黑龙江省哈尔滨六中2025-2026学年高一（下）段考数学试卷（3月份）（含解析）

2025-2026学年黑龙江省哈尔滨六中高一（下）段考数学试卷（3月份）考试注意事项：

1.答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定位置填写本人准考证号、姓名等信息．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致．2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．非选择题答案用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上相应位置书写作答，在试题卷上答题无效．3．作图可先使用2B铅笔画出，确定后必须用0.5毫米黑色墨水签字笔描黑．一、单选题（共8个小题，每小题5分，共40分）.1．已知平面向量，若，则（）A．1 B． C． D．2．已知向量，则与向量同向的单位向量的坐标为（）A． B． C． D．3．已知平面向量满足，则向量与的夹角为（）A． B． C． D．4．如图，在矩形中，，为边上的任意一点（包含端点），为的中点，则的取值范围是（）A．， B．， C．， D．，5．已知向量，若在上的投影向量是，则的最小值为（）A． B． C． D．6．如图，在平行四边形中，，和相交于点，且为上一点（不包括端点）．若，则的最小值为（）A． B． C． D．7．如图，已知，分别是△边，上的点，且满足，，与交于，连接并延长交于点．若，则实数的值为（）A． B． C． D．28．设向量与的夹角为，定义，已知，，则（）A． B． C． D．二、多选题(本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分．)（多选）9．（6分）《易经》是阐述天地世间关于万象变化的古老经典，其中八卦深邃的哲理解释了自然、社会现象．如图1所示的是八卦模型图，其平面图形（图中的正八边形，其中为正八边形的中心，则下列说法正确的是A． B． C． D．和能构成一组基底（多选）10．（6分）设为△所在平面内的一点，则下列说法正确的是A．若，则点为△的重心 B．若，则点为△的垂心 C．若，则△的形状为等腰直角三角形 D．若，则△和△的面积之比为（多选）11．（6分）如图，在梯形中，，，为线段的中点，与交于点，为线段上的一个动点，则下列结论正确的是A． B．向量与共线 C． D．若，则最大值三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分．)12．已知向量，满足，则在上的投影向量的坐标为．13．已知向量，，且与的夹角为钝角，求实数的取值范围．14．如图所示，在边长为3的等边三角形中，，且点在以的中点为圆心，为半径的半圆上，则最大值为，若，则的最大值为；四、解答题（本题共5小题，共77分，解答时要求写出必要的文字说明证明过程演算步骤．）15．（13分）已知向量，，，且，．（1）求与；（2）若，，求向量与的夹角的大小．16．（15分）已知，且与的夹角为，求：（1）；（2）与的夹角；（3）若向量与垂直，求实数的值．17．（15分）如图，在平行四边形中，，，，，分别为，上的点，且，．（1）若，求，的值；（2）求的值；（3）求．18．（17分）已知向量，，函数．（1）求函数的单调递增区间；（2）若，且，求的值；（3）将的图象向左平移个单位长度得到函数的图象．当时，求函数的值域．19．（17分）已知为坐标原点，对于函数，称向量为函数的伴随向量，同时称函数为向量的伴随函数．（Ⅰ）设函数，试求的伴随向量；（Ⅱ）记向量的伴随函数为，求当且时的值；（Ⅲ）设，已知，，，问在的图象上是否存在一点，使得．若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由．

