2026年河南省初中学业水平考试数学解析新变化

【数学】2026年《河南省初中学业水平考试解析与检测》新变化《河南省初中学业水平考试解析与检测（2026版）》（以下简称《解析与检测》）系列丛书已发布。第一时间组织研读，数学学科整理分析，相比2025年，主要有以下变化：总体变化上册前言、第一部分内容解析均无变化第二部分题型解析第二部分题型解析共更换39道题，其中例题更换7道，能力检测的练习题更换32道，更换的试题主要来源于近3年全国真题、真题改编题、模拟题.具体更换试题如下：版块更换试题一、数与代数能力检测（一）：第4,10,11,15,20题能力检测（二）：第2,5,8,9,15题二、图形与几何1.图形的性质：例1,例32.图形的变化：例4,例63.图形与坐标：例1能力检测（一）：第1,4,6,10,11,12,13,15,16题能力检测（二）：第13,14,17题能力检测（三）：第2,3,6,7,8题三、统计与概率概率改了概率与概率统计与概率：例3能力检测：第4,8,10,11题四、综合与实践综合与实践：例3能力检测：第4题第三部分综合测试综合测试共更换13道试题：综合测试（一）：第13,15,16,20,21题位更换了试题综合测试（二）：第5,10,14,15,17,19,21,22题位更换了试题下册专项检测专项检测共更换47道题，更换试题主要来源于近3年全国真题、真题改编题、模拟题.具体更换试题如下：版块更换试题数与式更换试题9道：选择题第4,6,10题；填空题第1,5,7,10题；解答题第1（1）,6题方程（组）与不等式（组）更换试题9道：选择题第4,8,9题；填空题第4,5,6,8,10题；解答题第4题函数更换试题9道：选择题第4,11题；填空题第4,5,6,8,9,11题；解答题第4题图形的性质更换试题8道：选择题第5,6题；填空题第1,3,4,6题；解答题第2,4题图形的变化更换试题4道：选择题第1,2,5,8题图形与坐标更换试题0道抽样与数据分析更换试题4道：选择题第2,4题，填空题第3题，解答题第1题随机事件的概率更换试题4道：选择题第5题，填空题第2,4题,解答题第2题综合测试（原全真模拟检测）综合测试6套试卷共更换56道试题：试卷更换试题（一）更换试题11道，第3,5,7,11,12,13,15,17,18,19,22题（二）更换试题11道，第2,7,8,9,10,13,15,16(1),19,20,21题（三）更换试题8道，第5,6,7,8,9,16,20,22题（四）更换试题9道，第6,11,13,15,16,17,20,21,23题（五）更换试题8道，第1,8,9,10,12,14,16,22题（六）更换试题9道，第3,4,5,9,10,16(2),18,21,23题新考法、新趋势《解析与检测》上、下册更换的155道试题中，有48道新考法、新趋势试题，包含：传统文化类（含数学文化）10道、新定义3道、新素材（新情境）9道、综合与实践9道，其他17道.数与式1.（下册P47T7·2025河南漯河模拟·估值与方程结合）已知a是一元二次方程x2-3x-5=0的较小的根，则下面对a的估值正确的是（）A．-1.5＜a＜-1B．2＜a＜3 C．-4＜a＜-3 D．4＜a＜52.（上册P16T4·2025吉林模拟·真实问题情境）某停车场为24小时营业，其收费方式如下表所示，已知某辆车某日17：00进入该停车场，停了x小时（x为正整数），若该辆车于当日的21：00-24：00间离场，则此次停车的费用为元．（用含有x的式子表示）停车时长收费标准不超过3小时的部分5元/小时超过3小时的部分3元/小时3.（上册P17T10·2025山东日照模拟·传统文化）围棋是我国琴棋书画四艺之一，因其完美地将科学、艺术和竞技三者融为一体，具有开发智力、培养意志品质和战略战术机动灵活的特点，现已逐渐发展成为一种国际性的竞技活动．如图是用围棋棋子摆成的图案，观察其中的规律，第10个图形中围棋的个数是....第1个第2个第3个第4个4.