高一数学寒假讲义第十讲 三角恒等变换（解析版）

第十讲三角恒等变换【知识梳理】一、两角和与差的正弦、余弦、正切公式（1）；（2）（3）；（4）（5）（6）二、二倍角公式（1）（2）（3）三、公式的常用变形（1）；（2）降幂公式：；；（3）升幂公式：；；；（4）辅助角公式：，其中，题型01两角和与差的正（余）弦公式的简单应用【解题思路】对非特殊角的三角函数式求值问题，一定要本着先整体后局部的基本原则，如果整体符合三角公式的形式，则整体变形，否则进行各局部的变形．一般途径有将非特殊角化为特殊角的和或差的形式，或化为正负相消的项并消项求值，将分子、分母形式进行约分求值．要善于逆用或变用公式【例1】求下列各式的值：(1)；(2)．【答案】(1)；(2).【分析】（1），由两角和的余弦公式即可求解；（2）由诱导公式可得，，由两角差的余弦公式即可求解.【详解】（1）.（2）.【例2】已知，均为锐角，且，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先求出，，再由两角和的余弦公式计算可得.【详解】因为，均为锐角，且，，所以，，所以.故选：C【变式1-1】已知，，则.【答案】/【分析】借助三角函数基本关系与两角和的正弦公式计算即可得.【详解】由，，则，则.故答案为：.【变式1-2】已知，，则（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用，结合两角和的余弦公式求值.【详解】因为，所以，又，所以为锐角，且.∴.故选：C【变式1-3】求下列各式的值：(1)；(2)；(3).【答案】(1)(2)(3)【分析】根据题意，逆用余弦的和差角公式，结合诱导公式即可得解.【详解】（1）原式.（2）原式.（3）原式.题型02两角和与差的正切公式的简单应用【解题思路】利用公式的正用求角步骤：①计算待求角的正切值；②缩小待求角的范围，特别注意隐含的信息；③根据角的范围及三角函数值确定角公式的逆用：当所要化简(求值)的式子中出现特殊的数值“1”、“”时,要考虑用这些特殊值所对应的特殊角的正切值去代换,如“,这样可以构造出公式的形式,从而可以进行化简和求值.【例3】（

）A． B． C．1 D．2【答案】B【分析】利用正切诱导公式以及两角差正切公式化简即可.【详解】因为.故选：B.【例4】已知角的始边为轴非负半轴，终边经过点，将角的终边顺时针旋转后得到角，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由三角函数的定义可得，依题意得，结合两角差的正切公式运算求值.【详解】因角的终边经过点，由三角函数的定义可得，又依题意得，所以，故选：B.【变式2-1】的值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据正切和差角公式即可求解.【详解】,故选：C【变式2-2】已知，其中，，则，.【答案】/【分析】利用两角和的正切公式可求得的值，再利用两角差的正切公式可求得的值.【详解】因为，所以，，因为，，所以，所以，故答案为：，【变式2-3】已知，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用诱导公式及商数关系求出，再利用两角和的正切公式计算可得.【详解】因为，所以，则，所以.故选：B题型03二倍角公式的简单应用【解题思路】①弦切互化，异名化同名，异角化同角；②降幂或升幂．③重要结论：.【例5】已知，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用诱导公式和二倍角的余弦公式直接求解.【详解】．故选：B【例6】求下列各式的值:(1)(2)(3)(4)【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】利用三角函数的倍角公式即可得解.【详解】（1）.（2）.（3）.（4）.【变式3-1】已知，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据同角关系，结合二倍角公式即可求解.【详解】由题意得又．故选：D．【变式3-2】已知，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据诱导公式及二倍角余弦公式求解.【详解】，故选：C【变式3-3】已知，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用诱导公式和同角三角函数的商数关系求得，再由二倍角的正切公式求解.【详解】因为,,所以，所以，则.故选：.题型04给值求值问题【解题思路】给值求值问题的解题策略：已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值时，要注意观察已知角与所求表达式中角的关系，即拆角与凑角【例7】已知，，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由题意和同角三角函数的关系以及正弦的二倍角公式可得，结合计算即可求解.【详解】由，得，又，所以，所以，所以.故选：D【例8】已知，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】运用同角三角函数的关系和二倍角公式运算即可得.【详解】，，，，解得.故选：D．【变式4-1】已知，，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由，倍角公式求出，再由，可求.【详解】已知，则，则，又，则，即，又，，则．故选：C．【变式4-2】在平面直角坐标系中，角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，点为角终边上一点.若，且，则.【答案】【分析】利用三角函数定义求出，利用同角关系求出，再利用三角恒等变换求出结果.【详解】因为点为角终边上一点，所以.又因为，，所以.因为，所以.因为，所以，所以，所以.故答案为：【变式4-3】已知，，则．【答案】【分析】利用换元法与三角函数的基本关系式，结合诱导公式与倍角公式即可得解.【详解】因为，令，则，，又，所以，则，所以，故，.故答案为：.题型05给值求角问题【解题思路】解给值求角问题的一般步骤：①求角的某一个三角函数值；②确定角的范围；③根据角的范围写出所求的角．【例9】设，且，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用三角恒等变换可得答案.【详解】因为，所以．因为，所以，所以，则．故选：B.【例10】已知，角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，且.求(1)；(2).【答案】(1)(2)【分析】（1）根据题意利用三角函数定义即可求得，再由诱导公式代入计算即可得出结果；（2）利用（1）中的三角函数值以及角的范围可求出，即可得.【详解】（1）由，可得，根据三角函数定义可知，所以，即；（2）由且可知，又，可得；所以，可得.【变式5-1】设，，且，则.【答案】【分析】根据三角恒等变化化简可得，再结合，，解方程即可得的值.【详解】因为，所以，即又，，所以，则可得，则故.故答案为：.【变式5-2】若，，，，则.【答案】【分析】结合角度范围及三角函数值，可求出，的角度值，进而可求【详解】由，，则，，所以或，，，则，当时，，则，当时，，则，又，.故.故答案为：【变式5-3】已知，且.(1)求和的值；(2)若，且，求的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据及得到，根据半角公式求出，结合同角三角函数关系得到；（2）先求出，从而求出，利用凑角法求出的值，得到答案.【详解】（1）因为，所以.又，所以，故.因为，所以，则.（2）由已知条件，得.又，所以.由，得.所以.因为，，所以，所以.题型06积化和差与和差化积【解题思路】积化和差公式：，，和差化积公式：，$，【例11】的值为（

