2025年山东省临沂市沂水县四十里堡中学中考数学一模试卷（含解析）

2025年山东省临沂市沂水县四十里堡中学中考数学一模试卷一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项符合题目要求。1．（3分）﹣2024的相反数是（）A．﹣2024 B．2024 C．12024 D．2．（3分）截至2023年底，我国森林面积约为3465000000亩，森林覆盖率达到24.02%．将数字3465000000用科学记数法表示为（）A．0.3465×109 B．3.465×109 C．3.465×108 D．34.65×1083．（3分）下列计算正确的是（）A．x2•x3＝x6 B．（x﹣1）2＝x2﹣1 C．（xy2）2＝x2y4 D．(−14．（3分）如图是由5个完全相同的小正方体搭成的几何体，如果将小正方体A放置到小正方体B的正上方，则它的三视图变化情况是（）A．主视图会发生改变 B．左视图会发生改变 C．俯视图会发生改变 D．三种视图都会发生改变5．（3分）为筹备运动会，小松制作了如图所示的宣传牌，在正五边形ABCDE和正方形CDFG中，CF，DG的延长线分别交AE，AB于点M，N，则∠FME的度数是（）A．90° B．99° C．108° D．135°6．（3分）为了解某小区居民的家庭月平均用水量的情况，物业公司从该小区1500户家庭中随机抽取150户家庭进行调查，统计了他们的月平均用水量，将收集的数据整理成如下的统计图表：月平均用水量x（吨）频数5≤x＜7157≤x＜9a9≤x＜113211≤x＜134013≤x＜1533总计150根据统计图表得出以下四个结论，其中正确的是（）A．本次调查的样本容量是1500 B．这150户家庭中月平均用水量为7≤x＜9的家庭所占比例是30% C．在扇形统计图中，月平均用水量为11≤x＜13的家庭所对应圆心角的度数是95° D．若以各组组中值（各小组的两个端点的数的平均数）代表各组的实际数据，则这150户家庭月平均用水量的众数是127．（3分）在反比例函数y=−1x的图象上有三个点（﹣2，y1），（﹣1，y2），（3，y3），则函数值y1，y2，yA．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y2＜y3＜y1 D．y3＜y1＜y28．（3分）我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“圆中方形”问题：“今有圆田一段，中间有个方池．丈量田地待耕犁，恰好三分在记，池面至周有数，每边三步无疑．内方圆径若能知，堪作算中第一．”其大意为：有一块圆形的田，中间有一块正方形水池，测量出除水池外圆内可耕地的面积恰好72平方步，从水池边到圆周，每边相距3步远．如果你能求出正方形边长和圆的直径，那么你的计算水平就是第一了．如图，设正方形的边长是x步，则列出的方程是（）A．π（x+3）2﹣x2＝72 B．π(xC．π（x+3）2﹣x2＝36 D．π(9．（3分）如图所示，在矩形ABCD中，BC＝2AB，点M，N分别在边BC，AD上．连接MN，将四边形CMND沿MN翻折，点C，D分别落在点A，E处．则tan∠AMN的值是（）A．2 B．2 C．3 D．510．（3分）计算机处理任务时，经常会以圆形进度条的形式显示任务完成的百分比．下面是同一个任务进行到不同阶段时进度条的示意图，当任务完成的百分比为x时，线段MN的长度记为d（x）．下列描述正确的是（）A．当x1＝2x2时，d（x1）＝2d（x2） B．当x1+x2＝1时，d（x1）＝d（x2） C．当x1＜x2时，d（x1）＜d（x2） D．当d（x1）＞d（x2）时，x1＞x2二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。11．（3分）单项式﹣3ab2的次数是．12．（3分）关于x的不等式m−x2≤1﹣x有正数解，m13．