高一数学寒假讲义第二讲 不等式性质与均值不等式（解析版）

第二讲不等式性质与均值不等式【知识梳理】一、不等式的性质1.不等式的基本性质性质性质内容特别提醒对称性双向性传递性单向性可加性双向性同向可加性单向性可乘性单向性，注意的符号同向同正可乘性单向性可乘方性单向性可开方性单向性2.倒数以及分数的有关性质倒数的性质....分数的性质（）；；二、基本不等式：（一正二定三相等）（1）基本不等式成立的条件：.（2）等号成立的条件，当且仅当时取等号．利用基本不等式求最值问题：（1）如果积xy是定值P，那么当且仅当时，x＋y有最小值是.(简记：积定和最小)（2）如果和x＋y是定值P，那么当且仅当时，xy有最大值是.(简记：和定积最大)题型01判断及证明不等式【解题思路】①直接法：对于说法正确的，要利用不等式的相关性质证明；对于说法错误的只需举出一个反例即可；②特殊值法：注意取值一定要遵循三个原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算；三是所取的值要有代表性．【例1】设，则下列不等式中正确的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据不等式性质逐个选项判断即可.【详解】对A，，则，即，故A错误；对B，，则，则，故B错误；对C，，则，故C错误；对D，，则，故D正确.故选：D【例2】“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】作差后，即可判断不等式，再根据充分，必要条件的定义，即可判断选项.【详解】，所以“”是“”的充要条件.故选：C【变式1-1】（多选）下列命题正确的是（

）A．若，则B．若，则C．若，则D．【答案】ACD【分析】根据不等式的性质即可逐一求解.【详解】对于A：，则，则，故A正确；对于B：若，取，，则，故B错误；对于C：若，则，故C正确；对于D：，故D正确，故选:ACD.【变式1-2】设，命题，命题，则是的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】由题意通过作差法得出命题的充要条件为，结合充分不必要条件的定义即可得解.【详解】由题意，即命题的充要条件为，所以命题是命题的充分不必要条件.故选：A.【变式1-3】（多选）对于实数，，，下列说法正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，，则 D．若，【答案】ABC【分析】AB选项，可利用不等式性质进行判断；CD选项，利用作差法比较出大小.【详解】A选项，若，则，不等式两边同除以得，A正确；B选项，若，则，故，不等式两边同除以得，B正确；C选项，，因为，，所以，故，所以，C正确；D选项，，因为，所以，，，但的正负不确定，故无法判断的正负，从而无法判断与的大小关系，D错误.故选：ABC.题型02利用不等式的性质求范围【解题思路】同向不等式具有可加性与可乘性，但是不能相减或相除，应用时，要充分利用所给条件进行适当变形来求范围，注意变形的等价性．【例3】（多选）已知，则以下命题正确的是（

）A． B．C． D．【答案】BD【分析】利用不等式的基本性质逐个选项分析排除即可.【详解】对于A：,故A错误.对于B：,故B正确.对于C：,故C错误.对于D;,故D正确.故选：BD.【例4】已知，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由不等式得性质可得，再根据不等式的性质可得，从而得的取值范围.【详解】因为，所以，则有，将不等式的两边同时乘，可得，所以.故选：B．【变式2-1】已知，，则的取值范围是.【答案】【分析】根据题意，设，由相等关系列方程组求出，再利用不等式的性质求解即可.【详解】设，则，所以，解得，于是.又，，所以，即.故答案为：.【变式2-2】已知的三边长分别为，，，且满足，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用三角形三边关系列不等式组，结合不等式性质求的取值范围.【详解】由已知及三角形三边关系得，所以，则，两式相加得，所以.故选：C【变式2-3】若，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】应用不等式性质求目标式范围.【详解】由题设，则，又，所以.故选：C题型03直接法求最值【解题思路】（1）如果积是定值P，那么当且仅当时，有最小值是.(简记：积定和最小)（2）如果和是定值P，那么当且仅当时，有最大值是.(简记：和定积最大)注意：应用不等式需满足“一正二定三相等”【例5】已知正数满足，则的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】结合不等式性质利用基本不等式求最值即可.【详解】因为正数满足，所以，当且仅当即时，等号成立.故选：A【例6】已知，且，则的最小值为．【答案】【分析】利用基本不等式求和的最小值即可.【详解】因为，则，当且仅当时等号成立,所以的最小值为.故答案为：.【变式3-1】已知，则函数的最大值为.【答案】4【分析】根据重要不等式，当且仅当时等号成立，得到，当且仅当时等号成立，代入即可求得函数的最大值.【详解】因为，当且仅当，即时等号成立，所以函数的最大值为4.故答案为：4【变式3-2】已知，则的最大值为．【答案】2【分析】求出的范围，根据基本不等式求解.【详解】由且，即且，可得，则，当且仅当时，即时，等号成立，所以的最大值为2.故答案为：2【变式3-3】若正实数满足，且恒成立，则的最大值为．【答案】1【分析】由恒成立，即，利用基本不等式可得解.【详解】正实数满足，，，又恒成立，，即的最大值为1．故答案为：1.题型04配凑法求最值【解题思路】①添项配凑出“和为定值”或“积为定值”，使用基本不等式；②形如的分式函数，通常将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开即化为，再利用不等式求最值。【例7】已知实数，则的（

