科学技术史（第2版） 第三篇 课件 第二十二章 现代数学的本性和前沿

第二十二章现代数学的本性和前沿目录CONTENTS分析数学的进展非欧几何与几何学的基础从罗素悖论到哥德尔定理代数学的进展希尔伯特问题应用数学的发展分析数学的进展牛顿和莱布尼茨发明了微积分，它是分析数学的基础。19世纪的法国数学家柯西在1821年出版的《分析教程》中，用“极限”概念严格定义了函数的连续性、导数和积分，并研究了无穷级数的收敛判别法。1822年，法国人傅里叶证明，广泛的一类函数可用三角级数来表示，这便是在物理学、数学和工程技术中广泛应用的傅里叶级数。1826年，挪威人阿贝尔发现，连续函数级数的和并不一定是连续函数，并证明了连续函数级数收敛的条件。1829年，德国人狄利克雷给出了函数展开成的三角级数收敛，并且收敛到这个函数本身的充要条件。其后，英国人斯托克斯和德国人塞德尔提出了函数级数一致收敛的概念。柯西第二章节SPRINGFLOWER魏尔斯特拉斯1872年在柏林科学院的一次演讲中给出了一个处处连续但处处不可导的函数，这是一种前所未有的怪函数。三年后，法国人达布证明，只要不连续的点包含在长度可以任意小的有限个区间内，不连续函数也可以求定积分。这也是一种怪函数。1893年法国人约当提出了“约当容度”概念，波莱尔把容度改为测度。1902年，波莱尔的学生勒贝格发表了《积分、长度和面积》一文，系统阐述了他关于测度和积分的思想。勒贝格第二章节SPRINGFLOWER复变函数研究是从18世纪开始的。法国人达朗贝尔在这方面做过一定的贡献。1776—1783年，欧拉写了一系列论文，指出了如何用复变函数去计算实积分的值。1782—1812年，拉普拉斯也研究了这个问题，并给出了现在解微分方程的拉普拉斯变换方法。1797年，挪威出生的测量员魏塞尔最先在一篇论文中提出了复数的向量表示法。1806年，瑞士人阿甘德引入了用复平面上的旋转矢量表示复数的方法。由于德国人高斯的工作，复数的几何表示方法在19世纪上半叶已被人们普遍接受。高斯非欧几何与几何学的基础非欧几里得几何是19世纪产生的，它的产生不但标志着一个新的几何学分支的诞生，而且从根本上改变了数学家对几何性质的理解，也改变了数学家甚至常人对几何学同世界关系的理解。非欧几里得几何的产生同数学家长期企图解除对欧几里得第五公设的怀疑有关。1826—1830年，俄国喀山大学的罗巴契夫斯基（1792—1856）独辟蹊径，提出一个与欧几里得第五公设矛盾的公理：“过线外一点，至少可以引两条直线与已知直线平行。”罗巴契夫斯基

第二章节SPRINGFLOWER在罗氏几何产生的基础上，黎曼重新考虑研究空间的途径，提出了“n维几何”概念。在非欧几何提出之后，数学家开始更严格地检查欧几里得的几何公理体系，发现欧几里得的公理并非不证自明的真理。另外，他还的确假设了大量前提而没有特别地指出来。在看清欧氏几何的全部缺陷之后，数学家中有人力图把点、线、面等作为不定义的概念，再加上一些描述性的术语，严格地推导出数学的整个结构。这便是所谓的公理化理论。黎曼从罗素悖论到哥德尔定理罗素悖论属于集合论的范围。集合论是由出生在俄国而后来到德国的康托于1879—1897年建立的。康托的集合论引入了震撼知识界的“无穷”概念，这是从古希腊人芝诺的时代起就曾使数学家感到困惑和无能为力的难题。罗素本人后来也没有成为数学家，而成为哲学家。他以写哲学散文和著作见长，却获得了1950年的诺贝尔文学奖。德国人弗雷格发展了一种新的集合，这种集合是以逻辑符号来表示和运算的，即所谓数理逻辑的集合。他在1893年出版了《算术基本法则》，企图把数学结构，甚至“数”概念建立在一个严格的、无矛盾的基础上。罗素