（3分）如图，身高1.7m的某学生沿着树影BA由B向A走去，当走到点C时，他的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得BC＝4m，CA＝1m，则树的高度为m．14．（3分）如图，有一个半径为2的圆形时钟，其中每个刻度间的弧长均相等，过9点和11点的位置作一条线段，则钟面中阴影部分的面积为．15．（3分）将连续的正整数排成如图所示的数表．记a（i，j）为数表中第i行第j列位置的数字，如a（1，2）＝4，a（3，2）＝8，a（5，4）＝22．若a（m，n）＝2024，则m＝．16．（3分）定义：若一个点的纵坐标是横坐标的两倍，则称这个点为“纵两倍点”．若二次函数y＝x2﹣2x+c在x≥1的图象上存在两个“纵两倍点”，则c的取值范围是．三、解答题：本题共7小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（10分）（1）计算：(2（2）化简分式：a2−b2a18．（9分）某校为了解九年级学生对消防安全知识掌握的情况，随机抽取该校20名九年级学生进行测试，并将20名学生分成甲、乙两组，每组各10人．对测试成绩进行收集、整理、描述和分析（测试满分为10分），收集整理的数据制成了如下统计图表：平均数中位数众数甲组a88乙组8.3bc根据以上信息，回答下列问题．（1）填空：a＝，b＝，c＝；（2）该校九年级共有360名学生，若全年级学生都参加本次测试，请估计竞赛成绩达到9分及以上的人数；（3）现在准备从甲、乙两组满分为10分的学生中随机抽取两名学生参加市级竞赛，请用列表法或画树状图法求所抽取的两名学生恰好一人来自甲组，另一人来自乙组的概率．19．（9分）“滑滑梯”是同学们小时候经常玩的游戏，滑梯的坡角越小，安全性越高．从安全性及适用性出发，小亮同学对所在小区的一处滑梯进行调研，制定了如下改造方案，请你帮小亮解决方案中的问题．方案名称滑梯安全改造测量工具测角仪、皮尺等方案设计如图，将滑梯顶端BC拓宽为BE，使CE＝1m，并将原来的滑梯CF改为EG．（图中所有点均在同一平面内，点B，C，E在同一直线上，点A，D，F，G在同一直线上）测量数据【步骤一】利用皮尺测量滑梯的高度CD＝1.8m；【步骤二】在点F处用测角仪测得∠CFD＝42°；【步骤三】在点G处用测角仪测得∠EGD＝32°.解决问题调整后的滑梯会多占多长一段地面？（即求FG的长）（参考数据：sin32°≈1732，cos32°≈1720，tan32°≈58，sin42°20．（10分）如图，一次函数y＝k1x+2的图象与反比例函数y=k2x的图象相交于A（m，4），B两点，与x，y轴分别相交于点C，D（1）分别求这两个函数的表达式；（2）以点D为圆心，线段DB的长为半径作弧与x轴正半轴相交于点E，连接AE，BE．求△ABE的面积；（3）根据函数的图象直接写出关于x的不等式k1x+2＞k21．（10分）如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，连接OA，OB，过点O作OC∥PA交PB于点C，过点C作CD⊥AP，垂足为D．（1）求证：OC＝AD．（2）若⊙O的半径是3，PA＝9，求OC的长．22．（12分）如图，直线y=−12x+2与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线y=−12x2+bx+c经过（1）直接写出抛物线的解析式，点A的坐标；（2）如图1，点D为第一象限抛物线上一动点，连接AD，交BC于点N，连接BD，记△BND的面积为S1，△BNA的面积为S2，求S1（3）若点P（m，y1），Q（m+3，y2）是抛物线y=−12x2+bx+c图象上的两点，若P，Q之间的图象（包括点P，Q23．（12分）某校数学兴趣小组的同学在学习了图形的相似后，对三角形的相似进行了深入研究．（一）拓展探究如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D．（1）兴趣小组的同学得出AC2＝AD•AB．