（下册P2T10•2021甘肃改编•新定义）对于任意的有理数a，b，如果满足，那么我们称这一对数a，b为“相随数对”，记为（a，b）．若（m，n）是“相随数对”，则3m+2[3m+（2n﹣1）]=．5.（下册P48T13·2025浙江改编·数学文化）我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下《详解九章算法》，书中记载的二项和的乘方（a+b）n展开式的系数规律如图所示，其中“三乘”对应的展开式为：（a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4．已知（x+2）4＝x4+mx3+24x2+32x+16，则m的值为．6.（下册P73T13·2025扬州改编·数学文化）清代数学家罗士琳痴迷于勾股定理的研究，提出了推算勾股数的“罗士琳法则”．法则的提出，不仅简化了勾股数的生成过程，也体现了中国传统数学在数论领域的贡献．由此法则写出了下列几组勾股数：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41.根据上述规律，写出第⑤组勾股数为．方程（组）与不等式（组）7.（上册P17T15·2025广东江门模拟·传统文化）俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看．”其意思是学习了知识和技艺，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘．假设每天“遗忘”的百分比是一样的，根据“两天不练丢一半”，则每天“遗忘”的百分比约为（参考数据：）（）A．20.3%B．25.2%C．29.3%D．50%8.（下册P6T8•2025福建福州模拟•列方程的依据）一件商品，按标价八折销售盈利20元，按标价六折销售亏损10%，求标价多少元.小明同学在解此题的时候，设标价为x元，列出如下方程：．小明同学列此方程的依据是（）A．商品的利润不变B．商品的成本不变 C．商品的售价不变D．商品的销售量不变9.（上册P24T9·2025江苏南通·注重数学思维）在平面直角坐标系xOy中，五个点的坐标分别为A（﹣1，5），B（1，2），C（2，1），D（3，﹣1），E（5，5）．若抛物线y＝a（x﹣2）2+k（a＞0）经过上述五个点中的三个点，则满足题意的a的值不可能为（）A.B.C.D.10.（下册P13T11·2025山西·跨学科）氢气是一种绿色清洁能源，可通过电解水获得．实践小组通过实验发现，在电解水的过程中，生成物氢气的质量y（g）与分解的水的质量x（g）满足我们学过的某种函数关系．如表是一组实验数据，根据表中数据，y与x之间的函数关系式为（）水的质量x/g4.59183645氢气的质量y/g0.51245A．y=9x B．y＝9x C．y=19x 11.（上册P80T14•2025河北·新情境）甲、乙两张等宽的长方形纸条，长分别为a，b．如图，将甲纸条的13与乙纸条的25叠合在一起，形成长为81的纸条，则a+b＝12.（下册P8T8·2025陕西榆林模拟·几何问题代数化）如图，在长为20、宽为15的长方形中，有形状、大小完全相同的5个小长方形，则图中阴影部分的面积为．函数13.（上册P23T2·2024山西改编·新素材）如图，机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其最快移动速度v（m/s）是载重后总质量m（kg）的反比例函数．已知一款机器狗载重后总质量m＝60kg时，它的最快移动速度v＝5m/s；当其载重后总质量m＝100kg时，它的最快移动速度v＝m/s．14.（上册P24T5·2025山东青岛改编·多结论判断填空）将二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象在x轴下方的部分以x轴为对称轴翻折到x轴上方，得到如图所示的新函数图象，下列对新函数的描述正确的是（填序号）.

