高一数学寒假讲义第二讲 不等式性质与均值不等式（学生版）

第二讲不等式性质与均值不等式【知识梳理】一、不等式的性质1.不等式的基本性质性质性质内容特别提醒对称性双向性传递性单向性可加性双向性同向可加性单向性可乘性单向性，注意的符号同向同正可乘性单向性可乘方性单向性可开方性单向性2.倒数以及分数的有关性质倒数的性质....分数的性质（）；；二、基本不等式：（一正二定三相等）（1）基本不等式成立的条件：.（2）等号成立的条件，当且仅当时取等号．利用基本不等式求最值问题：（1）如果积xy是定值P，那么当且仅当时，x＋y有最小值是.(简记：积定和最小)（2）如果和x＋y是定值P，那么当且仅当时，xy有最大值是.(简记：和定积最大)题型01判断及证明不等式【解题思路】①直接法：对于说法正确的，要利用不等式的相关性质证明；对于说法错误的只需举出一个反例即可；②特殊值法：注意取值一定要遵循三个原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算；三是所取的值要有代表性．【例1】设，则下列不等式中正确的是（

）A． B． C． D．【例2】“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【变式1-1】（多选）下列命题正确的是（

）A．若，则B．若，则C．若，则D．【变式1-2】设，命题，命题，则是的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【变式1-3】（多选）对于实数，，，下列说法正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，，则 D．若，题型02利用不等式的性质求范围【解题思路】同向不等式具有可加性与可乘性，但是不能相减或相除，应用时，要充分利用所给条件进行适当变形来求范围，注意变形的等价性．【例3】（多选）已知，则以下命题正确的是（

）A． B．C． D．【例4】已知，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【变式2-1】已知，，则的取值范围是.【变式2-2】已知的三边长分别为，，，且满足，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【变式2-3】若，则的取值范围是（

）A． B． C． D．题型03直接法求最值【解题思路】（1）如果积是定值P，那么当且仅当时，有最小值是.(简记：积定和最小)（2）如果和是定值P，那么当且仅当时，有最大值是.(简记：和定积最大)注意：应用不等式需满足“一正二定三相等”【例5】已知正数满足，则的最大值是（

）A． B． C． D．【例6】已知，且，则的最小值为．【变式3-1】已知，则函数的最大值为.【变式3-2】已知，则的最大值为．【变式3-3】若正实数满足，且恒成立，则的最大值为．题型04配凑法求最值【解题思路】①添项配凑出“和为定值”或“积为定值”，使用基本不等式；②形如的分式函数，通常将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开即化为，再利用不等式求最值。【例7】已知实数，则的（

）A．最小值为1 B．最大值为1 C．最小值为 D．最大值为【例8】函数的最小值为．【变式4-1】当时，的最小值为．【变式4-2】已知函数，则“”是“的最小值大于5”的（

）A．充要条件 B．必要不充分条件C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件【变式4-3】函数的最小值是，则当时，a的值为，当时，a的值为题型05“1”的代换(一)【解题思路】出现分式相加模型，可进行以下步骤：①根据已知条件或者利用分母得到“1”的表达式；②把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘，进而构造和的形式，利用基本不等式求解最值．【例9】已知正数满足，则当取得最小值时(

)A． B． C．5 D．【例10】当时，的最小值为（

）A． B． C．6 D．【变式5-1】已知，，且，则的最小值为（

）A．4 B． C． D．5【变式5-2】若正数a，b满足，则的最小值为．【变式5-3】已知，则的最小值为.题型06“1”的代换(二)【解题思路】需将已知条件通结合两个分母构造“1”的表达式【例11】设正实数a，b满足，则的最小值为（

）A． B． C． D．【例12】若是正实数，且，则的最小值为.【变式6-1】已知，，且，则的最小值为．【变式6-2】已知，且，则的最小值是.【变式6-3】已知，且，则的最小值为．题型07条件等式有和有积求最值【解题思路】①有和有积无常数可以同除“积”，得到“1”的代换型；②寻找条件和问题之间的关系，通过重新分配，使用基本不等式得到含有问题代数式的不等式，通过解不等式得出范围，从而求得最值【例13】若正数满足，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【例14】（多选）已知，，，则下列不等式恒成立的是（

）A． B． C． D．【变式7-1】（多选）若正实数满足，则（

）A．的最小值为 B．的最大值为C．的最小值为 D．的最大值为【变式7-2】已知，，，则的最小值为.【变式7-3】已知，，且满足，则的最小值为.题型08两次基本不等式求最值【解题思路】运用两次基本不等式要注意两次“三相等”不矛盾【例15】且(1)求证.(2)是否存在a，b使得？【例16】已知x,y都是正实数,求的最值.甲､乙两位同学分别给出了两种不同的解法:甲:,乙:,①你认为甲､乙两人解法正确的是.②请你给出一个类似的利用均值不等式求最值的问题,使甲､乙的解法都正确:.【变式8-1】已知a，b都是正数，求证：.【变式8-2】（多选）已知，，，下列命题中错误的是（