）A．最小值为1 B．最大值为1 C．最小值为 D．最大值为【答案】D【分析】由基本不等式得出结果.【详解】因为，当且仅当即时取等号；故最大值为，故选：D.【例8】函数的最小值为．【答案】【分析】将函数化为，利用基本不等式求其最小值，注意取值条件即可.【详解】由，又，所以，当且仅当，即时等号成立，所以原函数的最小值为.故答案为：【变式4-1】当时，的最小值为．【答案】【分析】利用基本不等式求得正确答案.【详解】由于，所以，所以，当且仅当时等号成立.故答案为：【变式4-2】已知函数，则“”是“的最小值大于5”的（

）A．充要条件 B．必要不充分条件C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】由基本不等式求的最小值，再由充分条件和必要条件的定义判断结果.【详解】因为，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为.若，则，即的最小值大于5，反之亦成立．则“”是“的最小值大于5”的充要条件.故选：A【变式4-3】函数的最小值是，则当时，a的值为，当时，a的值为【答案】【分析】利用基本不等式求出的值域，然后分a>0与a<0两种情况讨论用a表示的最小值，令最小值等于即可求出对应a的值.【详解】当时，当时：，当且仅当即时等号；此时.当时，，当且仅当即时等号；此时.综上：若，则，由题，所以.若，则，由题，所以.故答案为：1；−1.题型05“1”的代换(一)【解题思路】出现分式相加模型，可进行以下步骤：①根据已知条件或者利用分母得到“1”的表达式；②把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘，进而构造和的形式，利用基本不等式求解最值．【例9】已知正数满足，则当取得最小值时(

)A． B． C．5 D．【答案】B【分析】利用基本不等式求得正确答案.【详解】，当且仅当时等号成立.故选：B【例10】当时，的最小值为（

）A． B． C．6 D．【答案】B【分析】利用，借助基本不等式计算即可.【详解】因为，所以,,因为，所以，，当且仅当时，即时，取得最小值.故选：B.【变式5-1】已知，，且，则的最小值为（

