2025-2026学年河北省保定市高一（上）期末数学试卷（含解析）

2025-2026学年河北省保定市高一（上）期末数学试卷考试注意事项：1、考生须诚信考试,遵守考场规则和考试纪律，并自觉服从监考教师和其他考试工作人员管理；

2、监考教师发卷后，在试卷指定的地方填写本人准考证号、姓名等信息；考试中途考生不准以任何理由离开考场；

3、考生答卷用笔必须使用同一规格同一颜色的笔作答(作图可使用铅笔)，不准用规定以外的笔答卷，不准在答卷上作任何标记。考生书写在答题卡规定区域外的答案无效。4、考试开始信号发出后,考生方可开始作答。一、选择题（共8个小题，每小题5分，共40分）.1．已知，则（）A． B． C． D．2．已知某单位按照职工年龄分为老、中、青三组，其人数之比为．现用分层抽样的方法从全体职工中抽取20人进行问卷调研，则抽取的职工中属于青年组的人数为（）A．4人 B．6人 C．8人 D．10人3．设，，是三条不同的直线，，是两个不同的平面．下列命题正确的是（）A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，则 D．若，．则或4．已知，则等于（）A． B． C． D．5．若非零向量，满足，则在方向上的投影向量为（）A． B． C． D．6．在△中，，，，若△仅一个解时，则（）A． B． C．或 D．无法确定的范围7．圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，母线长为4．已知为该圆台某条母线的中点，若一质点从点出发，绕着该圆台的侧面运动一圈后又回到点，则该质点运动的最短路径长为（）A． B．6 C． D．8．水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征．如图是一个半径为的水车，一个水斗从点，出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时60秒．经过秒后，水斗旋转到点，设的坐标为，其纵坐标满足，，．则下列叙述错误的是A． B．当，时，点到轴的距离的最大值为6 C．当，时，函数单调递减 D．当时，二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。（多选）9．（6分）关于复数的命题正确的有（）A． B．若，则为实数 C．若，则 D．若，则的最小值为1（多选）10．（6分）某市文化和旅游局制定出台推动文旅市场恢复振兴的系列措施，以丰富的旅游业态和高品质的文旅服务不断提升游客出游体验，促进文旅消费增长．现为进一步发展该市文旅，提升经济，2025年5月份对该市旅游的部分游客发起满意度调查，从饮食、住宿、交通、服务等方面调查旅客满意度，满意度得分采用百分制，统计的综合满意度得分成绩绘制成如下频率分布直方图，若同一组中的数据用该组区间的中点值为代表，则下列结论正确的是（）A．频率分布直方图中 B．2025年5月份对该市旅游的游客满意度得分的平均数近似值为79.5 C．2025年5月份对该市旅游的游客满意度得分的第60百分位数近似值为82.5 D．若落在，的平均成绩，方差，落在，的平均成绩，方差，则落在，的平均成绩为87，落在，的成绩的方差为23（多选）11．（6分）在棱长为2的正方体中，为的中点，是侧面内的一点（包含边界），则下列结论正确的是（）A．若，则点的轨迹长度为 B．若，则点的轨迹长度为 C．若点在线段（不含点上，则过点，，的截面周长的取值范围是 D．若点在线段上，则三棱锥的外接球表面积的取值范围是三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．设正方形的边长为4，动点在以为直径的圆上，则的最大值为．13．如图，在正三棱柱中，，，则直线与直线所成角的余弦值为．14．已知函数，，为的零点，为图象的对称轴，且在，单调，则的最大值为．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（13分）某同学在研究函数的图象与性质时，采用“五点法”画简图列表如下：00100（1）根据上表中数据，求出，及，，的值；（2）函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，求函数图象的对称轴及对称中心．16．（15分）甲、乙两人各拿两颗质地均匀的骰子做游戏，规则如下：若掷出的点数之和为3的倍数，则由原投掷人继续投掷；若掷出的点数之和不是3的倍数，则由对方接着投掷．规定第1次由甲投掷．（1）求第2次由甲投掷的概率；（2）求前4次投掷中，乙恰好投掷2次的概率．17．（15分）△中，内角，，的对边分别为，，，△的面积为，．（1）证明：；（2）若，求的最大值．18．（17分）如图，是圆的直径，垂直于圆所在的平面，，，点是圆上不同于，的任意一点，为的中点．（1）证明：平面；（2）若直线与平面所成的角为，求二面角的余弦值．【注意：本题用空间向量方法作答不给分】19．（17分）在△中，内角，，的对边分别为，，．若．（1）求证：△是等腰三角形；（2）若△的面积为18，点满足，求线段的最小值；（3）定义：对于△，若存在△，使得，，，则称△为△的伴随三角形．已知△存在伴随三角形，点在线段上，且满足，，若将△沿折起，使得平面平面，求此时直线与平面所成的角．

