浅谈辅助角公式及其应用

浅谈辅助角公式及其应用摘要：辅助角公式用一句通俗的概括就是：一个角的正弦函数与余弦函数的线性组合依旧是一个正（余）弦函数，图像当然也是一个正（余）弦函数。辅助角公式是三角函数的重点和难点，渗透着转化与化归的数学思想.然而与辅助角公式相比运用最多的却是辅助角公式三组常用结论.灵活运用辅助角公式三组常用结论可以提高学生的逻辑推理能力，增加学生的思维品质。关键词：辅助角公式；三角函数；概念；应用一、关于辅助角公式定义的文献综述李春娥（2017）指出辅助角公式是李善兰先生提出的一种高等三角函数公式，使用代数式表达为asinx+bcosx=√(a²+b²)sin[x+\arctan(b/a)]（a>0）。虽然该公式已经被写入中学课本，但其几何意义却鲜为人知。王景艳（2017）指出辅助角公式表达为asinx+bcosx=√(a²+b²)sin[x+\arctan(b/a)]（a>0），是一种高等三角函数公式。辅助角公式的主要作用是将多个三角函数的和化成单个函数，以此来求解有关最值问题。辅助角公式的内容是asinx+bcosx=√(a²+b²)sin[x+\arctan(b/a)]（a>0）。很多人在利用辅助角公式时，经常忘记反正切到底是b/a还是a/b，导致做题出错。杨静（2018）指出其实有一个很方便的记忆技巧，就是不管用正弦还是余弦来表示asinx+bcosx，分母的位置永远是你用来表示函数名称的系数。例如用正弦来表示asinx+bcosx，则反正切就是b/a（即正弦的系数a在分母）。如果用余弦来表示,那反正切就要变成a/b（余弦的系数b在分母）。二、关于辅助角公式应用的文献综述朱宝彦（2018）指出助角公式是三角函数的重点和难点。教材中从一道特殊的例题得到一般的结论。它的推理十分巧妙，要求学生熟练掌握两角和与差的正余弦公式的同时，还涉及到函数的构造。辅助角公式渗透着转化与化归的数学思想，可以提高学生的逻辑推理能力，增加学生的思维品质。然而从历届学生掌握的情况来看，效果并不好。分析原因主要有以下几点：第一，辅助角公式推导技巧性强;其次，两角和与差的正余弦公式记忆不牢;第三，正余弦值为和的所对应角与容易混淆。事实上从考题的数量上来说，与辅助角公式相比，用到最多的却是辅助角公式三组常用结论。如果学生能够熟记这三组常用结论，那么就可以大大提高做题的效率。莫庆美（2018）指出辅助角公式三组常用结论做题可以节省做题时间，提高做题效率，为了防止运用辅助角公式三组常用结论做题时出错，老师在给学生讲授时，一定要强调它们的结构特征，仔细比较它们的共同点和不同点.同时还可以从逆用公式入手，找一些题目来练习，这样效果就会更佳。闫善文（2016）指出在解决三角函数的问题中，经常会遇到求这种形式的函数:y=acosx+bsinx(*)(其中a,b为常数，且ab:≠0)的周期性、对称性、单调性及值域.对于这种山“同角但不同名”的三角函数“合成”的函数.在引人了辅助角公式后，可以合二为一，即将其变为“同角同名”即“一角一名”的一个三角函数后，利用三角函数的相关性质，上述问题便迎刃而解。李国华（2017）指出向量法与面积法都是两种比较简单的推导两角和差公式的方法，不过向量法需要一点向量点乘的知识，不像面积法只需要知道三角形面积公式就可以了。所以，面积法可能更加容易被接受。不过在推导过程种都需要公式的变形，这一点就很好的体现了数学种化归的思想。三角函数中有一个难点就是公式很多，如果一个一个去背那肯定是会奔溃的，所以我们还是要掌握其原理，会推导重要的公式，比如两角和差公式。那么即使我们忘记了公式，也知道如何推导它。事实是：我们见的多了、用的多了，公式就自然而然记住了。田晓正（2017）指出两角和差公式的证明方法有很多种，这里主要介绍两种相对简单的证明方法：向量法与面积法。证明的思路都是先证明其中一个公式成立，然后通过诱导公式推得其它公式成立。如果不清楚诱导公式的可以参考《任意角三角函数与诱导公式》一文。说的东西都很简单，希望通过从各个方面的深入理解，才会让我们对该公式更加应用自如。虽然辅助角公式的原理特别简单，但总有些学生感到困难。从向量的角度对其理解，或许能对那些三角函数恐惧症的同学有所帮助。曾宏伟（2015）认为在我们做题过程中，经常会遇到求解三角函数的周期性、对称性、对称中心点、最值问题等等，我们都是需要把多个三角函数整理化简为一个标准的三角函数形式，y=Asin（wx+φ）。这就会用到辅助角公式（归一法，单角单函数），把原本两个三角函数合成了一个，那么我们就可以来讨论其周期性、极大极小值等问题了。在竞赛中就有很多利用三角换元，然后利用辅助角公式求最值得问题。姜玉英（2018）指出三角函数恒等变形的基本策略。（1）注意隐含条件的应用：平方和等于1；（2）角的配凑；（3）升幂与降幂：主要用2倍角的余弦；（4）化弦（切）法，用正弦定理或余弦定理；（5）引入辅助。解答三角函数辅助角公式题目的策略。（1）发现差异：观察角、函数运算间的差异，即进行所谓的“差异分析”（2）寻找联系：运用相关公式，找出差异之间的内在联系（3）合理转化：选择恰当的公式，促使差异的转化。三、结论正在高中数学教材中,三角函数是数学内容中重要的一部分,也是较难理解的知识体系.在这个体系中,和角公式基础上的辅助角公式应用较为广泛,也较为重要