高中数学知识点精讲精析-最大值-最小值问题资料

2.2最大值，最小值问题

要点精训

1.函数的最大值和最小值

小、

观察图中一个定义在闭区间L,上的函

数/(幻的图象.图中/(3)与f(x.)是极小值，］

卜,/_____\I_____

O,

ax2~~b气

/(x2)是极大值.函数在［a.b］上的最大值|

\/

是/S),最小值是/(不).

一般地，在闭区间司上连续的函数/(X)在［。力］上必有最大值与最小值.

说明：⑴在开区间(劣份内连续的函数f(x)不i定有最大值与最小值.如函数f(x)=-

X

在(0,+00)内连续，但没有最大值与最小值；

⑵函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函

数值得出的.

⑶函数/(X)在闭区间［&U上连续，是f(x)在闭区间［4〃］上有最大值与最小值的充

分条件而非必要条件.

(4)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个,

也可能没有一个.

2.利用导数求函数的最值步骤：

由上面函数/(x)的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数

值进行比较，就可以得出函数的最值了.

设函数/(x)在上连续，在(。/)内可导，则求/")在［a,"上的最大值与最小

值的步骤如下：

⑴求/(X)在(。*)内的极值；

⑵将/(x)的各极值与/(a)、f(b)比较得出函数/(x)在上的最值.

典型例题

1.求函数/-3/-91+5在［-2,4］上的最大值和最小值。

【解析】

/'(幻=3F-6x+9=3*+1)(1-3)

令/'(X)=0,得X］=-1,占=3,

由于

/(-1)=10,/(3)=-21/(-2)=3,/(4)=-15

所以，/(%)在在［一2,4］上的最大值是/(-1)=10,最小值是/(3)=-22。

2.已知某商品的需求函数为Q=1000-100x,从成本函数为C=1000+3Q。若工厂

有权自定价格，每大生产多少个单位的产品，才能使利润达到最大？此时价格为多少？

【解析】

000

总收入RuQ.XuQ」-°=］0。-0

100100

利润L=R—C=(10Q—《)一(1000+3Q)=7Q_e_1000

100100

由于77(。)=7-三.

100

令L'(Q)=0得Qo=350o

由于L〃(350)=-」-v0,所以Qo=35()为极大值点，也是最大值点。即每日生产350

50

个单位的产品时，利润最大，此时价格为：

X=1000-6Ie-350=6.5个价格单位。

100|<?-35°

3.在边长为6()cm的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起(如

图)，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱底的容积最大？最大容积是多少？

【解析】

解法一：设箱底边长为木川，则箱高〃二竺二土列，得箱子容积

2

w、60x2-x3小“、

V(x)=x~h=------------(0<x<60).

2

3x2

V'(x)=6()x-----(0<x<60)

3x2

令V'(x)=60x-----=0,解得x=0(舍

2

去），x=40,

并求得V（40）=1600（）

由题意可知，当x过小（接近0）或过大（接近60）时，箱子容积很小，因此，15000

是最大值.

答：当x=40cm时，箱子容积最大，最大容枳是16OOOcn?

解法二：设箱高为xcm,则箱底长为（60-2x）cm,则得箱子容积

『（幻=（60-2幻匕（0〈工＜30）.（后面同解法一，略）

由题意可知，当x过小或过大时箱子容积很

所以最大值出现在极值点处.

j-2_3

事实上，可导函数VQ）=/〃=吧__L、

2

1/*）=（60-2工）2工在各自的定义域中都只有一个极值点，从图象角度理解即只有一个波

峰，是单峰的，因而这个极值点就是最值点，不必考虑端点的函数值.

4.圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底与半径应怎样选取，才能使所用的材

料最省？

【解析】

设圆柱的高为h,底半径为R,则表面积

S=2JTRh+2nK

V

由VnJiNh,得h=——则

不R?

V2V

22

S(R)=2元R—7+2nR=一+2nR

7rR2R

2V

令d(R)=-----+4JiR=D

R-

因为S(R)只有一个极值，所以它是最小值.

答：当罐的高与底直径相等时，所用材料最省.

变式：当圆柱形金属饮料罐的表面积为定值S时，它的高与底面半径应怎样选取，才能使所

用材料最省？

提示：S=27rRh+27rR2=>h=~—

2成

-(而=S-2成7r户='(s—2几M)R='SR-aN

2兀R22

V'(R>=Q=S=6成2=>6成2=2成〃+2成2=h=2R.

5.已知某商品生产成本。与产量°的函数关系式为伉100+4g,价格〃与产量g的函数

关系式为〃=25-工夕.求产量g为何值时，利润/最大？

8

分析：利润£等于收入〃减去成本G而收入〃等于产量乘价格.由此可得出利润£与产量

Q的函数关系式，再用导致求最大利涧.

【解析】

25f=25q_),

W文八R=q•p=q

O7

(1\i

利润£=R—C=25q——q2-(100-4^)=——<21^-100(0<(7<100)

I8J8

U=_；q+21

令L'=0,即一;乡+21=0,求得唯一的极值点q=84.

答：产量为84时，利润L最大.

6.(I)设函数f(%)=/k)g2R+(l-X)log2(l-X)(0VXV1)，求/(x)的最小值;

(11)设正数PI，P?，P3,…，P2n满足P\+Pl+〃3+…+二L证明

P1log2Pl+Pllog?Pl+Pilog?〃3+.••+〃2"l°g2Pr-一〃

【解析】

I）解：对函数/（幻求导数：

/'（%）=uiog2xy+r（i-x）iog2（i-x）r

=log2.r-log2（l-.r）+-i---i-

ln2In2

=log2x-log2（l-x）

于是/'（；）=（），

1

当

X<-时

2f\x）=log2X-log2（l-x）<0,/（x）在区间（0,5）是减函数,

1

当

X>时/Xv）=logx-log（l-x）>0,/（x）在区间（,J）是增函数,

2-22

所以/(X)在A：=g时取得最小值，=

(II)用数学归纳法证明。

(i)当n=l时，由(I)知命题成立.

(ii)假设当n=k时命题成立.

即若正数Pl,“2,〃3,2«满足P|+〃2+〃3十…十22<=L

则〃JOg28+Pl1O§2P2+〃3l°g2〃3+•••+PylOg?P2A~~k

当n=k+l时，若正数四，〃2，〃3,…，〃2：“满足Pi+P2+P3+…+〃2”“=1，

令X=P|+P2+〃3+.-+/公

%=且，q、=k，…，q、k_P2A

x~x~X

则夕I，%，％，*为正数，且夕|+%+