2026年高考数学终极冲刺专项05 导数及其应用7大题型 （大题专练）（原卷版）

专项05导数及其应用

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【命题解码·定方向】命题趋势+2026年预测

【解题建模·通技法】析典例，建模型，技法贯通破类题/变式

【实战刷题·冲高分】精选高考大题+名校模拟题，强化实战能力，得高分

根据近五年全国卷考情，函数中导数的应用是高考解答题必考题目，通常作为压轴题的形式出现,考查的

内容主要还是以含参为主;小题则重点考查三次函数的性质、导数的几何意义及利用导数比较大小等考点，

分值约20-32分．

命题趋势：

解答题：稳定考查导数与函数的综合应用（常为第18至19题），核心是利用分类讨论、转化与化归、

构造函数等策略解决导数的综合应用问题．

2026年预测：解答题极可能仍会以含参形式的出现，热门考向为利用导数研究不等式恒成立、证明不等

式及研究函数的零点．

备考核心：夯实导数基础题型，掌握分类讨论、构造函数法，专攻极值最值与零点问题，限时训练规范

步骤，总结易错点，真题限时演练提升速度．

题型01利用导数解决不等式恒（能）成立问题

析典例·建模型

1．（2026·山东滨州·一模）已知函数fx2x1ex．

(1)证明：在曲线yfx的所有切线中，有且仅有一条切线的斜率与直线y3x的斜率相等；

(2)当x1时，不等式fxkx2恒成立，求实数k的取值范围．

2．（25-26高三下·重庆·月考）已知fx2x3ax2，其中a0．

(1)若a2，求函数yfx在点1,0处的切线方程；

(2)对任意的x13,，总存在x22,，使得fx1fx22，求a的取值范围．

研考点·通技法

对于含有参数的不等式来说，要求参数的取值及取值范围.一般采用参编分离的思想，将参数移到一边，从

而重新构造函数，求出函数的单调性，从而求出参数的取值范围.对于含有两个参数的，一般是将两个参数

转换成一个参数处理.利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：

mfxmfx

（1）xD，min；

mfxmfx

（2）xD，max；

mfxmfx

（3）xD，max；

mfxmfx

（4）xD，min.

破类题·提能力

1．（2026·河北张家口·一模）已知函数fxex，gxlnx1．

(1)求曲线gx在点2,g2处的切线方程；

(2)证明：fxgx3；

(3)若a0，关于x的不等式afxlnagx1有解，求实数a的取值范围．

2．（2026·云南·模拟预测）已知函数fxax2xsinx．

(1)当a0时，证明：fx在R上存在唯一零点；

1

(2)证明：fx0在0,上恒成立的充要条件是a．

π

题型02利用导数证明不等式

析典例·建模型

1．（2026·江苏·一模）已知函数fxa2x23axlnx，a0．

(1)当a1时，求曲线yfx在1,f1处的切线方程；

(2)讨论fx的零点个数；

3

(3)当a时，证明：fx2sinx．

2

2．（2026·广东深圳·一模）已知函数f(x)lnxax14.

(1)当a3时，求f(x)的单调区间；

(2)若f(x)有两个零点.

（i）求a的取值范围；

2

（ii）证明：f(x).

a211

研考点·通技法

利用导数证明不等式，核心是构造函数+单调性+最值.先移项构造新函数，求导判断其单调性，找到区

间内的最值，证其恒正或恒负.

复杂不等式可拆分证明、适当放缩，或利用常见不等式（如lnx≤x−1）间接推导；含参不等式要结合分类讨

论，通过单调性确定参数范围，转化为最值问题求解.

注重步骤规范，先构造再求导、定号、得单调性、证最值，逻辑清晰即可得分.

破类题·提能力

1．（2026·河北保定·一模）已知函数fxsinxasin3x,aR.

1

(1)当a时，求fx的极值.

3

(2)已知a0.