①图象与y轴的交点坐标是（0，﹣3） ②当x＝1时，函数取得最大值 ③图象与x轴两个交点之间的距离为4 ④当y的值随x值的增大而增大时，自变量x的取值范围是-1＜x＜1或x＞315.（下册P13T5·2025河北邯郸·跨学科）劳动教育课上，徐老师带领九（1）班同学对三类小麦种子的发芽情况进行统计（种子培养环境相同）．如图，用A，B，C三点分别表示三类种子的发芽率y与该类种子用于实验的数量x的情况，其中点B在反比例函数图象上，则这三类种子中，发芽数量最多的是点对应的类种子．（填“A”“B”或“C”）16.（下册P76T20·2025江苏连云港·几何问题代数化）如图，制作甲、乙两种无盖的长方体纸盒，需用正方形和长方形两种硬纸片，且长方形的宽与正方形的边长相等．（1）现用200张正方形硬纸片和400张长方形硬纸片，恰好能制作甲、乙两种纸盒各多少个？（2）如果需要制作100个长方体纸盒，要求乙种纸盒数量不低于甲种纸盒数量的一半，那么至少需要多少张正方形硬纸片？三角形、四边形17.（上册P43T7·2023浙江绍兴·过程性探究）如图，在矩形ABCD中，O为对角线BD的中点，∠ABD＝60°，动点E在线段OB上，动点F在线段OD上，点E，F同时从点O出发，分别向终点B，D运动，且始终保持OE＝OF．点E关于AD，AB的对称点为E1，E2，点F关于BC，CD的对称点为F1，F2.在整个过程中，四边形E1E2F1F2形状的变化依次是（）A．菱形→平行四边形→矩形→平行四边形→菱形 B．菱形→正方形→平行四边形→菱形→平行四边形 C．平行四边形→矩形→平行四边形→菱形→平行四边 D．平行四边形→菱形→正方形→平行四边形→菱形18.（下册P56T8·2025山东威海·新定义四边形）我们把两组邻边分别相等的四边形称之为“筝形”．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O．下列条件中，不能判断四边形ABCD是筝形的是（）A．BO＝DO，AC⊥BD B．∠DAC＝∠BAC，AD＝AB C．∠DAC＝∠BAC，∠DCA＝∠BCA D．∠ADC＝∠ABC，BO＝DO19.（下册P20T1·2025四川乐山·开放性）如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O．小乐同学欲添加两个条件使得四边形ABCD是正方形，现有三个条件可供选择：①AC⊥BD；②AC＝BD；③∠ADC＝90°．则正确的组合是（只需填一种组合即可）．圆20.（下册P56T9·2025江苏苏州·真实问题情境）某摩天轮是亚洲最大的水上摩天轮，共设有28个回转式太空舱全景轿厢，其示意图如图所示．该摩天轮高128m（即最高点离水面平台MN的距离），圆心O到MN的距离为68m，摩天轮匀速旋转一圈用时30min．某轿厢从点A出发，10min后到达点B，此过程中，该轿厢所经过的路径（即AB）长度为（）A.40πmB.πmC.80πmD.πm21.（下册P21T4·2025四川德阳·数学文化）等宽曲线是指在任何方向上的直径都相等的一种几何图形，它在我们的日常生活中应用比较广泛，例如可以利用等宽曲线设计自行车的车轮等．如图，分别以等边三角形ABC的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，得到的封闭图形就是等宽曲线（图中阴影部分），如果AB＝1，那么这个等宽曲线的周长是．（结果保留π）22.（下册P27T4·2025甘肃兰州·数学文化）如图，黄金矩形ABCD中，,以宽AB为边在其内部作正方形ABFE，得到四边形CDEF是黄金矩形．依此作法，四边形DEGH和四边形KEGL也是黄金矩形．依次以点E，G，L为圆心作AF，FH，HK，曲线AFHK叫做“黄金螺线”．若AD＝2，则“黄金螺线”AFHK的长为．（结果保留π）图形的变化23.（下册P46T3·2025江苏苏州·旋转形成的几何体）如图，将直角三角形绕它的一条直角边所在直线旋转一周后形成的几何体是（）A． B． C D．