高一数学寒假讲义第十五讲 数量积的坐标表示（学生版）

第十五讲数量积的坐标表示【知识梳理】一、平面向量的数量积与两向量垂直的坐标表示设向量,（1）数量积:两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和,即（2）向量垂直:二、平面向量的模与夹角的坐标表示（1）向量的模:设,则（2）两点间的距离公式:若,则（3）向量的夹角公式:设两非零向量,a与b的夹角为θ,则题型01数量积的坐标运算【解题思路】进行向量的数量积运算的两条途径:（1）先将各向量用坐标表示,直接进行数量积运算;（2）先利用数量积的运算律将原式展开,再依据已知计算.【例1】已知向量满足，则（

）A． B．0 C．5 D．7【例2】在等腰直角中，，，是边上一点，且，则.【变式1-1】若为坐标原点，过点的直线与函数的图象交于两点，则．【变式1-2】已知向量，，则使成立的一个充分不必要条件是．【变式1-3】已知为内一点，若，则．题型02向量模的坐标表示【解题思路】若,则,于是有【例3】在平面向量，中，已知，，如果，那么；如果，那么.【例4】已知向量满足.(1)求；(2)若，求的最小值.【变式2-1】（多选）已知向量，若，则等于（

）A．0 B．－1 C．1 D．－2【变式2-2】已知向量，．(1)求的坐标及；(2)若与共线，求实数的值．【变式2-3】在直角坐标系中，已知，，若，恒成立，则（

）A． B． C． D．题型03向量垂直的坐标表示【解题思路】【例5】已知向量，，若，则.【例6】已知为矩形，点在线段上，且满足，则满足条件的点有（

）A．0个 B．1个 C．2个 D．4个【变式3-1】已知向量，，，则实数的值为（

）A． B． C．3 D．4【变式3-2】（多选）已知为直角三角形，且，则实数的可能取值有（

）A． B． C． D．【变式3-3】设A、B、C、D为平面内的四点，且，，．(1)若．求D点的坐标；(2)设向量，，若向量与垂直，求实数k的值．题型04向量夹角的坐标表示【解题思路】利用数量积的坐标运算求两向量夹角的步骤：（1）利用平面向量数量积的坐标表示公式求出这两个向量的数量积；（2）利用计算出这两个向量的模；（3）由公式直接求出的值；（4）在内,由的值求角【例7】设，向量，，且，则（

）A． B． C． D．【例8】已知点，，向量，若与成锐角，则y的取值范围为．【变式4-1】已知向量，若实数满足，则与的夹角为．【变式4-2】已知向量，，若非零向量满足，则取最小值时，的坐标为.【变式4-3】已知向量，向量．(1)若，求与的夹角；(2)若与的夹角为钝角，求实数的取值范围．题型05投影向量的坐标表示【解题思路】将已知量代入在方向上的投影向量公式(是与方向相同的单位向量,且)中计算即可【例9】已知向量，，且，若，则在方向上的投影向量的坐标是（

）A． B． C． D．【例10】设向量在向量上的投影向量为，则的最小值为（

）A． B． C．1 D．【变式5-1】已知非零向量，满足，，若，则向量在向量方向上的投影向量的坐标为．【变式5-2】向量，，那么向量在上的投影向量为（

）A． B．C． D．【变式5-3】已知，，为，的夹角，且，则在上的投影向量的坐标为．题型06数量积的坐标表示与三角函数的结合【例11】已知向量，，，，则与的夹角为（

）A． B． C． D．【例12】已知向量，，若，则（

）A． B．1 C．或1 D．【变式6-1】已知点，若，则.【变式6-2】（多选）已知向量，，则下列命题正确的是（

）A．不存在，使得 B．当时，C．对任意，都有 D．当时，在方向上的投影向量的模为【变式6-3】（多选）已知向量，，以下结论正确的是（

）A．若，，则B．若，则C．若，，则D．若，，则课后作业一、单选题1．已知向量满足，，则（

）A．2 B．1 C． D．2．设，向量，，且，则（

）A． B． C．10 D．3．已知向量，则向量在向量上的投影向量为（

）A． B． C． D．4．已知是的边上的高，且，，则（

）A． B． C． D．5．在等腰直角三角形ABC中，，面积为1，则下列结论错误的是（

）A． B．C． D．6．在三角形中，，若为边上的一个动点，则的最小值是（

）A． B． C． D．二、多选题7．已知向量，，则下列结论正确的是（

）A． B． C． D．8．已知向量，，则下列说法正确的是（

）A．若，则的值为B．若，则的值为C．若，则与的夹角为锐角D．若，则9．已知向量，则（

）A．若，则B．在方向上的投影向量为C．存在，使得在方向上投影向量的模为1D．的取值范围为三、填空题10．已知向量，，若，则.11．向量，且，则．12．如图，在平面四边形中，，，，则的最小值为．

四、解答题13．已知是同一平面内的三个向量，其中.