）A．4 B． C． D．5【答案】C【分析】根据题意整理可得，再利用基本不等式求解即可得.【详解】由于，，且，则，当且仅当，即时，等号成立，故的最小值为.故选：C.【变式5-2】若正数a，b满足，则的最小值为．【答案】6【分析】首先变形，再利用“1”的妙用，结合基本不等式求最值.【详解】，，，当且仅当，即时，等号成立，联立，得，，所以的最小值为.故答案为：6【变式5-3】已知，则的最小值为.【答案】【分析】利用乘“”法和基本不等式求解即可.【详解】因为，所以，则当且仅当，即取等号，故答案为：题型06“1”的代换(二)【解题思路】需将已知条件通结合两个分母构造“1”的表达式【例11】设正实数a，b满足，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由已知可得，根据“1”的代换化简得出.进而根据基本不等式，即可求得答案.【详解】因为，所以，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为．故选：C．【例12】若是正实数，且，则的最小值为.【答案】/0.8【分析】用“”代换和基本不等式求出即可.【详解】因为，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为.故答案为：.【变式6-1】已知，，且，则的最小值为．【答案】/1.8【分析】由，可得，再利用“1”的代换可得最值.【详解】因为，所以，，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为，故答案为：.【变式6-2】已知，且，则的最小值是.【答案】9【分析】变换，展开利用均值不等式计算得到答案.【详解】，所以，，当且仅当，即，即时，等号成立.所以的最小值是9.故答案为：【变式6-3】已知，且，则的最小值为．【答案】/【分析】根据题意，得到，化简得到，结合基本不等式，即可求解.【详解】由，可得，因为，可得，则，当且仅当时，即时，等号成立，所以的最小值为.故答案为：.题型07条件等式有和有积求最值【解题思路】①有和有积无常数可以同除“积”，得到“1”的代换型；②寻找条件和问题之间的关系，通过重新分配，使用基本不等式得到含有问题代数式的不等式，通过解不等式得出范围，从而求得最值【例13】若正数满足，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用基本不等式即可求解.【详解】由题意知为正数，且，所以，化简得，解得，当且仅当时取等号，所以，故A正确.故选：A.【例14】（多选）已知，，，则下列不等式恒成立的是（

）A． B． C． D．【答案】ABD【分析】运用基本不等式及其变形分别判定各个项即可.【详解】对于B项，因为，，，当且仅当时取等号，又，所以，即，当且仅当时取等号，故B项正确；对于A项，由B项知，，当且仅当时取等号，又，当且仅当时取等号，所以，当且仅当时取等号，故A项正确；对于C项，因为，所以，又由，，，所以，当且仅当时取等号，故C项不成立；对于D项，因为，，，当且仅当时取等号，又，所以，当且仅当时取等号，故D项正确.故选：ABD.【变式7-1】（多选）若正实数满足，则（

）A．的最小值为 B．的最大值为C．的最小值为 D．的最大值为【答案】BD【分析】假设，平方后可判断A；直接使用基本不等式即可求得和的最大值，可判断BCD.【详解】若，则，因为为正实数，所以（矛盾），故A错误；因为，所以，得，当且仅当时，等号成立，故B正确；因为，所以，当且仅当时，等号成立，故C错误，D正确.故选：BD【变式7-2】已知，，，则的最小值为.【答案】25【分析】根据基本不等式列不等关系，结合一元二次不等式求解即可得答案.【详解】已知，，又，所以，且因为，所以，整理得，解得或（舍）当且仅当，即时，的最小值为.故答案为：.【变式7-3】已知，，且满足，则的最小值为.【答案】4【分析】根据得到，将化为，根据均值不等式即可求解.【详解】因为，所以，所以，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为.故答案为：.题型08两次基本不等式求最值【解题思路】运用两次基本不等式要注意两次“三相等”不矛盾【例15】且(1)求证.(2)是否存在a，b使得？【答案】(1)见解析；(2)不存在．【分析】（1）把原等式化为，再用基本不等式可得，最后再由基本不等式可得，等号成立的条件都是，从而得证；（2）同样两次应用基本不等式得，但两次应用基本不等式时等号成立的条件与题目条件矛盾，故不存在．【详解】（1）由题，因为，，所以，解得，仅当时取得等号所以，仅当取得等号.（2）仅当取得等号，又仅当取得等号，所以，仅当取得等号，与题目条件矛盾所以不存在a，b使得．【例16】已知x,y都是正实数,求的最值.甲､乙两位同学分别给出了两种不同的解法:甲:,乙:,①你认为甲､乙两人解法正确的是.②请你给出一个类似的利用均值不等式求最值的问题,使甲､乙的解法都正确:.【答案】甲答案不唯一,见解析【解析】①甲正确，乙的解法中两次利用均值不等式时取等号的条件不相同，得到答案.②只需保证乙的解法中两次利用均值不等式时取等号的条件相同即可.【详解】①甲正确,乙的解法中两次利用均值不等式时取等号的条件不相同;②已知x,y都是正实数,求的最小值.甲:,乙:【点睛】本题考查了均值不等式求最值，没有考虑两次均值不等式取等号条件不相同的情况是容易发生的错误.【变式8-1】已知a，b都是正数，求证：.【答案】证明见解析.【分析】利用两次基本不等式，结合不等式的基本性质，即可容易证明.【详解】∵，∵由均值不等式得，.由不等式的性质，得，当且仅当且时，等号成立.即证.【点睛】本题考查利用基本不等式证明不等式，属基础题.【变式8-2】（多选）已知，，，下列命题中错误的是（