24.（上册P42T1·2025山东青岛·传统文化）围棋是中国古人发明的博弈活动．下列用棋子摆放的图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C． D．25.（上册P42T2·2022浙江嘉兴·传统文化）“方胜”是中国古代妇女的一种发饰，其图案由两个全等正方形相叠组成，寓意是同心吉祥．如图，将边长为2cm的正方形ABCD沿对角线BD方向平移1cm得到正方形A'B'C'D'，形成一个“方胜”图案，则点D，B′之间的距离为（）A.1cmB.2cmC.cmD.cm26.（上册P44T10•2025吉林长春•多次折叠与展开）将直角三角形纸片ABC（∠C＝90°）按如图方式折叠两次再展开，下列结论错误的是（）A.MN∥DE∥PQB.BC=2DE=4MNC.D.统计与概率27.（下册P43T5·2025山西·新情境）如图是创新小组设计的一款小程序的界面示意图，程序规则为：每点击一次按钮，“”就从一个格子向左或向右随机移动到相邻的一个格子．当“”位于格子A时，小明连续点击两次按钮，“”回到格子A的概率为（）

A.B.C.D.28.（下册P72T6·2025河北·新情境）抛掷一个质地均匀的正方体木块（6个面上分别标有1，2，3中的一个数字），若向上一面出现数字1的概率为，出现数字2的概率为，则该木块不可能是（）A． B． C． D．29.（上册P57T8•2025湖北•传统文化）窗，让人足不出户便能将室外天地尽收眼底．如图，“步步锦”“龟背锦”“灯笼锦”是我国传统的窗格构造方式，从这三种方式中随机选出一种制作窗格，选中“步步锦”的概率是．选择压轴题30.（下册P81T10·2025浙江·新情境）为了实时规划路径，卫星导航系统需要计算运动点与观测点之间距离的平方．如图1，点P是一个固定观测点，运动点Q从A处出发，沿笔直公路AB向目的地B处运动．设AQ为x（单位：km）（0≤x≤n），PQ2为y（单位：km2）．如图2，y关于x的函数图象与y轴交于点C，最低点D（m，81），且经过E（1，225）和F（n，225）两点．下列选项正确的是（）图1图2A．m＝12 B．n＝24 C．点C的纵坐标为240 D．点（15，85）在该函数图象上填空压轴题31.（上册P33T11•2025山东省卷•去模型转化求最值）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8．点P为边AC上异于A的一点，以PA，PB为邻边作▱PAQB，则线段PQ的最小值是．32.（上册P33T12•2025天津•两问两空）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，点E在边BC上，且EC＝2BE．（Ⅰ）线段AE的长为；（Ⅱ）F为CD的中点，M为AF的中点，N为EF上一点，若∠FMN＝75°，则线段MN的长为．33.（上册P45T13·2022福建泉州模拟·双空多模型叠加）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，点E为线段BC上一动点，作点B关于AE的对称点F，连接EF，DF，点G为DF中点．当D，F，E三点共线时，CE的长为；在点E的整个运动过程中，C，G两点距离的最小值为．反比例函数综合题34.（上册P75T21•2025河南许昌模拟•反比例函数与圆结合）如图，已知一次函数y1＝k1x+2的图象与反比例函数y2=k2x的图象交于点A（m，-1），且与y轴交于点B，第一象限内的点C在反比例函数y2=k2x的图象上，且以点（1）求以上两个函数的解析式；（2）根据图象，当y1＜y2＜0时，直接写出x的取值范围．尺规作图35.（上册P34T15•2025湖南郴州模拟•解题策略开放）如图，在△ABC中，点D为线段AB上任意一点．