高一数学寒假讲义第十七讲 余弦定理（学生版）

第十七讲余弦定理【知识梳理】一、余弦定理1.余弦定理的语言（1）文字语言:三角形中任何一边的平方,等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.（2）符号语言:在中,，2.余弦定理的推论在中,.3.解三角形一般地,三角形的三个角和它们的对边叫做三角形的元素.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.题型01已知两边及夹角解三角形【解题思路】直接运用余弦定理求出另外一边,再用余弦定理和三角形内角和定理求其他角.【例1】在中，已知.(1)求的长(2)求的值【例2】在钝角中，角所对的边分别为，若，则最大边的取值范围是（

）A． B． C． D．【变式1-1】在中，已知，，，求c和．【变式1-2】记的内角，，的对边分别为，，，若，，则.【变式1-3】在中，，，则AB＝（）A． B． C． D．题型02已知两边及一对角解三角形【解题思路】可用余弦定理列出关于第三边的一元二次方程求解.【例3】（多选）在中，，这个三角形的周长可能等于（

）A． B． C． D．【例4】的内角A，B，C的对边分别为，已知，，，则（

）A． B． C． D．【变式2-1】在中，已知，，.求、及.【变式2-2】在中，已知，且，则的值为.【变式2-3】已知中，，，若为钝角三角形，则的取值范围是．题型03已知三边解三角形【解题思路】先利用余弦定理的推论求出一个角的余弦,从而求出第一个角;再利用余弦定理的推论求出第二个角;最后利用三角形的内角和定理求出第三个角.注意:若已知三角形三边的比例关系,常根据比例的性质引入k,从而转化为已知三边求解.【例5】在中，，则（

）A． B． C． D．【例6】的内角，，所对的边分别为，，.已知，则．【变式3-1】已知的内角的对边分别为，若，，，则边上的中线AD的长为.【变式3-2】在平面四边形中，，证明：．【变式3-3】在中，角，，所对的边分别为，，，，．是否存在正整数，使得为钝角三角形？若存在，求；若不存在，说明理由．题型04判断三角形的形状【解题思路】利用余弦定理判断三角形形状的两种途径（1）化边的关系:将条件中的角的关系,利用余弦定理化为边的关系,再变形进行判断.（2）化角的关系:将条件转化为角与角之间的关系,通过三角变换得出关系进行判断.【例7】在中，，，分别为角，，的对边，则的值（

）A．等于0 B．大于0 C．小于0 D．与的形状有关【例8】在中，分别为角的对边，且满足，则的形状为（

）A．直角三角形 B．等边三角形C．直角三角形或等腰三角形 D．等腰直角三角形【变式4-1】在中，角的对边分别为，若，则的形状为（

）A．直角三角形 B．等腰直角三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形【变式4-2】的内角的对边分别为.已知，则的形状是（

）A．直角三角形 B．等腰三角形C．锐角三角形 D．钝角三角形【变式4-3】已知中，，试判断此三角形的形状．题型05边角互化的其他应用【例9】若钝角的内角，，满足，且最大边长与最小边长的比值为，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【例10】在锐角三角形分别为内角所对的边长，，则（

）A．3 B．4 C．5 D．6【变式5-1】在中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则角B的最大值为.【变式5-2】在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.(1)若，求A；(2)若，求证：.【变式5-3】在中，内角，，所对的边分别为，，，已知.(1)求的值；(2)若，，是的中点，求.【课后练习】一、单选题1．在中，角的对边分别是，已知，，，则等于（

）A．1 B．2 C． D．2．在中，若，则角的值是（

）A． B． C． D．3．已知钝角的角，，所对的边分别为，，，，，则最大边的取值范围为（

）A． B． C． D．4．已知一个三角形的三边分别是a、b、，则此三角形中的最大角为（）A． B． C． D．5．在中，角所对的边分别为．若，则为（

）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形6．在中，内角所对的边分别为，则的最大值是（

）A． B． C． D．二、多选题7．已知中，角，，的对边分别为，，，且，，，则（

）A． B． C．3 D．8．由下列条件解，其中只有一解的是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，9．在中，角的对边分别为，则下列结论正确的是（

）A．若，则一定是锐角三角形B．若，则为等腰或直角三角形C．若，则是锐角三角形D．若为锐角三角形，则三、填空题10．已知4根细钢丝的长度分别为2，3，4，6，用其中的3根细钢丝围成一个三角形，则该三角形最小内角的余弦值可以是.11．如图所示，点A是等边外一点，且，，，则的周长为．

12．