）A． B． C． D．前三个答案都不对【答案】B【分析】利用和差化积和二倍角的正弦公式可求代数式的值.【详解】根据题意，．故选：B.【例12】（

）A．0 B．C． D．【答案】C【分析】利用两角和差的余弦公式和诱导公式化简即可.【详解】,故选：C【变式6-1】若，则等于（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用积化和差公式结合诱导公式即可得到答案.【详解】因为，所以.故选：C.【变式6-2】（1）；（2）．【答案】/0.5/【分析】（1）由和差化积公式求解；（2）由和差化积和积化和差公式求解.【详解】（1）由和差化积公式可得，；（2）由和差化积和积化和差公式可得，．故答案为：,【变式6-3】．【答案】【分析】利用和差化积公式即可求解．【详解】由．故答案为：．题型07辅助角公式的简单应用【解题思路】辅助角公式：，其中，【例13】已知，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由正弦差角公式和辅助角公式得到，再整体法利用诱导公式和二倍角公式求出答案.【详解】由题可得，，所以..故选：A.【例14】已知函数在上有两个零点，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先利用辅助角公式化一，再令求出，进而可得出答案.【详解】因为在上有两个零点，所以，，所以或，所以或，又，故，，故，故.故选：B．【变式7-1】“是第二象限角”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件【答案】A【分析】由辅助角公式和正弦函数的性质，分别判断充分性和必要性即可.【详解】，若是第二象限角，即，有，则有，所以，即，故充分性成立；当时，，满足，但是第四象限角，故必要性不成立，所以“是第二象限角”是“”的充分不必要条件．故选：A【变式7-2】若，则的取值可以为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据两角和的余弦公式，结合辅助角公式进行求解即可.【详解】由，得，即，所以，即，当时，.故选：C.【变式7-3】已知．(1)求的值；(2)求的最小正周期及单调增区间．【答案】(1)；(2)最小正周期为，单调递增区间为.【分析】（1）利用辅助角公式化简函数式，再代入求值即得.（2）利用正弦函数的性质求出周期，列出不等式求出单调增区间.【详解】（1）依题意，，所以.（2）由（1）知，函数的最小正周期；由，得，所以函数的单调递增区间为.题型08三角恒等变换的化简问题【解题思路】化简问题中的“3变”：①变角：三角变换时通常先寻找式子中各角之间的联系，通过拆、凑等手段消除角之间的差异，合理选择联系它们的公式；②变名：观察三角函数种类的差异，尽量统一函数的名称，如统一为弦或统一为切；③变式：观察式子的结构形式的差异，选择适当的变形途径．如升幂、降幂、配方、开方等．【例15】（多选）已知函数，则下列结论正确的是（