（i）证明:x0,1，fx2xtanx；

（ii）若fxxtx2在0,上恒成立，求实数t的取值范围.

2．（25-26高三下·安徽·开学考试）已知a,kR,fxxlnx,gxxaex，直线yk与曲线yfx和

ygx都相切．

(1)求a,k的值；

(2)若fx1fx2gx3gx4b，其中x1x2,x3x4．

（i）求实数b的取值范围；

1111

（ii）求证：．

x1x2x3x4

题型03极值点偏移问题

析典例·建模型

1m

1．（2026陕西西安·模拟预测）已知函数fxlnxxmR，记Fx2fxx．

2x

(1)讨论函数Fx的单调性；

m

(2)已知m0，对任意x0，存在a0，使得faFx，求实数m的取值范围；

a

2

(3)已知0x1x2，且Fx1Fx2，求证：x1x2m．

2．（25-26高三上·陕西榆林·期末）已知函数fxaexx1.

(1)当a1时，求fx的最小值；

(2)已知函数fx有两个零点x1，x2，且x1x2.

（ⅰ）求a的取值范围；

1

（ⅱ）证明：xx2ln.

12a

研考点·通技法

极值点偏移问题的一般题设形式：

1.若函数f(x)存在两个零点x1,x2且x1x2，求证：x1x22x0（x0为函数f(x)的极值点）；

2.若函数f(x)中存在x1,x2且x1x2满足f(x1)f(x2)，求证：x1x22x0（x0为函数f(x)的极值点）；

x1x2

3.若函数f(x)存在两个零点x1,x2且x1x2，令x，求证：fx0；

020

x1x2

1.4.若函数f(x)中存在x1,x2且x1x2满足f(x1)f(x2)，令x，求证：fx0.

020

破类题·提能力

1．（25-26高三下·辽宁·开学考试）已知函数fxsinxxcosxax3,fx的导函数为fx.

π

(1)当a0时，求曲线yfx在x处的切线方程；

2

(2)当x0时，fx0，求a的取值范围；

fx

(3)设gxa0，当x0时，方程gx0仅有两个不相等的实数根x1,x2，求证：x1x23π.

x

2．（2026·陕西咸阳·二模）已知函数fx2exax，aR．

(1)讨论fx的单调性；

(2)若fx在R上有两个零点，求实数a的取值范围；

12

x1x2

(3)若函数gxfxx有两个极值点x1，x2，证明：ee4．

2

题型04利用导数研究隐零点问题

析典例·建模型

1.（2025·江西萍乡·模拟）已知函数f(x)xalnx，g(x)exlnx2x.

(1)讨论函数fx的单调性；

(2)若gx0=0，求x0lnx0的值；

(3)证明：xxlnxexx2.

研考点·通技法

隐零点问题是函数零点中常见的问题之一，其源于含指对函数的方程无精确解，这样我们只能得到存在性

之后去估计大致的范围（数值计算不再考察之列）.

基本步骤：

第步用零点存在性定理判定导函数零点的存在性列出零点方程并结合的单调性

1:,fx00,f(x)

得到零点的范围;

第2步:以零点为分界点,说明导函数f(x)的正负,进而得到f(x)的最值表达式;

第步将零点方程适当变形整体代入最值式子进行化简

3:fx00,f(x):

（1）要么消除f(x)最值式中的指对项

（2）要么消除其中的参数项;

从而得到f(x)最值式的估计.

二、函数零点的存在性定理

函数零点存在性定理：设函数fx在闭区间a,b上连续，且fafb0，那么在开区间a,b内至

少有函数fx的一个零点，即至少有一点x0a,b，使得fx00.