（1）尺规作图：作线段CD的垂直平分线，分别交AC，BC于点E，F，连接DE，DF；（不写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）的基础上，线段CD与EF交于点G，已知（请从“①CD平分∠ACB；②点G为EF中点”这两个条件中选取一个作为已知条件）．求证：四边形CEDF是菱形．36.（上册P34T13•2025江西•无刻度直尺作图）如图，在6×5的正方形网格中，点A，B，C均在格点上，请仅用无刻度直尺按下列要求完成作图．（保留作图痕迹）（1）在图1中作出BC的中点D；（2）在图2中作出△ABC的重心E．37.（上册P82T19•2025河南南阳模拟•课堂探究）开启作角平分线的智慧之窗.问题：作∠AOB的平分线OP．作法：如图，甲同学用尺规作出了角平分线；乙同学用圆规和直角三角板作出了角平分线；丙同学也用尺规作出了角平分线.讨论：大家对甲同学的作法深信不疑．认为判断角平分线的依据是利用三角形全等，其判定全等的方法是；大家对乙同学的作法半信半疑，通过讨论最终确定OP为角平分线.判断的理由是：∵OA=OB，OP⊥AB，∴∠AOP=∠BOP（依据）.任务：（1）请你将上述讨论过程补充完整；（2）完成对丙同学作法的验证．已知∠AED＝∠AOB，EP＝EO，求证：OP平分∠AOB．圆的综合题38.（下册P34T1·2025广西·传统文化结合图形变化）绣球是我国广西民族文化的特色载体．如图，设计某种绣球叶瓣时，可以先在图纸上建立平面直角坐标系，再分别以原点O，O′（5，5）为圆心、以5为半径作圆，两圆相交于A，B两点，其公共部分构成叶瓣①（阴影部分），同理得到叶瓣②．（1）写出A，B两点的坐标；（2）求叶瓣①的周长；（结果保留π）（3）请描述叶瓣②可以由叶瓣①经过怎样的图形变化得到．二次函数综合题

新定义问题39.（上册P27T15·2025广东深圳模拟）【定义】在平面直角坐标系中，对“纵横值”给出如下定义：点A（x，y）是函数图象上任意一点，纵坐标y与横坐标x的差“y-x”称为点A的“纵横值”．函数图象上所有点的“纵横值”中的最大值称为函数的“最优纵横值”．【举例】已知点A（1，3）在函数y＝2x+1图象上．点A（1，3）的“纵横值”为y-x＝3-1＝2；函数y＝2x+1图象上所有点的“纵横值”可以表示为y-x＝2x+1-x＝x+1，当3≤x≤6时，x+1的最大值为6+1＝7，所以函数y＝2x+1（3≤x≤6）的“最优纵横值”为7．【问题】根据定义，解答下列问题：（1）①点B（-6，2）的“纵横值”为；②求出函数y=（2≤x≤4）的“最优纵横值”；（2）若二次函数y＝-x2+bx+c的顶点在直线x=上，且“最优纵横值”为5，求c的值；（3）若二次函数y＝-x2+（2b+1）x﹣b2+3，当-1≤x≤4时，二次函数的“最优纵横值”为2，直接写出b的值．

综合与实践40.（上册P68T4•2025广东深圳）综合与实践【问题背景】排队是生活中常见的场景．如图，某数学小组针对某次演出，研究了排队人数与安检时间、安排通道数之间的关系．【研究条件】条件1：观众进场立即排队安检，在任意时刻都满足：排队人数＝现场总人数﹣已入场人数；条件2：若该演出场地最多可开放9条安检通道，平均每条通道每分钟可安检6人．【模型构建】若该演出前30分钟开始进行安检，经研究发现，现场总人数y与安检时间x之间满足关系式：y＝-x2+60x+100（0≤x≤30）．结合上述信息，请完成下述问题：（1）当开通3条安检通道时，安检x分钟时，已入场人数为，排队人数w与安检时间x的函数关系式为．【模型应用】（2）在（1）的条件下，排队人数在第几分钟达到最大值，最大人数为多少？（3）已知该演出主办方要求：①排队人数在安检开始10分钟内（包含10分钟）减少；②尽量少安排安检通道，以节省开支．若同时满足以上两个要求，可开设几条安检通道？请说明理由.【总结反思】函数可刻画生活实际场景，但要注意验证模型的正确性，未来可结合更多变量（如突发情况、安检流程优化等）进行更深入的分析，以提高模型的准确性和实用性．-

