高中数学16.3计数原理II-加法原理教案及反思

高中数学16.3计数原理II--加法原理教案及反思学校授课教师课时授课班级授课地点教具课程基本信息1.课程名称：高中数学16.3计数原理II--加法原理

2.教学年级和班级：高二（3）班

3.授课时间：2023年10月12日第3节课

4.教学时数：1课时（45分钟）核心素养目标分析二、核心素养目标分析通过加法原理的学习，发展数学抽象能力，从实际问题中抽象出分类计数模型；强化逻辑推理素养，能依据分类标准运用加法原理分析计数问题；提升数学建模意识，将生活情境转化为数学模型解决实际问题；培养数学运算能力，准确运用加法原理进行计数，形成严谨的运算习惯。学习者分析三、学习者分析

1.学生已经掌握了排列组合基础概念及乘法原理，能解决简单的分步计数问题，但对分类计数思想的理解不够系统。

2.高二学生具备一定的逻辑推理能力，对生活情境中的计数问题兴趣较高，部分学生擅长抽象建模，部分依赖直观实例；学习风格呈现分化，习惯通过例题归纳规律。

3.可能面临的困难包括：分类标准模糊导致重复计数或遗漏；复杂问题中难以准确划分互斥事件；对"分类完成"与"分步完成"的区分不清晰，需结合教材例题强化辨析能力。教学资源软硬件资源：多媒体教学设备、黑板、粉笔、分类计数模型卡片（不同颜色物品）、实物投影仪

课程平台：学校智慧校园教学平台

信息化资源：人教版高中数学必修第三册配套PPT课件、加法原理分类计数微课视频、互动式题库（课本例题拓展题）、分类计数动画演示

教学手段：情境创设法、分类讨论法、小组合作探究法、讲练结合法教学过程五、教学过程

**环节1：情境导入，激活旧知（5分钟）**

老师：同学们，早上好！昨天我们学了乘法原理，还记得吗？比如从家到学校有2种公交路线，每种路线有3个班次，一共有多少种选择？

学生：2×3=6种！

老师：没错！乘法原理是“分步完成”，每一步的方法数相乘。那今天我们换个问题：从家到学校，可以坐公交，也可以骑自行车。公交有2种路线，骑自行车有1种方式，一共有多少种选择？

学生：2+1=3种！

老师：为什么用加法呢？因为坐公交和骑自行车是两种不同的“类别”，选了公交就不能再选自行车，对吗？这就是我们今天要学的——加法原理！（板书课题：16.3计数原理II——加法原理）

**环节2：探究新知，构建模型（15分钟）**

老师：请大家看课本P118的例1：“从甲地到乙地，有3种火车，2种汽车，1种飞机，有多少种不同的走法？”谁能说说怎么想？

学生（举手）：因为火车、汽车、飞机是不同的交通方式，选一种就行，所以3+2+1=6种！

老师：完全正确！那加法原理的定义是什么呢？请大家结合例1，同桌讨论一下“加法原理”需要满足什么条件。

（学生讨论2分钟，老师巡视）

学生1：我觉得这些交通方式不能同时选，只能选一种，是“互斥”的。

学生2：对，而且选火车有3种，汽车有2种，飞机有1种，这些方法数是独立的，互不影响。

老师：总结得非常好！加法原理的核心是“分类完成”（板书）：1.分类互斥（各类方法不能同时发生）；2.分类独立（各类方法数互不影响）；3.分类完成（完成一件事的所有方法等于各类方法数的和）。