三、隐零点的同构

实际上,很多隐零点问题产生的原因就是含有指对项,而这类问题由往往具有同构特征,所以下面我们看到

的这两个问题,它的隐零点代换则需要同构才能做出,否则,我们可能很难找到隐零点合适的代换化简方

向.我们看下面两例:一类同构式在隐零点问题中的应用的原理分析

xexxlnx

fxxexflnxxlnx

x

ex1xlnx1

lnx

fxxexflnxx2exlnx0

x

1

所以在解决形如exxlnx0,这些常见的代换都是隐零点中常见的操作.

x

四、一般思路

针对导函数的“隐零点”，求解取值范围时，需要根据导函数零点代入方程，把参数表示成含隐零点的函数，

再来求原函数的极值或者最值问题或证明不等式.构建关于隐零点作为自变量的新函数，求函数值域或者证

明不等式恒成立问题.在使用零点存在定理确定区间时往往存在困难，必要时使用放缩法取含参的特殊值来

确定零点存在区间.

破类题·提能力

1.（2026·浙江·开学考试）已知函数fxxex,gxlnx．

(1)求fx在点1,e处的切线方程；

1

(2)当a0，对任意的x0,,gxax2恒成立，求实数a的取值范围；

2

1

(3)证明：fxexgx．

2

2．（2026·陕西商洛·二模）已知函数fx2axlnx，其中aR．

(1)当a1时，求fx在1，f1处的切线方程；

(2)若函数fx存在单调递增区间，求实数a的取值范围；

(3)若a0,bR，对任意的x0，fxab恒成立，求b5a的最小值．

题型05利用导数研究函数的零点（方程的根）问题

析典例·建模型

1．（2026·云南·模拟预测）已知函数fxexlnasinx，gxaexlnx1．

1

(1)当a时，求fx在0,f0处的切线方程；

e

(2)若x0,，fx0都成立，求a的取值范围；

(3)若函数Fxgxfx，证明Fx有且仅有两个零点．

ax21

2．（2026·辽宁·模拟预测）已知函数fxx22xaR（e2.71828是自然对数的底数）．

ex2

(1)求曲线fx在原点处的切线方程；

(2)若fx在x0,2内有两个极值点，求实数a的取值范围；

11

(3)a1时，讨论关于x的方程fxx22xblnxbR的根的个数．

2xex

研考点·通技法

利用导数研究函数零点（方程根），核心是数形结合、单调性、极值与端点效应.

1.转化：将方程根的与函数零点互相转化，或分离参数转化为直线与曲线交点问题.

2.求导分析：求定义域，求导并因式分解，判断单调性与极值点，确定函数图像走势.

3.零点存在定理：计算极值与区间端点函数值，利用符号判断零点个数：极值正、负、零分别对应不同交

点情况.

4.分类讨论：含参问题按导数零点的大小、是否在定义域内分类，逐段分析单调性与最值.

5.找点技巧：若函数值不易判断，可适当放缩、取特殊值，证明存在正负两点，锁定零点区间.

整体思路：单调定趋势，极值定个数，符号定存在，参数分类论.

破类题·提能力

1．（25-26高三下·贵州遵义·开学考试）已知函数fxex2x1．

(1)求函数yfx在x1处的切线方程；

(2)若方程fxm1x在0,上恰有2个实数根，求m的取值范围．

2．（2026·湖南长沙·模拟预测）已知函数fxalnx2x2aaR．

(1)若fx恰有两个零点，求实数a的取值范围；

2

(2)当a时，证明：a2exxfx2x22ax．

e2

题型06导数与数列的综合问题

析典例·建模型

*

1．（25-26高二上·河北石家庄·期末）已知函数fxlnxx1lnn，nN，记fx的零点为an.

(1)求a1；

(2)求数列an中的最小项；

n2

(3)证明：4n11

i1ai

2．（2026·湖南岳阳·模拟预测）已知函数f(x)a(x1)xlnx，且f(x)0.

(1)求a;

f(x)f(x)

21

(2)已知f(x)为函数f(x)的导函数，证明：对任意的0x1x2，均有f(x1)；

x2x1

111

(3)证明：对任意的nN*，均有ln2.

n2n32n1

研考点·通技法

导数与数列综合题是高考导数压轴常见类型，核心思路为函数搭桥、赋值放缩、累加求和.