）A．的最小正周期为B．C．是图象的一条对称轴D．将的图象向左平移个单位后，得到的图象关于原点对称【答案】BCD【分析】利用三角恒等变换得，然后根据三角函数的性质逐一判断即可.【详解】由，故B正确；，故A错误；又，由正弦函数的性质可知，是图像的一条对称轴，故C正确；将的图像向左平移个单位，得，是奇函数图像关于原点对称，故D正确.故选：BCD.【例16】已知函数，则函数在区间上的值域是.【答案】【分析】利用三角恒等变换得到，利用求出，从而求出值域.【详解】，当时，，，故.故答案为：【变式8-1】已知，且，求的值．【答案】【分析】利用三角函数的基本关系式求得，进而求得，再利用三角恒等变换化简所求式子即可得解.【详解】，，，.【变式8-2】设函数．(1)求的值；(2)求在区间上的最大值和最小值．【答案】(1)0(2)最大值，最小值．【分析】（1）代入，直接求解即可；（2）根据三角恒等变形把函数化的形式，再用三角函数的性质即可.【详解】（1）；（2）因为，因为，所以，因此当时，取最大值；当时，取最小值．【变式8-3】设．(1)求的值及的单调递增区间；(2)若，，求的值．【答案】(1)，(2)【分析】（1）利用三角恒等变换公式化简，再根据正弦函数的性质计算可得；（2）依题意求出，从而求出，利用差角公式求出、，最后利用两角和的正弦公式计算可得.【详解】（1）由函数，则，令，解得，所以函数的单调递增区间为.（2）由，则，因为，可得，即，所以，又由，，则.题型09利用三角恒等变换判断三角形的形状【解题思路】①三角之和为；②若没有特殊要求，则角的范围：【例17】在中，若，则是（

）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上都有可能【答案】C【分析】根据和差角公式以及诱导公式可得，即可判断为钝角.【详解】由题意，得．即所以．又，故为钝角三角形．故选：C【例18】中若有，则的形状一定是（

）A．等腰三角形 B．直角三角形C．锐角三角形 D．等腰直角三角形【答案】B【分析】利用三角函数恒等变换公式对原式化简变形可得结论【详解】由，得，所以，所以，所以，所以，因为，所以，所以，因为，所以，所以为直角三角形，故选：B【变式9-1】已知角，，为的内角，若，则的形状为（

）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰或直角三角形【答案】B【分析】利用诱导公式及二倍角公式求出，即可判断.【详解】在中，，则，所以，又，，，，则，为直角三角形.故选：B【变式9-2】在△ABC中，若，则△ABC是（

）A．等边三角形 B．等腰直角三角形C．等腰三角形 D．直角三角形【答案】C【分析】根据两角和与差的余弦公式可得，再结合诱导公式化简计算得出结果．【详解】因为所以，因为则又，所以,所以所以.又为△ABC的内角，所以.所以，故△ABC为等腰三角形.故选：C.【变式9-3】在△ABC中，若，则△ABC是（

）A．等腰三角形 B．等边三角形C．直角三角形 D．等腰直角三角形【答案】A【分析】根据已知，诱导公式与和、差角的余弦公式化简得到，从而得到，进而即可得出结论．【详解】在△ABC中，由，得，则，所以，即，则，又，，则，所以，即，所以△ABC为等腰三角形，但无法判断C是不是直角．故选：A．题型10三角恒等变换与三角函数性质的综合应用【解题思路】①为了研究函数的性质，往往要充分利用三角变换公式转化为正弦型(余弦型)函数，这是解决问题的前提．②解此类题时要充分运用两角和(差)、二倍角公式、辅助角转换公式消除差异，减少角的种类和函数式的项数，为讨论函数性质提供保障．【例19】已知，函数在单调递减，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】运用降次公式及辅助角公式化简函数，结合、换元法及复合函数单调性求解即可.【详解】因为在上单调递减，所以，即，又，所以，令，因为，，所以，所以问题转化为在（）上单调递减，所以问题转化为在（）上单调递减，又，，单调递减区间为，，所以，所以，解得.故选：D.【例20】（多选）已知函数的最大值为，则下列结论正确的是（

）A．函数的最小正周期为B．C．函数的图象关于直线对称D．函数在区间内有两个不同实根【答案】BD【分析】利用三角恒等变换化简，求出最大值，根据最大值为确定的值，然后利用正弦型函数的性质依次判断即可.【详解】因为，所以，又的最大值是，所以，又，所以，所以选项A错误，B正确；由于，因为，所以函数的图象关于点对称，所以选项错误；当时，，由，即，求得或，所以选项D正确．故选：BD．【变式10-1】（多选）已知偶函数的周期为，将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，下列结论正确的是（