老师：再举个例子：书架上有3本数学书，2本语文书，1本英语书，从中选1本有多少种选法？

学生：3+2+1=6种！分类是“数学书”“语文书”“英语书”，互斥又独立！

老师：完全正确！那如果题目改成“选1本数学书和1本语文书”，还能用加法吗？

学生：不能！因为要“选数学书”和“选语文书”两步，是乘法原理！

老师：太棒了！区分加法和乘法的关键是：加法是“分类”（或的关系），乘法是“分步”（且的关系）。

**环节3：例题探究，突破难点（20分钟）**

老师：现在看课本P119的例2：“从1到10的自然数中，取一个偶数或一个质数，有多少种取法？”请大家先列出偶数和质数，再计算。

（学生独立完成，老师巡视）

学生1：偶数有2,4,6,8,10，共5个；质数有2,3,5,7，共4个。所以5+4=9种！

学生2：不对！2既是偶数又是质数，重复了，应该减1，是8种！

老师：小丽同学发现了关键问题！分类时必须保证“互斥”，否则会重复计数。那正确的分类应该是“只偶数”“只质数”“既是偶数又是质数”吗？

学生：不用！直接分成“偶数”和“质数”，但重复的部分只算一次，所以5+4-1=8种！

老师：对！加法原理中，如果各类有交集，需要用“容斥原理”调整（板书）：总数=各类方法数之和-重复部分。

老师：再挑战一个难题：某班有40人，参加数学竞赛的有20人，参加物理竞赛的有25人，两项都参加的有10人，问有多少人至少参加一项竞赛？

学生（讨论）：可以分成“只数学”“只物理”“两项都参加”三类。只数学的是20-10=10人，只物理的是25-10=15人，两项都参加的是10人，所以10+15+10=35人！

老师：完全正确！这里“至少参加一项”就是“数学或物理”，用加法原理分类，确保不遗漏、不重复。

**环节4：巩固练习，深化理解（15分钟）**

老师：现在请大家完成课本P120的练习1、2题，完成后同桌互评。

（学生练习，老师巡视，重点指导易错点）

老师：小刚同学，练习1说“从5名男生和4名女生中选1名班长，有5+4=9种选法”，对吗？

小刚：对！因为选男生或女生，分类互斥，所以用加法！

老师：很好！那练习2：“用数字1,2,3,4组成没有重复数字的三位数，且百位数字是1或2，有多少个？”谁能说说？

学生1：百位是1的三位数，十位和个位从2,3,4中选，有3×2=6个；百位是2的三位数，十位和个位从1,3,4中选，有3×2=6个。所以6+6=12个！

老师：完全正确！这里“百位是1”和“百位是2”是两类，每类用乘法原理计算，再用加法原理相加，体现了“分类与分步”的结合！

**环节5：总结提升，布置作业（5分钟）**

老师：今天我们学习了加法原理，谁能说说它的核心要点？

学生1：分类互斥、分类独立、分类完成，用加法计算总数！

学生2：还要注意避免重复计数，如果有交集，要减去重复的部分！

老师：总结得非常到位！加法原理的关键是“分类”，而分类的标准要明确、互斥。今天的作业是：课本P120习题16.3的第1、3题，还有在生活中找一个用加法原理解决的问题，明天上课分享！

老师：下课！

学生：老师再见！教学资源拓展**1.拓展资源**

（1）教材深度拓展资源

人教版高中数学必修第三册“16.3计数原理II”课后习题拓展：

-课本P120习题16.3第4题变式：“从1到20的自然数中，取一个奇数或一个5的倍数，有多少种取法？”（需注意15既是奇数又是5的倍数，体现容斥原理应用）

-课本P121复习参考题B组第8题延伸：“某校开设语文、数学、英语、物理、化学5门选修课，学生至少选1门，最多选3门，共有多少种选法？”（分类标准为“选1门”“选2门”“选3门”，每类内用组合数计算，类间用加法原理相加）

（2）数学史与经典问题资源

-《九章算术》“均输章”中“客去忘持衣”问题：“今有客马日行三百里，客去忘持衣，日已三分之一，主人乃觉，持衣追及与之而返，至家视日四分之三。问主人马不休，日行几何？”（涉及分类追及时间计算，隐含加法原理思想）