1.先证函数不等式：利用导数研究函数单调性与最值，证明关键不等式，如lnx≤x−1、ex≥x+1等，这是解题

基础.

2.对变量赋值：将x替换为数列通项、相邻项比值等特殊形式，得到数列项之间的不等式关系.

3.累加或累乘转化：对赋值后的不等式进行累加、累乘，转化为数列求和、求积问题，实现放缩目标.

4.规范答题步骤：先完成导数部分的函数证明，再逐步赋值、变形、放缩，分步书写得分点，避免逻辑跳跃.

此类题目本质是用导数工具得到放缩模型，再借助数列方法完成证明，分步拆解即可突破.

破类题·提能力

1．（25-26高三下·福建泉州·开学考试）已知函数f(x)x(x1)ln(x1).

(1)证明：f(x)0；

n1

(2)证明：ln(n1)；

i1i2

2．（25-26高三上·重庆九龙坡·期中）已知函数fxxalnxx．

(1)当a0时，

①求fx的最小值；

ln1ln2ln3lnnnn1

②设nN*，求证:；

234n14

2

(2)设x，x，xx是fx的两个极值点，求证：xx．

121212e

题型07导数的新定义问题

析典例·建模型

1．（25-26高三上·广东汕头·期末）某些函数如y=x2和yex的图象具有性质：曲线上任意两点间的弧段

总在这两点连线的下方.这个性质可表示为：设hx是定义在区间I上的函数，则对于I上的任意x1､x2与

任意0,1，总有hx11x2hx11hx2成立.

2xxfx1fx2

(1)设fxxaxb，求证：f12；

22

kx2x3x2gx13gx2

(2)设gxek0，求证：g12；

55

(3)某同学研究发现，若函数hx在I上存在导函数hx，则上述性质的充要条件为hx在I上递增，

ab

求证：(ab)2aabb，其中a､b均为正数.

研考点·通技法

导数新定义题的核心是读懂定义、转化为常规导数问题.

1.翻译定义：准确理解新符号、新运算、新性质，将其转化为函数、导数、单调性等熟悉语言.

2.构造函数：依据定义构造合适函数，转化为求导、单调性、极值最值、零点等常规题型.

3.分类讨论：对含参问题按定义域、导数零点、单调性分段讨论，结合定义约束条件求解.

4.数形结合：借助图像理解新定义几何意义，判断交点、范围与存在性.

整体策略：先翻译定义，再化归旧知，用导数工具求解，规范书写步骤.

破类题·提能力

1．（25-26高三上·宁夏银川·期末）定义“下凸函数”fx：在区间I上，对任意x1,x2,,xnI，均有

nn

xifxi

fi1i1，当且仅当xxx时，等号成立．若函数fx在区间I上存在二阶可导函

nn12n

数，则fx为区间I上的“下凸函数”的充要条件是fx0（fx为fx的导函数）．

(1)若fxaexx2是0,2上的“下凸函数”，求实数a的取值范围；

π

(2)证明：函数gxexcosx在0,上为“下凸函数”；

2

x1x2xn

(3)已知正实数x1,x2,,xn满足x1x2xn1，求ex1ex2exn的最小值（用含n的

代数式表示）．

2．（25-26高三下·吉林长春·月考）已知函数fxlnx1．

(1)求fx在点e1,fe1的切线方程；

x22x

(2)x0,afx，求实数a的取值范围；

x1

(3)请阅读下列两段材料：

材料1：n阶导数定义：设函数yfx的n1阶导数fn1xn2,nN*仍是可导函数，则fn1x的

n1nnn1

导数fx称为fx的n阶导数，记为fx，即fxfx．

aaxaxm

01m

材料2：一般地，函数fx在x0处的m,n阶帕德逼近函数定义为：Rxn，且

1b1xbnx

满足f0R0,f0R0，f0R0,,fmn0Rmn0．

请根据以上材料回答下列问题：

记Rx为fx在x0处的1,1阶帕德逼近函数，当x0时，求函数gxfxRx的最小值；

1

n1

21

并证明：*14nn1．

nN,e1e

n

（其中e2.71878为自然对数的底数）．

（建议用时：100分钟）

刷模拟

1．（2026·福建福州·模拟预测）已知函数fx4x2lnxa.