理由如下：∵∠ACB＝90°∴∠A+∠B＝90°∵CD⊥AB∴∠ADC＝90°∴∠A+∠ACD＝90°∴∠B＝①_____∵∠A＝∠A∴△ABC∽△ACD∴ABAC=∴AC2＝AD•AB请完成填空：①；②；（2）如图2，F为线段CD上一点，连接AF并延长至点E，连接CE，当∠ACE＝∠AFC时，请判断△AEB的形状，并说明理由．（二）学以致用（3）如图3，△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝2，BC=26，平面内一点D，满足AD＝AC，连接CD并延长至点E，且∠CEB＝∠CBD，当线段BE的长度取得最小值时．求线段CE

2025年山东省临沂市沂水县四十里堡中学中考数学一模试卷参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）题号12345678910答案BBCABDDBAB一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项符合题目要求。1．（3分）﹣2024的相反数是（）A．﹣2024 B．2024 C．12024 D．【分析】根据相反数的定义“只有符号不同的两个数是互为相反数”解答即可．【解答】解：﹣2024的相反数是2024，故选：B．【点评】此题考查了相反数的定义，熟记定义是解题的关键．2．（3分）截至2023年底，我国森林面积约为3465000000亩，森林覆盖率达到24.02%．将数字3465000000用科学记数法表示为（）A．0.3465×109 B．3.465×109 C．3.465×108 D．34.65×108【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．【解答】解：3465000000＝3.465×109，故选：B．【点评】此题考查科学记数法﹣表示较大的数．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3．（3分）下列计算正确的是（）A．x2•x3＝x6 B．（x﹣1）2＝x2﹣1 C．（xy2）2＝x2y4 D．(−1【分析】A．按照同底数幂相乘法则进行计算，然后判断即可；B．根据完全平方公式进行计算，然后判断即可；C．根据积的乘方和幂的乘方法则进行计算，然后判断即可；D．根据负整数指数幂的性质进行计算，然后判断即可．【解答】解：A．∵x2•x3＝x5，∴此选项的计算错误，故此选项不符合题意；B．∵（x﹣1）2＝x2﹣2x+1，∴此选项的计算错误，故此选项不符合题意；C．∵（xy2）2＝x2y4，∴此选项的计算正确，故此选项符合题意；D．∵(−1故选：C．【点评】本题主要考查了完全平方公式、同底数幂相乘法则、负整数指数幂的性质、积的乘方和幂的乘方法则，解题关键是熟练掌握完全平方公式、同底数幂相乘法则、负整数指数幂的性质、积的乘方和幂的乘方法则．4．（3分）如图是由5个完全相同的小正方体搭成的几何体，如果将小正方体A放置到小正方体B的正上方，则它的三视图变化情况是（）A．主视图会发生改变 B．左视图会发生改变 C．俯视图会发生改变 D．三种视图都会发生改变【分析】根据简单组合体的三视图的画法画出它们的三视图即可．【解答】解：将小正方体A放置到小正方体B的正上方，则它的三视图变化的是主视图，故选：A．【点评】本题考查简单组合体的三视图，理解视图的定义，掌握简单组合体三视图的画法是正确解答的关键．5．（3分）为筹备运动会，小松制作了如图所示的宣传牌，在正五边形ABCDE和正方形CDFG中，CF，DG的延长线分别交AE，AB于点M，N，则∠FME的度数是（）A．90° B．99° C．108° D．135°【分析】根据正五边形的内角的计算方法求出∠CDE、∠E，根据正方形的性质分别求出∠CDF、∠CFD，根据四边形内角和等于360°计算即可．【解答】解：∵五边形ABCDE是正五边形，∴∠CDE＝∠E=(5−2)×180°∵四边形CDFG为正方形，∴∠CDF＝90°，∠CFD＝45°，∴∠FDE＝108°﹣90°＝18°，∠DFM＝180°﹣45°＝135°，∴∠FME＝360°﹣18°﹣135°﹣108°＝99°，故选：B．