）A．的最小值为2B．若，则的最小值为C．若，则的最小值为10D．若，则的最小值为32【变式8-3】已知，满足．（1）求的最小值；（2）证明：．题型09消元法求最值【解题思路】消去一个变量，转化为只含有一个变量的函数，然后利用基本不等式求解【例17】已知，，则的最小值为（

）A．2 B．3 C．6 D．【例18】已知，，且，则的最小值为（

）A．6 B．8 C． D．【变式9-1】已知正数x，y满足，则的最小值为.【变式9-2】已知实数a，b满足，则的最大值为．【变式9-3】已知，，且，则的最小值为.题型10基本不等式的恒成立问题【解题思路】恒成立问题常用分离参数法的方法：将转化为或恒成立，进而转化为或，求的最值即可.【例19】已知正数、满足，不等式恒成立．则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【例20】已知不等式对满足的所有正实数都成立，则正实数的最小值为（

）A． B．1 C． D．2【变式10-1】（多选）已知，且不等式恒成立，则的值可以是（

）A．2 B．3 C．4 D．5【变式10-2】两个正实数满足，若不等式恒成立，则实数的取值范围是.【变式10-3】已知，都是正数，且．(1)求的最小值及此时x，y的取值；(2)不等式恒成立，求实数m的取值范围．题型11基本不等式的实际问题【解题思路】利用基本不等式求解实际应用题的三个注意点：（1）设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数．（2）根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值．（3）在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解．【例21】某合作社需要分装一批蔬菜.已知这批蔬菜只由一名男社员分装时，需要12天完成，只由一名女社员分装时，需要18天完成.为了让市民尽快吃到这批蔬菜，要求一天内分装完毕.由于现有的男､女社员人数都不足以单独完成任务，所以需要若干名男社员和若干名女社员共同分装.已知分装这种蔬菜时会不可避免地造成一些损耗.根据以往经验，这批蔬菜分装完毕后，参与任务的所有男社员会损耗蔬菜共80千克，参与任务的所有女社员会损耗蔬菜共30千克.则参与分装蔬菜的男社员的平均损耗蔬菜量（千克）与女社员的平均损耗蔬菜量（千克）之和的最小值为（

）A．10 B．15 C．30 D．45【例22】古希腊数学家希波克拉底曾研究过如图的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形的斜边，直角边．若以斜边为直径的半圆弧长为，则周长的最大值为．【变式11-1】石室中学“跳蚤市场”活动即将开启，学生们在该活动中的商品所卖款项将用来支持慈善事业．为了在这次活动中最大限度地筹集资金，某班进行了前期调查．若商品进货价每件10元，当售卖价格（每件x元）在时，本次活动售出的件数，若想在本次活动中筹集的资金最多，则售卖价格每件应定为元．【变式11-2】某单位建造一间地面面积为12平方米的背面靠墙的矩形小房，由于地理位置的限制，房子侧面的长度x不得超过5米，房屋正面的造价为400元/平方米，房屋侧面的造价为150元/平方米，屋顶和地面的造价费用合计为5800元，如果墙高为3米，且不计房屋背面的费用，当侧面的长度为多少时，总造价最低？最低总造价是多少元？【变式11-3】如图所示，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其它各面用钢筋网围成．

(1)现有可围长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？(2)若使每间虎笼面积为，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？课后作业一、单选题1．为提高生产效率，某公司引进新的生产线投入生产，投入生产后，除去成本，每条生产线生产的产品可获得的利润（单位：万元）与生产线运转时间（单位：年）满足二次函数关系：，现在要使年平均利润最大，则每条生产线运行的时间t为（

）年．A．7 B．8 C．9 D．102．已知.且，则下列结论正确的是（

）①；②的最小值为；③的最小值为；④的最小值为.A．①②④ B．①②③ C．①② D．②③④3．已知，且满足：，，则的取值范围是（

）A． B． C． D．4．已知，，则的一个充分不必要条件是（

）A． B．C． D．5．已知，则的值不可能是（

）A． B． C． D．6．已知，，，则的最小值为（

）A． B． C． D．二、多选题7．下列命题叙述正确的是（

）A．，且，当时，B．，且，当时，C．，且，当时，D．，且，当时，8．若实数，满足，以下选项中正确的有（

）A．的最大值为 B．的最小值为C．的最小值为15 D．的最小值为9．已知，，且，若对任意的，恒成立，则实数的可能取值为（

）A． B． C．3 D．1三、填空题10．若任意，不等式恒成立，则实数的范围为.11．已知x、y为正实数，且满足，则的最小值为12．已知，且，则当取得最小值时，．四、解答题13．已知．(1)求的最小值；(2)已知，证明：．14．