高一数学寒假讲义第十八讲 正弦定理（学生版）

第十八讲正弦定理【知识梳理】一、正弦定理1.正弦定理的语言（1）文字语言:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等（2）符号语言:在中,2.正弦定理的推论及变形公式（1）正弦定理的推论：设R是外接圆的半径,则;（2）正弦定理的变形①;②;③.知识点3三角形的面积公式（1）分别表示边上的高）（2）；（3）是内切圆的半径).二、判断三角形的解的个数已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角，此时可能出现一解、两解或无解的情况，三角形不能被唯一确定．具体做法如下：A为锐角A为钝角或直角图形关系式解的个数一解两解一解一解无解题型01已知两角及一边解三角形【方法点拨】解题思路：①若所给边是已知角的对边时,可由正弦定理求另一角所对的边,再由三角形内角和定理求出第三个角；②若所给边不是已知角的对边时,先由三角形内角和定理求出第三个角,再由正弦定理求另外两边.【例1】在中，若，则（

）A． B． C． D．【例2】在中，已知，解这个三角形.【变式1-1】在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则（

）A．8 B．5 C．4 D．3【变式1-2】在中，已知，，，则；；．【变式1-3】在中，若，，，则．题型02已知两边及其中一边的对角解三角形【方法点拨】解题思路：①首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值；②如果已知的角为大边所对的角时,由三角形中大边对大角,大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角,由正弦值可求锐角唯一；③如果已知的角为小边所对的角时,则不能判断另一边所对的角为锐角,这时由正弦值可求两个角,要分类讨论.【例3】在中，角，，所对的边分别为，，．，，则（）A． B． C． D．【例4】在中，，则（

）A． B． C． D．【变式2-1】在中，角所对的边分别为，已知，，．(1)求的值；(2)求的值；(3)求的值．【变式2-2】在中，已知，，.求、及.【变式2-3】在中，角所对的边分别为，已知.(1)求；(2)求.题型03利用正弦定理判定解的个数【方法点拨】已知和,用正弦定理求时的情况：（1）当为锐角时，①若，三角形无解；②若，三角形一解；③若，三角形两解；④若，三角形一解;（2）当为锐角时，①若，三角形无解；②若，三角形一解【例5】在中，，，，满足条件的（

）A．有无数多个 B．有两个 C．有一个 D．不存在【例6】在中，已知，，若有唯一值，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．【变式3-1】下列条件判断三角形解的情况，正确的是（填序号）；①，，，有两解；②，，，有一解；③，，，无解；④，，，有一解．【变式3-2】在中，已知角的对边分别为，且，若有两解，则的取值范围是．【变式3-3】设的角，，所对的边分别为，，，且，，当有两个解时，的取值范围是.题型04判断三角形的形状【方法点拨】判断三角形形状时,应围绕三角形的边角关系,利用正弦或余弦定理进行边角互化,要么把角转化为边,通过代数变形找出边之间的关系,要么把边转化为角,通过三角变换找出角之间的关系,当然也可以边角同时考虑.【例7】在中，角所对的边分别为，已知，，则的形状为（

）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等边三角形 D．等腰直角三角形【例8】在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且，则的形状为（

）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形【变式4-1】在中，已知，判断的形状.【变式4-2】在中，若，则的形状是（）A．等边三角形 B．直角三角形C．等腰三角形 D．等腰直角三角形【变式4-3】设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若则的形状为（

）A．等腰三角形 B．等腰三角形或直角三角形C．直角三角形 D．锐角三角形题型05与三角形面积有关的计算【方法点拨】一般用公式进行求解,可分为以下两种情况:（1）若所求面积为多边形的面积,可通过作辅助线或其他途径构造三角形,转化为求三角形的面积.（2）若所给条件为边角关系,则需要运用正、余弦定理求出某两边及夹角,再利用三角形面积公式进行求解.【例9】在中，若，则的面积为（

）A． B． C．或 D．【例10】在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.(1)求角B的大小；(2)若的面积为6，，求b的长.【变式5-1】在中，内角、、的对边分别为、、，的面积为，，，则.【变式5-2】《九章算术》是中国古代的数学名著，其中《方田》一章给出了弧田面积的计算方法．弧田是由圆弧和其对弦围成的图形，如图中阴影部分所示．若弧田所在圆的半径为，为圆心，弦的长是3，则弧田的面积是（

）

A． B． C． D．【变式5-3】的周长为20，面积为，，则边的长是题型06正弦定理边角互化的其他应用【方法点拨】出现关于边的齐次式(方程),或关于角的正弦的齐次式(方程),可通过正弦定理,进行边角互化.【例11】在锐角中，A，B，C的对边分别为a，b，c，且.(1)求角C的大小；(2)若，且，求周长.【例12】记的内角的对边分别为，已知.(1)求：(2)若，求面积.【变式6-1】的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，满足．(1)求角C；(2)若，求c的值．【变式6-2】设的内角的对边分别为，且．(1)求的大小；(2)若，且的周长为，求的面积．【变式6-3】在中，角，，所对的边分别为，，，若，且的外接圆的半径为，则面积的最大值为（

）A． B． C． D．【课后练习】一、单选题1．中，，，，则角C的大小为（

）A． B．C． D．或2．中，“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则的外接圆的面积为（）A． B． C． D．4．记的内角所对的边分别为，则边上的高为（

）A． B． C． D．5．根据下列情况，判断三角形解的情况，其中正确的是（

）A．，，，有两解B．，，，有一解C．，，，有一解D．，，，无解6．在中，时，角A的取值范围是（

）A． B． C． D．二、多选题7．下列说法正确的有（

）A．中，是的充要条件B．在中，若，则一定为等腰三角形C．在中，若，则D．在中，8．在中，若，，，则的面积可能为（

）.A． B． C． D．9．在中，由以下各条件分别能得出为等边三角形的有（

）A．已知且 B．已知且C．已知且 D．已知且三、填空题10．在中，若，则.11．的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，则下列命题正确的序号是．①．若，则②．若，则是锐角三角形③．若，则是直角三角形④．若，则为等腰三角形⑤．若锐角中，则恒成立12．的内角A、B、C的对边分别为