）A．的最小值为2B．若，则的最小值为C．若，则的最小值为10D．若，则的最小值为32【答案】AC【分析】利用基本不等式等号成立的条件判断A；变形给定等式，再利用基本不等式求出最小值判断B；变形所求最值的式子，再利用基本不等式求解判断C；两次利用基本不等式求解判断D.【详解】对于A，，当且仅当时取等号，而无解，即上述等号不成立，A错误；对于B，由，得，则，由，得，因此，当且仅当，即时等号，B正确；对于C，由，得，当且仅当时取等号，C错误；对于D，由，得，当且仅当，即时取等号，D正确.故选：AC【点睛】选项D解题关键是两次利用基本不等式，只需检验两次不等式等号成立的条件能否同时成立即可.【变式8-3】已知，满足．（1）求的最小值；（2）证明：．【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】（1）由条件等式转化为关于的二次函数求最值；（2）首先利用基本不等式变形为，再变形利用基本不等式证明.【详解】（1）由题意，，由二次函数知识，知上式在时，取到最小值．（2）证明：由题目条件以及均值不等式可以得到：，当且仅当等号成立．【点睛】关键点点睛：本题第二问用了两次基本不等式，两次基本不等式求最值，注意两次等号成立的条件要相等，才能保证等号成立.题型09消元法求最值【解题思路】消去一个变量，转化为只含有一个变量的函数，然后利用基本不等式求解【例17】已知，，则的最小值为（

）A．2 B．3 C．6 D．【答案】B【分析】根据题意对进行适当变形，利用基本不等式即可求解.【详解】由，即，因为，所以，又得，因为，所以由，所以，当且仅当即时取“=”，所以的最小值为3.故选：B【例18】已知，，且，则的最小值为（

）A．6 B．8 C． D．【答案】B【分析】由，得到，则，再利用基本不等式求解.【详解】因为所以所以，当且仅当，即取等号所以的最小值为8故选：B【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.【变式9-1】已知正数x，y满足，则的最小值为.【答案】12【分析】根据指数方程，得出的关系式，运用消元法将所求式化成关于的关系式，再利用基本不等式求解.【详解】由，可得，即，代入中，可得当且仅当时，取等号，所以的最小值为12.故答案为：12.【变式9-2】已知实数a，b满足，则的最大值为．【答案】2【分析】先消元，再用基本不等式即可求出最大值.【详解】由得，则，当且仅当时，此时，，或者，时等号成立，所以的最大值为2．故答案为：2.【变式9-3】已知，，且，则的最小值为.【答案】/【分析】利用等式条件，变形，再利用基本不等式求最小值.【详解】由，可得，因为，可得，，当时，即时，等号成立.所以的最小值为.故答案为：题型10基本不等式的恒成立问题【解题思路】恒成立问题常用分离参数法的方法：将转化为或恒成立，进而转化为或，求的最值即可.【例19】已知正数、满足，不等式恒成立．则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由不等式恒成立，故只需，由基本不等式的乘“1”法，结合已知求出的最小值即可.【详解】因为，所以，即，所以由基本不等式可得，等号成立当且仅当即，综上所述，的最小值为；因为不等式恒成立，所以实数的取值范围是.故选：C.【点睛】关键点睛：关键是对已知条件等式变形，利用基本不等式的乘“1”法，求出的最小值，从而即可顺利得解.【例20】已知不等式对满足的所有正实数都成立，则正实数的最小值为（