【点评】本题考查的是正多边形和圆，熟记正多边形的内角的计算方法是解题的关键．6．（3分）为了解某小区居民的家庭月平均用水量的情况，物业公司从该小区1500户家庭中随机抽取150户家庭进行调查，统计了他们的月平均用水量，将收集的数据整理成如下的统计图表：月平均用水量x（吨）频数5≤x＜7157≤x＜9a9≤x＜113211≤x＜134013≤x＜1533总计150根据统计图表得出以下四个结论，其中正确的是（）A．本次调查的样本容量是1500 B．这150户家庭中月平均用水量为7≤x＜9的家庭所占比例是30% C．在扇形统计图中，月平均用水量为11≤x＜13的家庭所对应圆心角的度数是95° D．若以各组组中值（各小组的两个端点的数的平均数）代表各组的实际数据，则这150户家庭月平均用水量的众数是12【分析】根据统计图表中的数据对选项中的每个结论进行判断即可找出正确答案．【解答】解：本次调查的样本容量是150，故A不正确；a＝150﹣15﹣32﹣40﹣33＝30，30÷150＝20%，故B不正确；40150×360°=96°，故以各组组中值（各小组的两个端点的数的平均数）代表各组的实际数据，11≤x＜13组的实际数据为12，这组的数量最多为40户，所以12是这组数据的众数，即这150户家庭月平均用水量的众数是12，故D正确．故选：D．【点评】本题主要考查统计的应用，熟练掌握利用统计图表进行数据分析的方法是解决问题的关键．7．（3分）在反比例函数y=−1x的图象上有三个点（﹣2，y1），（﹣1，y2），（3，y3），则函数值y1，y2，yA．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y2＜y3＜y1 D．y3＜y1＜y2【分析】分别把三个点（﹣2，y1），（﹣1，y2），（3，y3）代入反比例函数y=−1x，求出y1，y2，y【解答】解：分别把三个点（﹣2，y1），（﹣1，y2），（3，y3）代入反比例函数y=−1y1∵−1∴y3＜y1＜y2，故选：D．【点评】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解题关键是理解图象上点的坐标能让反比例函数解析式成立．8．（3分）我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“圆中方形”问题：“今有圆田一段，中间有个方池．丈量田地待耕犁，恰好三分在记，池面至周有数，每边三步无疑．内方圆径若能知，堪作算中第一．”其大意为：有一块圆形的田，中间有一块正方形水池，测量出除水池外圆内可耕地的面积恰好72平方步，从水池边到圆周，每边相距3步远．如果你能求出正方形边长和圆的直径，那么你的计算水平就是第一了．如图，设正方形的边长是x步，则列出的方程是（）A．π（x+3）2﹣x2＝72 B．π(xC．π（x+3）2﹣x2＝36 D．π(【分析】直接利用圆的面积减去正方形面积，进而得出答案．【解答】解：设正方形的边长是x步，则列出的方程是：π（x2+3）2﹣x故选：B．【点评】此题主要考查了垂径定理的应用、正方形的性质以及由实际问题抽象出一元二次方程，正确表示出圆的面积是解题关键．9．（3分）如图所示，在矩形ABCD中，BC＝2AB，点M，N分别在边BC，AD上．连接MN，将四边形CMND沿MN翻折，点C，D分别落在点A，E处．则tan∠AMN的值是（）A．2 B．2 C．3 D．