人教高二数学基本初等函数的导数(2)-教学设计

课程基本信息课例编号2020QJ11SXRA070学科数学年级高二学期上学期课题基本初等函数的导数（2）教科书书名：《数学》选择性必修第二册出版社：人教社出版日期：年月教学人员姓名单位授课教师李健北京景山学校指导教师雷晓莉北京市东城区教师研修中心教学目标教学目标：会使用基本初等函数的导数公式求函数的导数，能利用导数解决实际问题.教学重点：求基本初等函数的导数.教学难点：基本初等函数的导数公式的应用.教学过程时间教学环节主要师生活动问题1上节课我们根据导数的定义求出了六个常用函数的导数，同学们还记得它们的导数是什么吗？函数导函数f追问1：在上述6个函数中，除第1个外，其余5个都是哪一类基本初等函数？生：它们是幂函数.追问2：你能发现它们的导数与函数之间的关系吗？生：若则问题2还有哪些基本初等函数？它们的导数是什么？生：指数函数、对数函数、三角函数.它们的导数也可以根据定义计算求得.师：实际上，对于其它的基本初等函数，我们确实可以根据导数的定义求其导数的，但是由于我们目前的知识结构还不够完善，求导数的计算过程还有些困难，因此这些函数的导数我们直接给出，今后可以直接使用.基本初等函数的导数公式1.若则2.若则3.若则4.若则5.若则特别地，若则6.若则特别地，若则追问：这些公式有什么特点？常值函数的导数是0.幂函数的导数是将原来幂函数的幂指数提到前面作为幂的系数，再将原来的幂指数减1作为新的幂指数.正弦函数的导数是余弦函数.余弦函数的导数是负的正弦函数.以e为底的指数函数fx=以任意大于0且不等于1的常数a为底的指数函数fx=自然对数fx=ln以任意大于0且不等于1的常数a为底的对数函数fx=logax例1求下列函数的导数：；（2）.分析：分辨函数的类型，直接应用相应的导数公式求导数.解：（1）例2求正弦函数在点(0,0)处的切线方程.分析：依题意，点(0,0)是切点，则已知切线上的一点(0,0)，只需要再求出切线的斜率即可写出切线方程.而切线的斜率等于x=0处的导数值，有了基本初等函数的导数公式，我们就可以不再用定义法求导数，而直接用导数公式求导数即可.然后代入直线的点斜式方程求切线方程即可.解：因为，所以.所以.所以切线方程是，即.例3假设某地在20年间的年均通货膨胀率为5%，物价p(单位：元)与时间t(单位：年)之间的关系为，其中为t=0时的物价.假定某种商品的，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少(精确到0.01元/年)？分析：由函数的解析式可以看出，这是一个指数型函数，底是1.05，因此p(t)是一个增函数，所以价格随着时间的增长而上涨.所以价格上涨的速度就是这个函数的导数值.因此，本题需要先求出p(t)的导函数，再求出t=10时的导数值.解：根据基本初等函数的导数公式表，有所以所以，在第10个年头，这种商品的价格约以0.08元/年的速度上涨.问题3如果某种商品的，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少？生：求的导数，再代入t=10，求出导函数值即为价格上涨的速度.追问：函数的导数怎么求？师：利用基本初等函数的导数公式，和的导数可以直接求得，而的导数已经不能直接用基本初等函数的导数公式解答.那么函数p(t)的导数怎么求？可否用f(t)和g(t)的导数来表示它们乘积的导数？这将是下一节课我们要讨论的主要问题.例题小结：（1）通过这三个例题，我们熟悉了运用基本初等函数导数公式求导数，求曲线的切线方程的方法，并通过关于指数函数求导的实际问题，体会了导数的实际应用.（2）在例2和例3的求解过程中，我们注意到根据基本初等函数的导数公式，可以直接求出函数的导函数，再代入具体数值求出在某点处的导数值，而不再需要用导数的定义求某点处的导数值.大大简化了计算量.（3）在例题3的追问中，函数的导数不能根据基本初等函数的导数公式求得.因此，我们提出了一个新问题：函数pt=5×1.05t课堂小结：问题4本节课主要学习了哪些知识内容？本节课我们主要学习了基本初等函数的导数，主要包括指数函数、对数函数、幂函数和正弦函数余弦函数的导数公式，还直接给出了两个常用的指数函数和对数函数的导数公式，这些公式都可以在我们今后的学习中直接使用而不加证明，大大简化了求导的步骤，因此这些导数公式是需要我们记忆掌握的.问题5本节课的地位和作用？在学习了本节课以后，我们还会想到这样一个问题：还有很多复杂函数怎样求导数？它们的导数有公式吗？显然，我们不能给每个函数一个导数公式，但是，我们知道复杂函数都是由以上的基本初等函数经过加、减、乘、除以及复合运算得到的，那么它们的导数与我们刚刚学过的基本初等函数的导数之间有什么关系呢？这就是我们下节课要讲的主要内容.因此，本节课不仅是前面学习的用定