-费马在概率论研究中提出的“点数问题”：两个骰子投掷，计算“和为7”与“和为8”的组合数，体现分类计数在古典概型中的应用。

（3）实际应用场景资源

-密码学中的密码组合问题：设置一个8位密码，要求由数字（0-9，共10个）和大写字母（A-Z，共26个）组成，且必须包含至少一个数字和一个字母，求可能的密码总数。（分类为“1数字7字母”“2数字6字母”…“7数字1字母”，每类用组合数计算，类间相加）

-体育比赛赛制计数：某篮球小组赛有4支队伍，采用单循环赛（每两队比赛一场），共需多少场比赛？若增加淘汰赛阶段，从4强到冠军，共需多少场比赛？（循环赛用组合数C(4,2)，淘汰赛用加法原理“半决赛2场+决赛1场”）

（4）跨学科联系资源

-计算机科学：算法设计中的“分支语句”计数。例如，某程序有3个判断条件，每个条件有2个分支（真/假），所有条件组合的总情况数。（分类为“0个条件为真”“1个条件为真”…“3个条件为真”，每类用组合数计算）

-生物学：基因型组合问题。豌豆的高茎（D）对矮茎（d）为显性，纯合高茎（DD）与纯合矮茎（dd）杂交，F1自交，F2代的表现型有高茎和矮茎2种，基因型有DD、Dd、dd3种，计算F2代“表现型为高茎或基因型为Dd”的个体比例。（用加法原理分类计算高茎表现型比例3/4与Dd基因型比例1/2，减去重复部分Dd且高茎的比例1/2，得3/4+1/2-1/2=3/4）

（5）易错点辨析资源

-重复计数问题：“从5名男生和3名女生中选2人参加辩论赛，要求至少1名女生，有多少种选法？”常见错误：直接计算“选1女生1男生”（5×3=15）与“选2女生”（C(3,2)=3），相加18种；正确应为“总选法C(8,2)=28减去选2男生C(5,2)=10”，得18种（此例中两种方法结果一致，但需强调分类标准统一）。

-遗漏计数问题：“用数字1,2,3,4组成没有重复数字的三位数，且百位数字大于个位数字，有多少个？”若仅分类“百位是2,3,4”，忽略百位是1时个位无数字可选的情况，会导致遗漏。正确分类为“百位是2（个位1，十位3,4）”“百位是3（个位1,2，十位4及剩余数字）”“百位是4（个位1,2,3，十位剩余数字）”，逐类计算后相加。

**2.拓展建议**

（1）生活化实践建议

-观察记录生活中的计数问题：例如，学校食堂早餐提供包子（3种）、馒头（2种）、粥（4种），若“选1种主食或1种粥”，有多少种选法？（3+4=7种）；若“选1种主食和1种粥”，有多少种选法？（3×4=12种）。通过对比分析，区分加法原理（分类）与乘法原理（分步）的应用场景。

-设计家庭活动方案：周末家庭出游，可选择公园（门票种类成人20元/儿童10元）、博物馆（成人30元/儿童15元）、科技馆（成人40元/儿童20元）。若“选1个景点且买2张成人票和1张儿童票”，总费用有多少种可能？（分类计算公园、博物馆、科技馆的费用，每类用乘法计算，类间用加法相加）。

（2）对比辨析建议

-制作“加法原理vs乘法原理”对比表：

|对比维度|加法原理|乘法原理|

|----------------|---------------------------|---------------------------|

|核心关系|分类（“或”）|分步（“且”）|

|分类/分步要求|分类互斥、独立、完成|分步独立、连续、完成|

|计算方法|各类方法数相加|各步方法数相乘|

|典型例题|选1本数学书或1本语文书|选1本数学书和1本语文书|

-收集易错案例并归类整理：例如，“从1到10中取一个数，能被2或3整除”与“从1到10中取两个数，一个被2整除，一个被3整除”，对比分析前者用加法（分类：被2整除的数+被3整除的数-被6整除的数），后者用乘法（分步：先选被2整除的数，再选被3整除的数）。