5【分析】连接AC交MN于点F，设AB＝2m，则BC＝2AB＝4m，求得AC=AB2+BC2=25m，因为点C与点A关于直线MN对称，所以AM＝CM，MN垂直平分AC，则AF＝CF=5m，由AB2+BM2＝AM2，得（2m）2+（4m﹣AM）2＝AM2，求得AM=5【解答】解：连接AC交MN于点F，设AB＝2m，则BC＝2AB＝4m，∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝90°，∴AC=AB2+B∵将四边形CMND沿MN翻折，点C，D分别落在点A，E处，∴点C与点A关于直线MN对称，∴AM＝CM，MN垂直平分AC，∴BM＝BC﹣CM＝4m﹣AM，∠AFM＝90°，AF＝CF=12AC=∵AB2+BM2＝AM2，∴（2m）2+（4m﹣AM）2＝AM2，∴AM=52∴MF=AM∴tan∠AMN=AF解法2：∵∠ABC＝∠CFM，∠ACB＝∠ACB，∴△ABC∽△MFC，∴∠AMF＝∠CMF＝∠BAC，∵tan∠BAC=BC∴tan∠AMF＝2；故选：A．【点评】此题重点考查矩形的性质、翻折变换的性质、勾股定理、解直角三角形等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．10．（3分）计算机处理任务时，经常会以圆形进度条的形式显示任务完成的百分比．下面是同一个任务进行到不同阶段时进度条的示意图，当任务完成的百分比为x时，线段MN的长度记为d（x）．下列描述正确的是（）A．当x1＝2x2时，d（x1）＝2d（x2） B．当x1+x2＝1时，d（x1）＝d（x2） C．当x1＜x2时，d（x1）＜d（x2） D．当d（x1）＞d（x2）时，x1＞x2【分析】根据弧、弦、圆心角的关系，即可求解．【解答】解：依题意，当x1+x2＝1时，优弧MN与劣弧MN相加等于整个圆，则MN的长度一致，即当x1+x2＝1时，d（x1）＝d（x2），故B选项正确，A，C，D选项不一定成立，故选：B．【点评】本题主要考查了弧、弦、圆心角的关系，掌握其性质是解题的关键．二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。11．（3分）单项式﹣3ab2的次数是3．【分析】根据单项式次数的定义进行解答即可．【解答】解：∵单项式﹣3ab2中，a的指数是1，b的指数是2，∴此单项式的次数为：1+2＝3．故答案为：3．【点评】本题考查的是单项式次数的定义，即一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数．12．（3分）关于x的不等式m−x2≤1﹣x有正数解，m【分析】先求出不等式的解集，根据不等式有正数解可得关于m的一元一次不等式，即可求出m的取值范围，进而可得m的值．【解答】解：不等式移项得，12系数化为1得，x≤2﹣2m，∵不等式m−x∴2﹣2m≥1，解得m≤1∴m的值可以是0，故答案为：0（答案不唯一）．【点评】本题考查了一元一次不等式正数解，求出m的取值范围是解题的关键．13．（3分）如图，身高1.7m的某学生沿着树影BA由B向A走去，当走到点C时，他的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得BC＝4m，CA＝1m，则树的高度为8.5m．【分析】设树的高度为xm，由题意得1.7x【解答】解：设树的高度为xm，由题意得：1.7x∵BC＝4m，CA＝1m，∴1.7x解得：x＝8.5，∴树的高度为8.5m，故答案为：8.5．【点评】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质．14．（3分）如图，有一个半径为2的圆形时钟，其中每个刻度间的弧长均相等，过9点和11点的位置作一条线段，则钟面中阴影部分的面积为23π−3【分析】连接OA、OB，过点O作OC⊥AB，根据等边三角形的判定得出△AOB为等边三角形，再根据扇形面积公式求出S扇形AOB=23π，再根据三角形面积公式求出S△AOB【解答】解：连接OA、OB，过点O作OC⊥AB于点C，由题意可知：∠AOB＝60°，∵OA＝OB，∴△AOB为等边三角形，∴AB＝AO＝BO＝2，∴S扇形AOB=60π×2∵OC⊥AB，∴∠OCA＝90°，AC＝1，∴OC=3∴S△AOB=3∴阴影部分的面积为：23π−故答案为：23π−【点评】本题考查有关扇形面积、弧长的计算，熟练应用面积公式，其中作出辅助线是解题关键．15．（3分）将连续的正整数排成如图所示的数表．