）A．B．函数的图象关于直线对称C．不等式的解集为D．在上有两个相异实根【答案】BCD【分析】先通过整理化简，利用三角函数的性质求得，再平移可得函数，进而利用三角函数的性质逐一判断选项.【详解】,则，解得，，又为偶函数所以，即，又，所以，所以，其向右平移个单位长度得，A错误；，所以函数的图象关于直线对称，B正确；令解得，C正确；即，整理得，根据的图像明显可得方程在有两个相异实根，D正确.故选：BCD.【变式10-2】已知函数.(1)解不等式；(2)设，求在上的最值.【答案】(1)(2)最小值为，最大值为5【分析】（1）由两角和的正弦公式和倍角公式化简函数解析式，结合正弦函数的性质，解不等式；.（2）化简函数解析式，由定义域结合函数解析式求值域.【详解】（1）.∴即，，，，.不等式的解集为（2）.，，设，则.令，则，当时，.当时，.在上的最小值为，最大值为5.【变式10-3】已知函数的最小正周期为.(1)求的值；(2)若方程在区间上有两个不等的实根，求的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据和差角公式以及二倍角公式化简，即可由周期公式求解，（2）根据整体法求解函数的值域，即可结合函数图象求解.【详解】（1）,函数的最小正周期，∴；（2）由（1），方程在区间上有两个不等的实根，即函数的图象与直线在区间有两个交点，当时，,则，作出的大致图象如下：∴当，即时，方程在区间上有两个不等的实根；故的取值范围是.课后作业一、单选题1．计算：（

）A． B．2 C． D．【答案】D【分析】利用倍角公式以及诱导公式运算求解.【详解】由题意可知：.故选：D.2．已知，则等于（

）A． B． C． D．1【答案】C【分析】利用正切函数的和差公式即可得解.【详解】因为，所以，故．故选：C.3．若关于x的方程在内有两个不同的解，，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用辅助角公式得，再结合正弦函数的图象与性质求出，代入计算即可.【详解】关于的方程，则，当，所以或，则或.设，所以，则，故选：A.4．已知是锐角，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据倍角公式的变形求出，，再由两角和的余弦公式求解.【详解】因为是锐角，所以，因为，，所以，，所以．故选：D．5．已知函数在处取到最大值，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】运用辅助角公式或逆用两角差的正弦公式化简后求出，再代入运用两角差的正弦公式即可求解.【详解】因为，其中，，又在处取到最大值，所以（），即（），则，，所以，故选：A．6．已知（，）在上存在唯一实数使，又，且有，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由三角恒等变换化简，利用条件得出的最大值，从而求得的值，然后利用正弦函数的性质根据题中唯一解的条件求的范围.【详解】由题意可得，，其中满足，又，即，所以，又，解得，所以，又，所以，因为在上存在唯一实数使，即，所以，解得，故选：A二、多选题7．下列化简结果正确的是（

）A． B．C． D．【答案】AB【分析】根据题意，由三角函数的和差角公式，代入计算，对选项逐一判断，即可得到结果.【详解】，所以A正确；，所以B正确；，所以C错误；，所以D错误．故选：AB．8．关于函数有下列4个结论：①函数的最小正周期为；②函数的图象经过点；③函数的图象关于点对称；④函数的图象关于直线对称若这4个结论中恰有3个是正确的，则这3个结论的序号可以是（

）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④【答案】AB【分析】利用二倍角降幂公式结合余弦函数的图象与性质一一分析即可.【详解】①正确，则；②正确，则，因为，则，则或，则或；③正确，则；④正确，则若①②③正确，则，④不成立，满足条件，A要选；若①②④正确，则，③不成立，满足条件，B要选；若①③④正确，则不可能成立，C不选.若②③④正确，则或，D不可能，故选：AB.9．若函数，则下列结论正确的是（

）A．是偶函数B．的最小值为C．曲线关于直线对称D．函数在上有3个零点【答案】ACD【分析】根据题意，由函数奇偶性的定义，即可判断A，由条件可得的一个周期为，分别计算函数在与的最小值，即可判断B，由对称性的定义即可判断C，由函数零点的定义，代入计算，即可判断D.【详解】因为，则是偶函数，故A正确；因为，所以的一个周期为，当时，，因为，则，的最小值为，当时，，因为，则，的最小值为，故B错误；因为，所以曲线关于直线对称，故C正确；当时，令可得，因为，所以或，即或，当时，令可得，因为，所以，即，所以函数在上有3个零点，故D正确；故选：ACD三、填空题10．已知，则．【答案】【分析】根据二倍角的正余弦公式及辅助角公式计算即可.【详解】.故答案为：.11．已知且，则．【答案】【分析】利用同角的三角函数关系结合诱导公式化简得，再利用二倍角公式化简得出，即可求得答案.【详解】由得，即，由于，故，则，故，即，则，即，即，故答案为：12．已知函数，若在区间上的值域为，则的取值范围是.【答案】【分析】