）A． B．1 C． D．2【答案】B【分析】先利用基本不等式证得（此公式也可背诵下来），从而由题设条件证得，结合题意得到，利用二次不等式的解法解之即可得到正数的最小值.【详解】因为，当且仅当时，等号成立，所以，因为，为正实数且，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以，即，因为对满足的所有正实数，都成立，所以，即，整理得，解得或，由为正数得，所以正数的最小值为.故选：B.【变式10-1】（多选）已知，且不等式恒成立，则的值可以是（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】AB【分析】令，，（当且仅当时取等号），（当且仅当时取等号），所以，再利用基本不等式计算出的最小值，即可求出的取值范围，即可得解.【详解】令，，因为，，所以，，则（当且仅当时取等号），（当且仅当时取等号），则，当且仅当时取等号，即时取等号，因为不等式恒成立，所以，则.故选：AB【变式10-2】两个正实数满足，若不等式恒成立，则实数的取值范围是.【答案】【分析】将问题化为，利用基本不等式“1”的代换求左侧最小值，然后解一元二次不等式求参数范围.【详解】由不等式恒成立，只需，又，则，当且仅当时等号成立，故，所以，故实数的取值范围是.故答案为：【变式10-3】已知，都是正数，且．(1)求的最小值及此时x，y的取值；(2)不等式恒成立，求实数m的取值范围．【答案】(1)时，的最小值为9(2)【分析】（1）利用乘“1”法及基本不等式计算可得；（2）依题意可得，参变分离可得恒成立，利用基本不等式求出的最小值，即可得解.【详解】（1）因为，都是正数，且，所以，当且仅当，即时取等号，此时的最小值为．（2）由，得，故，又，当且仅当，即，时等号成立，取得最小值，故的取值范围为．题型11基本不等式的实际问题【解题思路】利用基本不等式求解实际应用题的三个注意点：（1）设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数．（2）根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值．（3）在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解．【例21】某合作社需要分装一批蔬菜.已知这批蔬菜只由一名男社员分装时，需要12天完成，只由一名女社员分装时，需要18天完成.为了让市民尽快吃到这批蔬菜，要求一天内分装完毕.由于现有的男､女社员人数都不足以单独完成任务，所以需要若干名男社员和若干名女社员共同分装.已知分装这种蔬菜时会不可避免地造成一些损耗.根据以往经验，这批蔬菜分装完毕后，参与任务的所有男社员会损耗蔬菜共80千克，参与任务的所有女社员会损耗蔬菜共30千克.则参与分装蔬菜的男社员的平均损耗蔬菜量（千克）与女社员的平均损耗蔬菜量（千克）之和的最小值为（

）A．10 B．15 C．30 D．45【答案】B【分析】根据题意，得到，平均损耗蔬菜量之和为，结合基本不等式，即可求解.【详解】设安排男社员名，女社员名，根据题意，可得，平均损耗蔬菜量之和为，则，当且仅当，即时等号成立，则分装蔬菜的男社员的平均损耗蔬菜量（千克）与女社员的平均损耗蔬菜量（千克）之和的最小值为15.故选：B.【例22】古希腊数学家希波克拉底曾研究过如图的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形的斜边，直角边．若以斜边为直径的半圆弧长为，则周长的最大值为．【答案】【分析】设，，，根据已知结合半圆的面积公式得出，即可根据勾股定理得出，即可根据基本不等式得出答案.【详解】设，，，以斜边为直径的半圆弧长为，则，即，为直角三角形，，即，则，即，当且仅当时，等号成立，则，即周长的最大值为.故答案为：.【变式11-1】石室中学“跳蚤市场”活动即将开启，学生们在该活动中的商品所卖款项将用来支持慈善事业．为了在这次活动中最大限度地筹集资金，某班进行了前期调查．若商品进货价每件10元，当售卖价格（每件x元）在时，本次活动售出的件数，若想在本次活动中筹集的资金最多，则售卖价格每件应定为元．【答案】15【分析】结合已知条件，求出利润的解析式，然后结合换元法和基本不等式即可求解.【详解】由题意可知，利润，，不妨令，则利润，当且仅当时，即时，即时，不等式取等号，故销售价格每件应定为15元.故答案为：15.【变式11-2】某单位建造一间地面面积为12平方米的背面靠墙的矩形小房，由于地理位置的限制，房子侧面的长度x不得超过5米，房屋正面的造价为400元/平方米，房屋侧面的造价为150元/平方米，屋顶和地面的造价费用合计为5800元，如果墙高为3米，且不计房屋背面的费用，当侧面的长度为多少时，总造价最低？最低总造价是多少元？【答案】当侧面的长度为4米时，总造价最低．最低总造价是13000元【分析】根据题意得到函数表达式，利用基本不等式求出最小值即可.【详解】由题可知因为，当且仅当，即时取等号，所以在时取最小值，于是当侧面的长度为米时，总造价最低．最低总造价是元．【变式11-3】如图所示，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其它各面用钢筋网围成．