第二章节SPRINGFLOWER1931年，奥地利人哥德尔（1906—1978）发表了一篇文章，提出了著名的不完备性定理。哥德尔定理揭示了这样一个问题：整个数学系统不可能井然有序地安置在任何公理系统上，每一个数学系统，不管它多么复杂，总包含着不能消除的悖论，就像罗素用来推翻弗雷格系统的那种悖论一样。哥德尔于1978年辞世，有人将他比作阿基米德和高斯，认为他是20世纪最伟大的数学家。也有许多人将哥德尔视为一位哲学家。但不管怎么样，哥德尔定理是他带给科学和人类最大的贡献。哥德尔代数学的进展古代世界对西方影响最大的代数学“代数学”这个名称在中国最早是由英国人伟烈亚力和中国数学家李善兰在翻译英国人德·摩根的著作《代数学》时（1859年）选定的。著作是阿拉伯人花剌子米写的《还原与对消》。代数学的基础是算术，但用字母来代表数字和未知数进行运算。古埃及、巴比伦、希腊、中国、印度、阿拉伯世界都产生过许多代数成就。代数学的内容非常广泛，近代以来的进展主要有三个方面。花拉子米

第二章节SPRINGFLOWER第一是数的领域和表示形式的扩展。古希腊时期毕达哥拉斯学派已发现了无理数，使数的领域扩大到包括有理数和无理数的实数范围。在近代，意大利人卡当认真地引入了“虚数”概念，欧拉采用i表示虚数-1，把实数领域扩充为复数领域。另外，英国人耐普尔发明了对数；笛卡尔改进了休谟1636年在巴黎时创造的指数表示法，使之成为今天通用的符号；英国人华里斯提出了“负指数”概念，由牛顿创立了现行的分数指数和负指数符号；1719年，意大利人法革纳诺引入了虚指数。以上进展为近代以来代数学的发展开拓了领域，提供了方法。耐普尔第二章节SPRINGFLOWER第二是行列式和矩阵理论。行列式和矩阵理论的发展是基于对莱布尼茨首创的线性方程组的研究。马克劳林最先用行列式方法求解有2～4个未知数的线性联立方程组（1729年），这个方法经克莱姆推广，成为今天求解行列式的克莱姆法则。1764年，培祖证明了系数行列式等于零是行列式所代表的方程组有非零解的条件，并且将确定行列式每一项符号的手续系统化了。法国人范德蒙德在1776年给出用二阶子式和它们的余子式来展开行列式的法则，从某种意义上说，他是第一个对行列式理论做出连贯的逻辑阐述的人，因而也是行列式理论的奠基人。克莱姆第二章节SPRINGFLOWER第三是关于高次方程求根的理论。古代数学家在这方面已达到较高水平，近代数学家进一步改进了根式的表示方法和求解方法。在某种意义上，古典代数便是方程论，它的内容是以讨论方程的解法为中心的。16世纪，3次、4次方程的求解得到解决后，5次以上方程的根式求解问题被提出来了，它吸引了许多人的注意力，但在200多年中并没有取得突破。1799年，鲁非尼论证了5次以上方程不能用根式求解，挪威人阿贝尔进一步严格论证了这一点，开辟了包括群论和方程的超越函数解法在内的近代代数道路。比阿贝尔年龄小一些的法国人伽罗瓦（1811—1832）是群论的真正创立者。伽罗瓦希尔伯特问题1900年8月6日，在巴黎召开的国际数学家大会上，希尔伯特在演说中向数学家们提出了23个数学问题，涉及大多数主要的数学分支学科。在希尔伯特看来，解决这些问题可以揭开未来的面纱，看到20世纪数学发展的前景。这些问题提出后吸引了大批第一流的数学家，到20世纪80年代，其中约有一半得到了解决，有些问题的研究取得了进展，有些则依然未能解决。希尔伯特问题大多为数学的基础理论问题，它们对大批第一流数学家的吸引，在某种程度上削弱了对应用性数学问题的关注和研究，因而对数学的发展来说有一定的副作用。人们若把数学看成远离实际的抽象数字和符号，也就会把数学家看成与常人有距离的“怪人”。希尔伯特应用数学的发展运筹学的诞生很有代表性，它的内容包括博弈论、排队论、规划论、最优化方法等。其次还有模糊数学、概率论和数理统计学等学科。博弈论（gametheory）也叫对策论。1944年，冯·诺依曼和摩根斯特恩（1902—1977）合著的《博弈论与经济行为》奠定了现代博弈论的基础，把对策研究从古代的军事政治领域扩大到社会经济生活领域。1950—1951年，纳什（1928—2015）发表其《n人博弈的均衡点》的论文，提出了“纳什均衡”概念，推动了非合作博弈理论的发展。冯·诺依曼第二章节SPRINGFLOWER排队论的目的是寻找“使服务系统效率最高”的数学方法。1908年出版的丹麦人爱尔朗的《排队论在丹麦电话系统中的使用》，是这方面最早的著作。随着20世纪服务行业的发展，排队论的研究和应用都有了极大的进步。苏联人康特洛维奇1939年出版的《组织与计划生产的数学方法》，是规划论方面的早期著作。德裔美国数学家F约翰1948年发表的《以不等式作附加条件的极值问题》一文，是最优化方法方面最早的文献。康特洛维奇第二章节SPRINGFLOWER模糊数学方面最早的文献是美国加州大学的札德于1965年发表的《模糊集合》一文。这是一个崭新的概念。传统的数学是精确的科学，所处理的是概率等于1的值或事件。模糊数学处理的值是一个连续的量，概率在1和0之间，最浅显的例子是仅仅根据人的声音来判断这个人是谁。概率论是研究大量偶然现象的数学学科。作为一门应用数学，它的历史要比运筹学和模糊数学更久远。数理统计是概率论在具体领域中的推广。它的中心任务是研究怎样合理地搜集资料，并利用这些资料对随机变量的数学特征、分布函数进行估计、分析和推断。马尔可夫第二章节SPRINGFLOWER小