参考答案一、选择题：共8小题，每小题5分，共40分.1．已知，则（）A． B． C． D．解：，．故选：．2．已知某单位按照职工年龄分为老、中、青三组，其人数之比为．现用分层抽样的方法从全体职工中抽取20人进行问卷调研，则抽取的职工中属于青年组的人数为（）A．4人 B．6人 C．8人 D．10人解：现用分层抽样的方法从全体职工中抽取20人进行问卷调研，则抽取的职工中属于青年组的人数为：．故选：．3．设，，是三条不同的直线，，是两个不同的平面．下列命题正确的是（）A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，则 D．若，．则或解：对选项，若，，则或，错误；对选项，若，，，则或，异面，错误；对选项，若，，则，正确；对选项，若，，则与的位置关系不确定，错误．故选：．4．已知，则等于（）A． B． C． D．解：设，则，则，则，故选：．5．若非零向量，满足，则在方向上的投影向量为（）A． B． C． D．解：由已知得，在方向上的投影向量为．故选：．6．在△中，，，，若△仅一个解时，则（）A． B． C．或 D．无法确定的范围解：△中，，，，由正弦定理得，即，可得，根据，且△仅一个解时，或，即或，结合，解得或，项符合题意．故选：．7．圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，母线长为4．已知为该圆台某条母线的中点，若一质点从点出发，绕着该圆台的侧面运动一圈后又回到点，则该质点运动的最短路径长为（）A． B．6 C． D．解：为圆台母线的中点，，分别为上下底面的圆心，把圆台扩成圆锥，如图，则，，，由，有，，，圆锥底面半径，底面圆的周长为，母线长，侧面展开图的扇形的圆心角为，即，如图，质点从点出发，绕着该圆台的侧面运动一圈后又回到点，则运动的最短路径为展开图弦，，，有．故选：．8．水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征．如图是一个半径为的水车，一个水斗从点，出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时60秒．经过秒后，水斗旋转到点，设的坐标为，其纵坐标满足，，．则下列叙述错误的是A． B．当，时，点到轴的距离的最大值为6 C．当，时，函数单调递减 D．当时，解：由题意，，，，点，代入可得，，．故正确；，当，时，，，点到轴的距离的最大值为6，正确；当，时，，，函数单调递减，不正确；当时，，的纵坐标为6，，正确，故选：．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。（多选）9．（6分）关于复数的命题正确的有（）A． B．若，则为实数 C．若，则 D．若，则的最小值为1解：对于，令，，，则，于是，正确；对于，是虚数，，错误；对于，令，，显然，而，，，错误；对于，若，则所对应的点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆，所以的最小值为，正确．故选：．（多选）10．（6分）某市文化和旅游局制定出台推动文旅市场恢复振兴的系列措施，以丰富的旅游业态和高品质的文旅服务不断提升游客出游体验，促进文旅消费增长．现为进一步发展该市文旅，提升经济，2025年5月份对该市旅游的部分游客发起满意度调查，从饮食、住宿、交通、服务等方面调查旅客满意度，满意度得分采用百分制，统计的综合满意度得分成绩绘制成如下频率分布直方图，若同一组中的数据用该组区间的中点值为代表，则下列结论正确的是（）A．频率分布直方图中 B．2025年5月份对该市旅游的游客满意度得分的平均数近似值为79.5 C．2025年5月份对该市旅游的游客满意度得分的第60百分位数近似值为82.5 D．若落在，的平均成绩，方差，落在，的平均成绩，方差，则落在，的平均成绩为87，落在，的成绩的方差为23解：根据题意可得，解得，所以选项错误；因为2025年5月份对该市旅游的游客满意度得分的平均数近似值为：，所以选项正确；因为各组的频率依次为0.15，0.35，0.4，0.1，所以第60百分位数在内，且为，所以选项正确；因为，与，的频率之比为，所以若落在，的平均成绩，方差；落在，的平均成绩，方差，则落在，的平均成绩为，所以落在，的成绩的方差为：，所以选项正确．