(1)现有可围长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？(2)若使每间虎笼面积为，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？【答案】(1)长为，宽为(2)长为，宽为【分析】（1）先求得每间虎笼面积的表达式，然后利用基本不等式求得最大值.（2）先求得钢筋网总长的表达式，然后利用基本不等式求得最小值.【详解】（1）设长为，宽为，则，所以，当且仅当时等号成立，即长为，宽为时，可使每间虎笼面积最大.（2）设长为，宽为，则，所以，当且仅当时等号成立，即长为，宽为时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小.课后作业一、单选题1．为提高生产效率，某公司引进新的生产线投入生产，投入生产后，除去成本，每条生产线生产的产品可获得的利润（单位：万元）与生产线运转时间（单位：年）满足二次函数关系：，现在要使年平均利润最大，则每条生产线运行的时间t为（

）年．A．7 B．8 C．9 D．10【答案】A【分析】表示出平均利润，然后利用基本不等式求最值以及最值的成立条件.【详解】平均利润为，当且仅当，即时取最大值.故选：A.2．已知.且，则下列结论正确的是（

）①；②的最小值为；③的最小值为；④的最小值为.A．①②④ B．①②③ C．①② D．②③④【答案】A【分析】由可得，判断①，利用基本不等式中消元、配凑、“”的代换的方法即可判断②③④.【详解】由可得，所以，①正确；，当且仅当即时，等号成立，②正确；，当且仅当即时，等号成立，③错误；由可得，所以，当且仅当，即时，等号成立，④正确.故选：A3．已知，且满足：，，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题意，得到，设，得到，结合不等式的性质，即可求解.【详解】由，可得，设，即，可得，解得，即，因为，，可得，，两式相加，可得，即，所以的取值范围为.故选：B.4．已知，，则的一个充分不必要条件是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】对A选项：借助基本不等式可验证充分性，再取特殊值否定必要性即可得；对B选项：借助特殊值否定充分性即可得；对C选项：借助特殊值否定充分性即可得；对D选项：变形处理后会得出选项为充要条件.【详解】对A选项：若，则，当且仅当时等号成立，当、时，，但，故，时，为的充分不必要条件，故A正确；对B选项：取，，有，故不是的一个充分条件，故B错误；对C选项：取，有，故不是的一个充分条件，故C错误；对D选项：由，即，即，故是的充要条件，故D错误.故选：A.5．已知，则的值不可能是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由题意将不等式化为，再由基本不等式可得，由绝对值的定义去绝对值即可得出答案.【详解】因为，则，则，当且仅当时，等号成立.当时，；当时，，所以的值可能是.故选：A.6．已知，，，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由条件变形可得，结合1的妙用即可求解.【详解】因为，，所以由变形可得，所以，当且仅当，即，时等号成立，所以的最小值为，故选：D二、多选题7．下列命题叙述正确的是（

）A．，且，当时，B．，且，当时，C．，且，当时，D．，且，当时，【答案】AD【分析】利用作差法及特值法判断.【详解】对于A，∵，且，，∴，∴，即，故A正确；对于B，∵，且，，∴，∴，即，故B错误；对于C，∵，且，，取，∴，此时，故C错误；对于D，当时，取，，满足，故D正确.故选：AD.8．若实数，满足，以下选项中正确的有（

）A．的最大值为 B．的最小值为C．的最小值为15 D．的最小值为【答案】AD【分析】利用基本不等式解决含有条件的最值问题，求解和为定值或乘积为定值.【详解】对于选项A:因为实数，满足，所以，即，当且仅当时，即时，取得最大值，故A正确；对于选项B:因为实数，满足，所以，当且仅当时，即时，取得最小值，故B错误；对于选项C:因为实数，满足，所以，当且仅当时，即时，又，所以，故C错误；对于选项D:因为实数，满足，所以，则，当且仅当时，即时，取得最小值为，故D正确；故选：AD.9．已知，，且，若对任意的，恒成立，则实数的可能取值为（

）