新设问41.（上册P83T22•2025浙江）已知抛物线y＝x2-ax+5（a为常数）经过点（1，0）．（1）求a的值．（2）过点A（0，t）与x轴平行的直线交抛物线于B，C两点，且B为线段AC的中点，求t的值．（3）设m＜3＜n，抛物线的一段y＝x2-ax+5（m≤x≤n）夹在两条均与x轴平行的直线l1，l2之间．若直线l1，l2之间的距离为16，求n-m的最大值．42.（下册P87T22·2025北京改编）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过原点O和点A（3，3a）．（1）求c的值，并用含a的式子表示b；（2）过点P（t，0）作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线y＝ax于点N．①若a＝1，t＝4，求MN的长；②已知在点P从点O运动到点B（2a，0）的过程中，MN的长随OP的增大而增大，请直接写出a的取值范围．几何综合题

综合探究类43.（上册P46T17·2025宁夏）如图，在Rt△ABC和Rt△ADE中，∠ACB＝∠AED＝90°，∠BAC＝∠DAE＝60°，AD＜AC．连接BD，F是BD的中点，连接CE，CF，EF．（1）如图1，当点D在AC上时，求证：△CEF是等边三角形；（2）将图1中的△ADE绕点A顺时针旋转．①当旋转角为60°时，如图2所示，（1）中的结论还成立吗？说明理由；②当EF最长时，EF与AD的交点记作M．若AE＝3，则EM＝．图1图2备用图

综合与实践44.（上册P63例3•2025山东省卷）【问题情境】2025年5月29日“天问二号”成功发射，开启了小行星伴飞取样探测的新篇章．某校航天兴趣小组受到鼓舞，制作了一个航天器模型，其中某个部件使用3D打印完成，如图1．【问题提出】部件主视图如图2所示，由于l的长度不易直接测量，需要设计一个方案，以检测该部件中l的长度是否符合要求．【方案设计】兴趣小组通过查阅文献，提出了钢柱测量法．测量工具：游标卡尺、若干个底面圆半径相同的钢柱（圆柱）．操作步骤：如图3，将两个钢柱平行放在部件的合适位置，使得钢柱与部件紧密贴合．示意图如图4，⊙O分别与AC，AD相切于点B，D．用游标卡尺测量出CC′的长度y．【问题解决】已知∠CAD＝∠C′A′D′＝60°，l的长度要求是1.9cm≤l≤2.1cm．（1）求∠BAO的度数；（2）已知钢柱的底面圆半径为1cm，现测得y＝7.52cm．根据以上信息，通过计算说明该部件l的长度是否符合要求．（参考数据：1.73）【结果反思】（3）本次实践过程借助圆柱将不可测量的长度转化为可测量的长度，能将圆柱换成其他几何体吗？如果能，请写出一个；如果不能，说明理由．45.（上册P38例4·2025江苏苏州）综合与实践小明同学用一副三角板进行自主探究．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，△CDE中，∠DCE＝90°，∠E＝30°，AB＝CE＝12cm．【观察感知】（1）如图1，将这副三角板的直角顶点和两条直角边分别重合，AB，DE交于点F，求∠AFD的度数和线段AD的长．（结果保留根号）【探索发现】（2）在图1的基础上，保持△CDE不动，把△ABC绕点C按逆时针方向旋转一定的角度，使得点A落在边DE上（如图2）．①求线段AD的长；（结果保留根号）②判断AB与DE的位置关系，并说明理由．图1图246.（上册P40例6·2025江西）综合与实践从特殊到一般是研究数学问题的重要思想方法，综合实践小组以特殊四边形为背景对三角形的旋转放缩问题展开探究．【特例研究】在正方形ABCD中，AC，BD相交于点O．（1）如图1，△ADC可以看成是△AOB绕点A逆时针旋转并放大k倍得到，此时旋转角的度数为，k的值为；（2）如图2，将△AOB绕点A逆时针旋转，旋转角为α，并放大得到△AEF（点O，B的对应点分别为点E，