高一数学寒假讲义第八讲 三角函数的概念、同角三角函数关系及诱导公式（学生版）

第八讲三角函数的概念、同角三角函数关系及诱导公式【知识梳理】一、任意角的三角函数1．定义设是一个任意角，它的顶点与原点重合，始边与轴非负半轴重合，点是角的终边上任意一点，到原点的距离，那么角的正弦、余弦、正切分别是．注意：正切函数的定义域是，正弦函数和余弦函数的定义域都是.2．三角函数值在各象限内的符号三角函数值在各象限内的符号口诀：一全正、二正弦、三正切、四余弦．3．特殊角的三角函数值00100100101不存在0不存在0二、同角三角函数的基本关系式平方关系商的关系三、三角函数的诱导公式公式一二三四五六角正弦余弦正切口诀奇变偶不变，符号看象限题型01终边与三角函数值【解题思路】需在终边上任取一点，然后利用三角函数的定义求解即可【例1】若角的终边经过点，则的值可以为（

）A． B． C． D．【例2】在直角坐标系中，角的始边为轴的正半轴，顶点为坐标原点，已知角的终边与单位圆交于点，将绕原点逆时针旋转与单位圆交于点，若，则（

）A．0.6 B．0.8 C．-0.6 D．-0.8【变式1-1】已知角的终边上有一点，且，求：的值【变式1-2】在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，若角的终边经过点，角的终边与角的终边关于原点对称，则，．【变式1-3】（多选）已知，角的终边经过点，则下列结论正确的是（

）A． B．C． D．题型02正(余)弦、正切知一求二【解题思路】（1）已知正弦（余弦），利用先求得余弦（正弦），然后利用求正切；（2）已知正切，联立公式，可直接求得正余弦【例3】已知，，则（

）A． B． C． D．【例4】已知，且，则.【变式2-1】若且，则（

）A． B．C． D．【变式2-2】“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．充要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件【变式2-3】已知，，那么.题型03利用平方关系求参数【例5】设角满足条件，则所在的象限是（

）A．一、二 B．二、三 C．二、四 D．不能确定【例6】若，，则．【变式3-1】已知，是关于x的方程的两根，则实数．【变式3-2】若、是关于x的方程的两个根，则.【变式3-3】已知关于的方程的两个实根是和．（1）求的值；（2）求的值（其中）．题型04正余弦齐次式的运算【解题思路】（1）对于或的求值,将分子分母同除以或,化成关于的式子,从而达到求值的目的.（2）对于的求值,可看成分母是1,利用进行代替后分子分母同时除以,得到关于的式子,从而可以求值.【例7】已知，则（

）A． B． C． D．【例8】已知，则．【变式4-1】已知角的始边与轴正半轴重合，终边落在直线上，则．【变式4-2】已知，则.【变式4-3】已知是第二象限角，且.(1)求的值；(2)求的值.题型05与的关系【解题思路】与的关系：【例9】（多选）已知，，则下列选项中正确的有（

）A． B．C． D．【例10】若，且，则．【变式5-1】已知是方程的两个实数根．(1)求的值：(2)若为第二象限角，求的值．【变式5-2】若，则.【变式5-3】若，，则的值为.题型06由条件等式求三角函数【解题思路】通过条件等式与同角三角函数关系的结合，求出三角函数的函数值或三角函数值之间的关系【例11】已知，则（

）A． B． C． D．【例12】若，，则（

）A． B． C． D．【变式6-1】已知，则cosθ的值是（

）A． B． C． D．【变式6-2】已知是第四象限角，且，则（

）A． B．C． D．【变式6-3】若，则题型07利用诱导公式给角求值【解题思路】利用诱导公式解决给角求值问题的步骤：①“负化正”：用公式一或三将负角转化为正角；②“大化小”：用公式一将角化为到间的角③“小化锐”：用公式二或四将大于的角转化为锐角；④“锐求值”：得到锐角的三角函数后求值【例13】下列不等式错误的是（

）A． B． C． D．【例14】（

）A．0 B．C．－1 D．【变式7-1】的值为（

）A．0 B． C． D．【变式7-2】（多选）下列与的值相等的是（

）A． B． C． D．【变式7-3】设，，则（

）A． B． C． D．题型08利用互补互余关系给值求值问题【解题思路】题意中出现两个互余角或互补角，则可用诱导公式结合整体思想转化角【例15】若=，则sin=（

）A． B． C． D．【例16】已知，且，则（

）A． B． C． D．【变式8-1】已知，，则的值为（

）A． B． C． D．【变式8-2】已知则【变式8-3】已知，则的值是.题型09化简求值问题【例17】已知为角终边上一点，则（）A． B．1 C．2 D．3【例18】已知，且为第二象限角，则（

）A． B． C． D．【变式9-1】已知.(1)化简；(2)若，求的值.【变式9-2】已知.(1)化简；(2)若，求的值.【变式9-3】设，求的值为.课后练习一、单选题1．已知角的始边与轴非负半轴重合，终边过点，且，则（

）A． B． C． D．2．“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．必要条件 D．既不充分也不必要条什3．已知点，分别以，为起点同时出发，沿单位圆（为坐标原点）逆时针做匀速圆周运动，若点的角速度为，点的角速度为，则，第二次重合时的坐标为（

）A． B．C． D．4．已知，则的值为（

）A． B． C．0 D．5．已知函数，若，则的值可以为（

）A． B． C． D．6．已知，则（

）A． B． C． D．二、多选题7．在中，，，下列选项正确的是（

）A． B． C． D．8．已知，，则下列结论正确的是（

）A．为第二象限角 B．C． D．9．已知下列等式的左右两边都有意义，则下列等式恒成立的是（

）A． B．C． D．三、填空题10．已知，则，．11．在平面直角坐标系中，角以为始边，终边经过点，当时，则；当由变化到时，线段扫过的面积是.12．若，则的值为