结

牛顿和莱布尼茨的微积分处理连续和可导函数，但还有连续但不可导的函数、不连续但可求定积分的函数，以及其他一些怪函数。这给数学分析带来了挑战。勒贝格积分成为处理这类怪函数的工具，被视为微积分产生以来的一次革命，随之诞生了实变函数论。18世纪以来，复变函数的理论更是得到发展，还被用于解决工程问题。此外，20世纪初还出现了泛函分析。

希尔伯特1900年提出23个数学问题，吸引了大批数学家，影响了20世纪数学发展的方向，但大多为基础理论，很少有应用性问题。二战期间及战后以来，技术和工业的迅速发展带动数学走向应用方向，运筹学的产生最有代表性，模糊数学、概率论及数理统计等都有很大进展。第二章节SPRINGFLOWER小

结1为什么说勒贝格积分是微积分产生以来积分学的一个重大突破？2了解自微积分发明以来分析数学的主要进展。3了解罗巴契夫斯基几何及其产生的意义。4什么是黎曼几何？5比较欧几里得几何、罗巴契夫斯基几何和黎曼几何。6罗素悖论的内容是什么？悖论产生的原因是什么？7哥德尔定理说明了什么？8能否用哥德尔定理分析其他文化现象？9了解自近代以来代数学的主要进展。10希尔伯特问题对20世纪的数学发展产生了什么影响？11略述20世纪应用数学取得的进展。12模糊数学与传统数学有什么区别？第二章节SPRINGFLOWER延伸阅读1［美］A吉特尔曼：《数学史》，欧阳绛译，科学普及出版社，1987。2［美］M克莱