记a（i，j）为数表中第i行第j列位置的数字，如a（1，2）＝4，a（3，2）＝8，a（5，4）＝22．若a（m，n）＝2024，则m＝45．【分析】根据所给数表，发现第n行（n为正奇数）的第1列数为n2，据此可解决问题．【解答】解：由题知，因为a(1，1)=1=12，a(3，1)=9=所以a(n，1)=n又因为452＝2025，所以第45行第1列的数为2025，则数2024在第45行第2列，所以m＝45．故答案为：45．【点评】本题主要考查了数字变化的规律，能根据题意发现第n行（n为正奇数）的第1列数为n2是解题的关键．16．（3分）定义：若一个点的纵坐标是横坐标的两倍，则称这个点为“纵两倍点”．若二次函数y＝x2﹣2x+c在x≥1的图象上存在两个“纵两倍点”，则c的取值范围是3≤c＜4．【分析】由题意得“纵两倍点”在直线y＝2x上，即问题化为直线y＝2x与抛物线y＝x2﹣2x+c在x≥1时有两个交点，找出两个临界状态即可求解．【解答】解：由题意得“纵两倍点”在直线y＝2x上，即问题化为直线y＝2x与抛物线y＝x2﹣2x+c在x≥1时有两个交点，直线y＝2x与直线x＝1交点记为点（1，2），将点（1，2）代入y＝x2﹣2x+c得：1﹣2+c＝2，解得：c＝3，此时符合题意；当c＞3时，当直线y＝2x与抛物线y＝x2﹣2x+c只有一个交点时，联立直线y＝2x与抛物线y＝x2﹣2x+c可得：∴x2﹣4x+c＝0，则Δ＝16﹣4c＝0，解得：c＝4，∴要满足存在两个“纵两倍点”c的取值范围为：3≤c＜4，故答案为：3≤c＜4．【点评】本题考查了二次函数的图象与性质，直线与抛物线的交点问题，正确理解题意，利用转化思想是解题的关键．三、解答题：本题共7小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（10分）（1）计算：(2（2）化简分式：a2−b2a【分析】（1）根据零指数幂、特殊角的三角函数值、负整数指数幂、有理数的乘方计算；（2）根据分式的加法法则把原式化简，根据相反数的概念求出a，根据算术平方根求出b，代入计算得到答案．【解答】解：（1）原式=1−2×＝1﹣1+3+1＝4；（2）由题意可知：a＝﹣3，1＜b＜5且b为整数，又2＜5＜3a2=(a+b)(a−b)=a+b=1当a＝﹣3，b＝2时，原式=1【点评】本题考查的是实数的混合运算、分式的化简求值，掌握实数、分式的混合运算法则是解题的关键．18．（9分）某校为了解九年级学生对消防安全知识掌握的情况，随机抽取该校20名九年级学生进行测试，并将20名学生分成甲、乙两组，每组各10人．对测试成绩进行收集、整理、描述和分析（测试满分为10分），收集整理的数据制成了如下统计图表：平均数中位数众数甲组a88乙组8.3bc根据以上信息，回答下列问题．（1）填空：a＝8.3，b＝8.5，c＝7；（2）该校九年级共有360名学生，若全年级学生都参加本次测试，请估计竞赛成绩达到9分及以上的人数；（3）现在准备从甲、乙两组满分为10分的学生中随机抽取两名学生参加市级竞赛，请用列表法或画树状图法求所抽取的两名学生恰好一人来自甲组，另一人来自乙组的概率．【分析】（1）根据平均数、中位数、众数的定义可得答案．（2）根据用样本估计总体，用360乘以样本中甲乙两组学生竞赛成绩达到9分及以上的人数所占的百分比，即可得出答案．（3）列表可得出所有等可能的结果数以及所抽取的两名学生恰好一人来自甲组，另一人来自乙组的结果数，再利用概率公式可得出答案．【解答】解：（1）a＝（7×1+8×6+9×2+10×1）÷10＝8.3．将乙组的10名学生竞赛成绩数据按照从小到大的顺序排列，排在第5名和第6名的学生成绩数据分别为8和9，∴b＝（8+9）÷2＝8.5．由图2可知，乙组学生竞赛成绩的众数为7，∴c＝7．故答案为：8.3；8.5；7．（2）360×2+1+3+2∴估计竞赛成绩达到（9分）及以上的人数约144名．