(1)当a1时，求曲线yfx在点1,1处的切线方程；

2

(2)若函数gxx2fx有且仅有一个零点，求a的值.

2．（2026·河南南阳·一模）已知函数fxxaaxx0，其中a0，且a1．

(1)当a1时，讨论fx的零点个数；

(2)若faxaaxx恒成立，求a的取值范围．

lnx

3．（2026高三·全国·专题练习）已知函数fx.

x

(1)讨论fx的图象与直线ym的交点个数.

1x2

22,x0

(2)已知函数gx1x，有五个不同的零点x1,x2,x3,x4,x5，且x1x2x3x4x5，

2

[fx]afx2a,x0

求a的取值范围.

4．（2026·天津河东·一模）已知函数fxxalnx（a0）.

(1)函数fx在定义域内无极值，求a的取值范围；

a

(2)函数gxfxx2x（a0），gx有三个不同的极值点x，x，x，xxx；

2123123

（ⅰ）求a的取值范围；

1

（ⅱ）证明xxx2a.

123a

5．（2026·河南许昌·模拟预测）已知函数fxalnx1，gxxfx.

(1)若a0，求gx的单调区间；

(2)若ex1fx，hxgxcosx.

（ⅰ）求a；

（ⅱ）函数hx图象上是否存在关于原点对称的点？若存在，试确定对称点的组数；若不存在，请说

明理由.

x2axb

6．（2026·江苏扬州·一模）已知函数fx的一个极值点是x2．

ex

(1)求a与b的关系式；

(2)求出fx的单调区间；

2

(3)设a0，gxa2ex2，若存在x,x0,3，使得fxgx成立，求实数a的取值范围．

1212e2

7．（25-26高三上·广西·期末）已知函数fxexcosx，gxsinx1．

π

(1)求fx在0,内的单调性；

2

π

(2)若存在x,0，使得fxagx0，求实数a的取值范围；

6

ππ

x

(3)设方程fxgx在区间2nπ,2nπn1,2,,2025,2026内的根从小到大依次为1，x2，…，

32

x2025，x2026，试比较x2026与x20252π的大小，并说明理由．

8．（25-26高三上·四川成都·月考）人们很早以前就开始探索高次方程的数值求解问题.牛顿（IsaacNewton，

1643-1727）在《流数法》一书中给出了牛顿法：用“作切线”的方法求方程的近似解.具体步骤如下：设

r是函数yfx的一个零点，任意选取x0作为r的初始近似值，在点A0x0,fx0处作曲线yfx

的切线l1，设l1与x轴交于点B1x1,0，并称x1为r的1次近似值；在点A1x1,fx1处作曲线yfx

的切线l2，设l2与x轴交于点B2x2,0，称x2为r的2次近似值.一般地，在点Anxn,fxn处作曲线

yfx的切线ln1，记ln1与x轴交于点Bn1xn1,0，并称xn1为r的n1次近似值.

3

(1)若函数fxx3x2，取x01作为r的初始近似值，求r的2次近似值；

2

x

(2)若函数fx，取x04作为r的初始近似值，点F0,1，数列xn是由x1，x2，x3，，xn构

4

成的，记：diAi1Ai，i1,2,3,,n.回答以下问题：

（i）求数列xn的通项公式，并将AnF的长度用n表示；

n

（ii）求证：di8.