（3）跨学科应用建议

-计算机科学探究：研究“手机号码”的计数原理。手机号码为11位，前3位为网络识别号（如139、188等，共10种），中间4位为地区编码，后4位为用户号码。若某地区编码固定为“1234”，用户号码由数字0-9组成，且不含连续4个相同数字，求该地区可能的号码总数。（分类：用户号码“无连续4相同”“有连续4相同”，后者再细分“前4相同”“中间4相同”“后4相同”，用加法原理计算总数）。

-生物学应用：探究人类遗传病基因携带者概率。某常染色体隐性遗传病，正常基因（A）对致病基因（a）为显性，若父母均为携带者（Aa），子女“表现型正常或为携带者”的概率是多少？（分类：表现型正常（AA、Aa）概率3/4，携带者（Aa）概率1/2，减去重复部分Aa且表现型正常的概率1/2，得3/4+1/2-1/2=3/4）。

（4）错题反思建议

-建立“加法原理错题本”，分类记录错误类型：

-类型1：分类不互斥（如“取偶数或质数”未减去重复的既是偶数又是质数的数）；

-类型2：分类标准混乱（如“选2人”既按性别分又按年龄分，导致重复）；

-类型3：遗漏分类情况（如“三位数”计算未考虑百位不能为0）。

-每周选取2道错题，重新写出解题思路，并标注“分类标准”“互斥性验证”“总数计算”三个步骤，强化逻辑严谨性。

（5）探究性学习建议

-小组合作研究“容斥原理与加法原理的关系”：

步骤1：列举简单问题（如“1到20中，奇数或5的倍数有多少个”），用加法原理直接相加（奇数10个+5的倍数4个=14个），发现重复计数了5（既是奇数又是5的倍数）；

步骤2：推导容斥公式“总数=各类方法数之和-重复部分”，验证10+4-1=13的正确性；

步骤3：总结加法原理是容斥原理的基础，当分类无交集时，容斥公式简化为加法原理。

-撰写小论文《生活中的加法原理》，结合购物、出行、通讯等场景，举例说明加法原理的应用，并分析分类标准的合理性。教学反思这节课围绕加法原理的核心概念展开，整体教学效果符合预期。学生对“分类互斥”的理解通过课本例题（如P119例2的偶数与质数问题）逐步深化，但课堂中暴露出两个典型问题：部分学生仍混淆“分类”与“分步”，例如将“选1本数学书或1本语文书”误用乘法计算；另一些同学在解决“至少参加一项竞赛”时，直接相加20+25，未减去重复的10人。这反映出学生对“互斥性”的把控不够严谨。

实际教学中，我通过对比练习（如早餐选包子或粥vs包子和粥）强化分类标准，学生能较快区分“或”与“且”的区别。但容斥原理的渗透稍显不足，后续需增加“重复部分”的专项训练。作业反馈显示，变式题（如P120习题16.3第4题）的正确率仅65%，说明对复杂情境的分类能力仍需提升。

值得肯定的是，学生主动提出“2既是偶数又是质数”的质疑，体现了批判性思维。下一步将结合生活实例（如校服款式搭配）设计分层练习，重点突破分类标准的确定与重复计数的规避。教学评价课堂评价主要通过分层提问与观察实现。基础提问如“从5名男生和4名女生中选1名班长有多少种选法”，90%学生能正确回答9种，体现对“分类互斥”的初步理解；进阶提问如“1到10中取偶数或质数”，发现65%学生直接计算5+4=9，未处理重复的2，暴露容斥原理应用短板。观察小组讨论时，部分学生能主动质疑“2是否同时属于两类”，但仍有30%依赖教师提示。随堂测试显示，基础题正确率85%，但涉及分类标准模糊的变式题正确率仅62%，需强化分