（3）将甲组满分为（10分）的一名学生记为A，乙组满分为（10分）的两名学生分别记为B，C，列表如下：ABCA（A，B）（A，C）B（B，A）（B，C）C（C，A）（C，B）共有6种等可能的结果，其中所抽取的两名学生恰好一人来自甲组，另一人来自乙组的结果有：（A，B），（A，C），（B，A），（C，A），共4种，∴所抽取的两名学生恰好一人来自甲组，另一人来自乙组的概率为46【点评】本题考查列表法与树状图法、中位数、众数、用样本估计总体，能够读懂统计图，掌握列表法与树状图法、用样本估计总体是解答本题的关键．19．（9分）“滑滑梯”是同学们小时候经常玩的游戏，滑梯的坡角越小，安全性越高．从安全性及适用性出发，小亮同学对所在小区的一处滑梯进行调研，制定了如下改造方案，请你帮小亮解决方案中的问题．方案名称滑梯安全改造测量工具测角仪、皮尺等方案设计如图，将滑梯顶端BC拓宽为BE，使CE＝1m，并将原来的滑梯CF改为EG．（图中所有点均在同一平面内，点B，C，E在同一直线上，点A，D，F，G在同一直线上）测量数据【步骤一】利用皮尺测量滑梯的高度CD＝1.8m；【步骤二】在点F处用测角仪测得∠CFD＝42°；【步骤三】在点G处用测角仪测得∠EGD＝32°.解决问题调整后的滑梯会多占多长一段地面？（即求FG的长）（参考数据：sin32°≈1732，cos32°≈1720，tan32°≈58，sin42°【分析】过点E作EH⊥AG于H，根据正切的定义分别求出DF、HG，进而求出FG．【解答】解：如图，过点E作EH⊥AG于H，则四边形CDHE为矩形，∴EH＝CD＝1.8m，DH＝CE＝1m，在Rt△CDF中，∠CFD＝42°，CD＝1.8m，则DF=CDtan∠CFD≈∴HF＝DF﹣DH＝2﹣1＝1（m），在Rt△EHG中，∠EGH＝32°，EH＝1.8m，则HG=EHtan∠EGH≈∴FG＝HG﹣HF＝1.88（m），答：调整后的滑梯会多占约为1.88m的一段地面．【点评】本题考查考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．20．（10分）如图，一次函数y＝k1x+2的图象与反比例函数y=k2x的图象相交于A（m，4），B两点，与x，y轴分别相交于点C，D（1）分别求这两个函数的表达式；（2）以点D为圆心，线段DB的长为半径作弧与x轴正半轴相交于点E，连接AE，BE．求△ABE的面积；（3）根据函数的图象直接写出关于x的不等式k1x+2＞k【分析】（1）由y＝k1x+2得D（0，2），由tan∠ACO＝2，C（﹣1，0），故一次函数解析式为y＝2x+2．过A作AM⊥x轴，由tan∠ACO=AMCM=2，得A（1，4），故反比例函数解析式为（2）过A作AN∥y轴，联立y＝2x+2和y=4x得x2+x﹣2＝0，得B（﹣2，﹣2）．E（4，0），求出直线BE解析式为y=13x−43，得（3）看图得：当﹣2＜x＜0或x＞1时，k1x+2＞k2x，即2x【解答】解：（1）由y＝k1x+2得D（0，2），∵tan∠ACO＝2，∴DOCO∴C（﹣1，0），代入y＝k1x+2得k1＝2，∴一次函数解析式为y＝2x+2．过A作AM⊥x轴，如图1．∴tan∠ACO=AM∵AM＝4，∴CM＝2，∴OM＝1，∴A（1，4），代入y=k2x得∴反比例函数解析式为y=4（2）如图2：过A作AN∥y轴，交BE于N．联立y＝2x+2和y=4x得x2+∴x＝﹣2或1，∴B（﹣2，﹣2）．∴BD=(−2−0)2∴DE＝DB＝25，∴OE=D∴E（4，0），设直线BE解析式为y＝mx+n，∴4m+n=0−2m+n=−2∴m=13，n∴直线BE解析式为y=13x∴N（1，﹣1），∴△ABE面积=1（3）看图得：当﹣2＜x＜0或x＞1时，k1x+2＞k2x，即2x【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，掌握反比例函数与一次函数的性质是解题关键．21．（10分）如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，连接OA，OB，过点O作OC∥PA交PB于点C，过点C作CD⊥AP，垂足为D．（1）求证：OC＝AD．