参考答案一、单选题：共8小题，每小题5分，共40分.1．已知平面向量，若，则（）A．1 B． C． D．解：因为，所以，因为，所以，解得．故选：．2．已知向量，则与向量同向的单位向量的坐标为（）A． B． C． D．解：根据题意，向量，则，所以与向量同向的单位向量为．故选：．3．已知平面向量满足，则向量与的夹角为（）A． B． C． D．解：，，，，，，，，，，，，故选：．4．如图，在矩形中，，为边上的任意一点（包含端点），为的中点，则的取值范围是（）A．， B．， C．， D．，解：以为坐标原点，，的方向分别为，轴的正方向，建立如图所示的平面直角坐标系，则，，，设，，所以，，所以．因为，所以，，即．故选：．5．已知向量，若在上的投影向量是，则的最小值为（）A． B． C． D．解：由题意可在，，在上的投影向量是，，，当时，取最小值．故选：．6．如图，在平行四边形中，，和相交于点，且为上一点（不包括端点）．若，则的最小值为（）A． B． C． D．解：设，因为点为中点，所以，则，因为、、三点共线，由向量共线定理推论可得，，所以，即由、、三点共线可得，所以．故选：．7．如图，已知，分别是△边，上的点，且满足，，与交于，连接并延长交于点．若，则实数的值为（）A． B． C． D．2解：由，，共线，可得，，所以，①由，，共线，可得，，所以，②由①②知：，则，故，由，可得，由，，共线，有，解得．故选：．8．设向量与的夹角为，定义，已知，，则（）A． B． C． D．解：，，，即，则，故，得，，，，．故选：．二、多选题(本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分．)（多选）9．（6分）《易经》是阐述天地世间关于万象变化的古老经典，其中八卦深邃的哲理解释了自然、社会现象．如图1所示的是八卦模型图，其平面图形（图中的正八边形，其中为正八边形的中心，则下列说法正确的是A． B． C． D．和能构成一组基底解：对于选项，，选项错误．对于选项，，选项正确．对于选项，由于八边形为正八边形，故，且，故，所以选项正确．对于选项，由于和不共线，故和能构成一组基底，所以正确．故选：．（多选）10．（6分）设为△所在平面内的一点，则下列说法正确的是A．若，则点为△的重心 B．若，则点为△的垂心 C．若，则△的形状为等腰直角三角形 D．若，则△和△的面积之比为解：对于，如图，取边中点，连接边上的中线，则，又，，即，点为△的重心，故正确；对于，由，可得，即，同理，可得，，即点为△的3条高的交点，点为△的垂心，故正确；对于，由，则，，即，化简得，即，△为直角三角形，故错误；对于，，△与△边上的高之比为，△与△的面积之比为，故正确．故选：．（多选）11．（6分）如图，在梯形中，，，为线段的中点，与交于点，为线段上的一个动点，则下列结论正确的是A． B．向量与共线 C． D．若，则最大值解：因为在梯形中，，，所以，则，选项：因为为线段的中点，所以，故正确；选项：因为、、三点共线，所以存在唯一的，使得，又因为、、三点共线，所以存在唯一的，使得，又因为，所以，解得，故，所以，则向量与不共线，故错误；选项：因为为线段的中点，所以，由选项可得：，所以，，，所以，故正确；选项：因为为线段上的一个动点，所以设，，，又因为，，所以，则的最大值为，故正确．故选：．三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分．)12．已知向量，满足，则在上的投影向量的坐标为．解：，则．因为，，即．即，解得．向量在向量上的投影向量为．故答案为：．13．已知向量，，且与的夹角为钝角，求实数的取值范围．解：与的夹角为钝角，则（且排除反向共线情况）．当时，向量，，则，解得．当反向共线时，，解得．综上所得，求实数的取值范围为．故答案为：．14．如图所示，在边长为3的等边三角形中，，且点在以的中点为圆心，为半径的半圆上，则最大值为9，若，则的最大值为；解：由题意，，所以，因为，故当时，取得最大值为9；以为原点，为轴正方向建立平面直角坐标系，如图所示，则，由题意得的轨迹为以为圆心，1为半径的半圆，其轨迹方程为，设，，，则，因为，所以，所以，所以当时，，此时取得最大值．故答案为：9；．四、解答题（本题共5小题，共77分，解答时要求写出必要的文字说明证明过程演算步骤．）15．（13分）已知向量，，，且，．（1）求与；（2）若，，求向量与的夹角的大小．解：（1）由得，，所以，即，由得，，所以，即．（2）由（1）得，，所以，，，所以，所以向量，的夹角为．16．（15分）已知，且与的夹角为，求：（1）；（2）与的夹角；（3）若向量与垂直，求实数的值．解：（1）因为，且与的夹角为，所以，所以；（2）因为，所以，又因为，所以，因为，所以与的夹角为；（3）因为向量与垂直，所以，所以，所以，解得或，所以实数的值为或6．17．（15分）如图，在平行四边形中，，，，，分别为，上的点，且，．（1）若，求，的值；（2）求的值；（3）求．解：（1）因为，，所以，又，所以；（2）由（1），在平行四边形中，，，，则，所以；（3）由图可知，，又，，，所以，所以，，则．18．（17分）已知向量，，函数．（1）求函数的单调递增区间；（2）若，且，求的值；（3）将的图象向左平移个单位长度得到函数的图象．当时，求函数的值域．解：（1）已知向量，，函数，根据平面向量数量积的坐标公式可得：，令，解得：，的单调递增区间为；（2）由（1）得：，，，又，，，；（3）将的图象向左平移