况进行了验证，是一种严谨的推导方法.这种方法在处理由形如等差数列的递推公式，推导通项公式时，有非常广泛的应用.追问4：你能写出下面这些数列的通项公式吗？(1)5，9，13，17，21，…an＝5＋(n－1)×4＝4n＋1；(2)9，7，5，3，1，…an＝9＋(n－1)×(－2)＝－2n＋11；(3)6，6，6，6，6，…an＝6＋(n－1)×0＝6.问题3观察等差数列的通项公式，它与哪一类函数有关？因为an＝a1＋(n－1)d＝dn＋(a1－d)，所以当d＝0时，an＝a1是常值函数；当d≠0时，an是一次函数f(x)＝dx＋(a1－d)(x∈R)当x＝n时的函数值，即an＝f(n强调一下这种对应,为后面运用带来方便,如an-1＝强调一下这种对应,为后面运用带来方便,如an-1＝f(n-1)追问1：等差数列{an}的图象和一次函数f(x)＝dx＋(a1－d)的图象有什么关系?追问2：由一次函数f(x)＝kx＋b（k，b为常数）得到全脚括号，下同的数列an＝kn＋b一定是等差数列吗？全脚括号，下同任给f(x)＝kx＋b（k，b为常数)，则an＝kn＋b，a1＝f(1)＝k＋b，a2＝f(2)＝2k＋b，…，an＝f(n)＝nk＋b，…，an＋1＝f(n＋1)＝(n＋1)k＋ban＋1－an＝f(n)－f(n)＝(nk＋b)－[(n＋1)k＋b]＝k，n∈N*.所以，数列{an}是以k＋b为首项，k为公差的等差数列.实际上，数列{an}为公差不为0的等差数列的充要条件是，数列{an}的通项公式是关于n的一次函数.追问3：可以从函数的角度，研究等差数列的单调性吗？根据一次函数单调性的结论，当一次项系数大于0时，函数单调递增；当一次项系数小于0时，函数单调递减.等差数列通项公式看做一次函数时，一次项系数为公差d，因此，我们有：问题4利用通项公式，可以解决等差数列的哪些问题呢？例1已知等差数列{an}的通项公式为an＝5－2n，求等差数列表述完整，下同。{an}的首项a1和公差d.表述完整，下同。分析：有了通项公式，只要将n＝1代入，就能求得a1；由通项公式写出an－1的表达式，由an－an－1可求得公差d.解：把n＝1代入通项公式，得a1＝5－2×1＝3.当n≥2时，an－1＝5－2(n－1)=7－2n.于是d＝an－an－1＝(5－2n)－(7－2n)＝－2.所以，数列{an}的首项a1为3，公差d为－2表述完整,下同..表述完整,下同.追问1：还有其他方法求公差d吗？分析：由于已知数列{an}为等差数列，所以每一项与它前一项的差都等于公差d，已求出首项a1＝3，只需再求出a2，a2－a1即为公差d.解法2：把n＝2代入通项公式，得a2＝5－2×2＝1.于是d＝a2－a1＝1－3＝－2.追问2：能直接从通项公式看出公差d的值吗？分析：由于等差数列通项公式是关于n的一次函数，即an＝a1＋(n－1)d＝dn＋(a1－d).一次项系数记为公差d，可以直接从通项公式看出公差d的值.解法3：因为an＝5－2n，所以公差d＝－2.思路小结：数列是一种特殊的函数.研究数列时，运用函数观点，将数列的通项公式或前n项和公式，看成关于n的函数，用函数方法研究数列的相关性质，是研究数列时的常用方法.例2求等差数列8，5，2，…的通项公式an和第20项，并判断－289是否是数列中的项，若是，是第几项？分析：只要知道首项a1和公差d，就可以求得数列的通项公式，从而可以求得第20项.公差d可以由任意一项和它前一项的差求得.求得通项公式以后，它是一个关于n的方程，判断－289是否是数列中的项，只需要看－289是否能使得该方程有正整数解即可．解：由已知条件，得d＝5－8＝－3.把a1＝8，d＝－3代入an＝a1＋(n－1)d，得an＝8＋(n－1)×(－3)＝－3n＋11.所以a20＝－3×20＋11＝－49.令－3n＋11＝－289，得n＝100.所以－289是该数列中的第100项.思路小结：等差数列的首项a1和公差d是等差数列的“基本量”，知道了这两个基本量，就可以求得等差数列通项公式和数列中的任意一项.实际上，等差数列的通项公式中共有四个量a1、d、n和an，知道其中3个，就可以列出方程，求出另外一个.根据已知条件，列出关于等差数列的通项公式中未知量的方程或方程组，求得未知量，是解决等差数列相关问题的常用方法.问题5回顾本节课的探究过程，你学到了什么？1.从知识角度，我们学习了等差数列、等差中项的定义，推导了通项公式，并进行了简单的应用.在此过程中，我们由等差数列的定义，写出等差数列的递推公式；由递推公式，分别用归纳和累加的方法，推导出等差数列的通项公式.我们分别从函数和方程的