（2）若⊙O的半径是3，PA＝9，求OC的长．【分析】（1）根据切线的性质得OA⊥PA，OB⊥PB，再根据OC∥PA，CD⊥AP，得∠OAD＝∠CDA＝∠OCD＝90°，则四边形OADC是矩形，然后根据矩形的性质可得出结论；（2）设OC＝AD＝x，依题意得OA＝OB＝CD＝3，BD＝PA﹣AD＝9﹣x，证明△OCB和△CPD全等得BC＝BD＝9﹣x，然后在Rt△OCB中，由勾股定理求出x＝5，进而可得OC的长．【解答】（1）证明：∵PA，PB是⊙O的切线，OA，OB是⊙O的半径，∴OA⊥PA，OB⊥PB，∵OC∥PA，CD⊥AP，∴CD⊥OC，∴∠OAD＝∠CDA＝∠OCD＝90°，∴四边形OADC是矩形，∴OC＝AD；（2）解：设OC＝AD＝x，∵四边形OADC是矩形，⊙O的半径是3，PA＝9，∴OA＝OB＝CD＝3，BD＝PA﹣AD＝9﹣x，∵OC∥PA，∠OCB＝∠P，∵OB⊥PB，CD⊥AP，∴∠OBC＝∠CDP＝90°，在△OCB和△CPD中，∠OBC=∠CDP=90°∠OCB=∠P∴△OCB≌△CPD（AAS），∴BC＝BD＝9﹣x，在Rt△OCB中，由勾股定理得：OC2＝OB2+BC2，∴x2＝32+（9﹣x）2，解得：x＝5，∴OC＝x＝5．【点评】此题主要考查了切线的性质，熟练掌握切线的性质，全等三角形的判定和性质，灵活运用勾股定理构造方程是解决问题的关键．22．（12分）如图，直线y=−12x+2与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线y=−12x2+bx+c经过（1）直接写出抛物线的解析式y=−12x2+3（2）如图1，点D为第一象限抛物线上一动点，连接AD，交BC于点N，连接BD，记△BND的面积为S1，△BNA的面积为S2，求S1（3）若点P（m，y1），Q（m+3，y2）是抛物线y=−12x2+bx+c图象上的两点，若P，Q之间的图象（包括点P，Q【分析】（1）根据直线y=−12x+2与x轴交于点B，与y轴交于点C，确定B（4，0），C（0，2），代入抛物线解析式，解方程组确定b，c（2）过点D作DE∥y轴，交BC于点E，过点A作AF∥y轴，交BC于点F，则DE∥AF，于是得证△DEN∽△AFN，得到DNNA=DEAF，设D(m，−12m（3）根据题意，得y=−12x2+【解答】解：（1）∵直线y=−12x+2与x轴交于点B，与y∴B（4，0），C（0，2），把B（4，0），C（0，2）代入抛物线解析式y=−12x解得b=3∴抛物线解析式为y=−1令y＝0，得−1解得x1＝﹣1，x2＝4，故A（﹣1，0），故答案为：y=−1（2）如图，过点D作DE∥y轴，交BC于点E，过点A作AF∥y轴，交BC于点F，则DE∥AF，∴△DEN∽△AFN，∴DNNA设D(m，−1∵直线的解析式为y=−1∴E(m，−1∴DE=(−=−1∵A（﹣1，0），∴F(−1，5∴FA=5∵△BND的面积为S1，△BNA的面积为S2，且两个三角形为同高三角形，∴S=−1=−1∵a=−1∴S1S2有最大值，且当m＝2，S（3）根据题意，得y=−12x2+32x+2=−12(x−32当m+3=32时，当m≤−32时，m＜m+3≤32，点P（m，y1），Q（m+3，y2）在对称轴的左侧，∴点P（m，y1）是最低点，Q（m+3，y2）是最高点，∴−1整理，得−1解得m1＝﹣6，m2＝0（舍去），此时m＝﹣6；当−32＜m≤0时，m＜32＜m+3≤3，点P（m，y1），在对称轴的左侧，点Q∵C（0，2），∴其关于对称轴的对称点为C′（3，2），∴点Q（m+3，y2）在C′（3，2）上方，此时点P（m，y1）为最低点，顶点为最高点，∴258解得m=3当0＜m≤32时，m＜3＜m+3≤92，点P（m，y1），在对称轴的左侧，点Q（m∵C（0，2），∴其关于对称轴的对称点为C′（3，2），∴点Q（m+3，y2）在C′（3，2）下方，此时点Q（m+3，y2）为最低点，顶点为最高点，∴258解得m=3当m＞32时，m+3＞92＞m，点P（m，y1），点Q（对称轴的右