故选：．（多选）11．（6分）在棱长为2的正方体中，为的中点，是侧面内的一点（包含边界），则下列结论正确的是（）A．若，则点的轨迹长度为 B．若，则点的轨迹长度为 C．若点在线段（不含点上，则过点，，的截面周长的取值范围是 D．若点在线段上，则三棱锥的外接球表面积的取值范围是解：，平面，点的轨迹为线段，点的轨迹长度为，故选项正确；点在侧面内，平面．平面，平面，，在△中，由，可得，点的运动轨迹是以为圆心，1为半径，圆心角为，点的轨迹长度为，故选项正确；当在时，过点，，的截面周长最大，此时截面为等腰梯形，上底长为，下底长为，腰长为，所以周长为；又当在时，过点，，的截面为正方形，此时截面周长最小，周长为8，故错误；利用，即过上任意一点作弧构造正弦等角弧，设，易知当点为的中点时，最大．取的中点，则，，所以；当点与点或点重合时，最小，此时，所以，因为，，在球面上，所以△的外接圆直径．所以三棱锥的外接球的直径为，所以三棱锥的外接球的半径，所以三棱锥的外接球的表面积为，故选项正确．故选：．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．设正方形的边长为4，动点在以为直径的圆上，则的最大值为32．解：设是中点，是中点，即为已知圆圆心，圆半径，则，因为，点在圆上运动，所以，所以的最大值为．故答案为：32．13．如图，在正三棱柱中，，，则直线与直线所成角的余弦值为．解：连接，交于点，则是的中点，取的中点，连接，则，所以或其补角即为直线与直线所成角，由题意知，△是边长为2的等边三角形，所以，由勾股定理知，，所以，，在△中，由余弦定理知，，即直线与直线所成角的余弦值为．故答案为：．14．已知函数，，为的零点，为图象的对称轴，且在，单调，则的最大值为9．解：函数，，为的零点，为图象的对称轴，，，且，，相减可得，，即，即为奇数．在，单调，（1）若在，单调递增，则，且，，即①，且，②，把①②可得，，故有奇数的最大值为11．当时，，，，．此时在，上不单调，不满足题意．当时，，，，，此时在，上单调递减，不满足题意；故此时无解．（2）若在，单调递减，则，且，，即③，且，④，把③④可得，，故有奇数的最大值为11．当时，，，，．此时在，上不单调，不满足题意．当时，，，，，此时在，上单调递减，满足题意；故的最大值为9．故答案为：9．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（13分）某同学在研究函数的图象与性质时，采用“五点法”画简图列表如下：00100（1）根据上表中数据，求出，及，，的值；（2）函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，求函数图象的对称轴及对称中心．解：（1）由题意，可得可得，由，得，由，得，由，得；（2）由（1）得，将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，可得，由，，得，，所以图象的对称中心为，，由，，得，，所以图象的对称轴为直线，．16．（15分）甲、乙两人各拿两颗质地均匀的骰子做游戏，规则如下：若掷出的点数之和为3的倍数，则由原投掷人继续投掷；若掷出的点数之和不是3的倍数，则由对方接着投掷．规定第1次由甲投掷．（1）求第2次由甲投掷的概率；（2）求前4次投掷中，乙恰好投掷2次的概率．解：（1）掷出的骰子的点数的样本空间为种，记事件“掷出的点数之和为3的倍数”，则，，，，，，，，，，，，共有12个样本点，所以，故第2次由甲投掷的概率为．（2）由（1）可得掷出的两颗骰子点数之和为3的倍数的概率为，所以两颗骰子点数之和不为3的倍数的概率为，游戏的前4次中乙投掷的次数为2，可能乙投据的次数为第二次第三次，则概率为，或第二次第四次，则概率为，或第三次第四次，则概率为，以上三个事件互斥，所以其概率为，记事件“前4次投掷中，乙恰好投掷2次”，则（B）．17．（15分）△中，内角，，的对边分别为，，，△的面积为，．（1）证明：；（2）若，求的最大值．解：（1）证明：由正弦定理，得，则，又因为，所以；（2）将代入，可得，即，所以，即，解得，又因为，所以，因为，所以，即，当且仅当时等号成立，所以，即的最大值为．18．（17分）如图，是圆的直径，垂直于圆所在的平面，，，点是圆上不同于，的任意一点，为的中点．（1）证明：平面；（2）若直线与平面所成的角为，求二面角的余弦值．【注意：本题用空间向量方法作答不给分】解：（1）证明：因为平面，且平面，所以，因为点在以为直径的圆上，所以，又因为，平面，平面，所以平面；（2）在△中，过点作，垂足为，取中点，连接，△中，，分别为，中点，故，即平面，因为平面，所以，又因为，所以平面，又因为平面，所