高中数学讲义（人教A版必修二）：第24讲 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积（教师版）

第24课棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积

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课程标准课标解读

1.通过阅读课本培养学生空间想象能力和抽象思维能

力.

2.柱、锥、台的侧面积和体积问题是高中数学的重要内

1.了解棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积的

容，现就柱、锥、台的侧面积和体积的常见问题分类解

计算公式.2.理解并掌握侧面展开图与几何

析以下。对于棱柱、棱锥、棱台的表面枳，多采用面积

体的表面积之间的关系，并能利用计算公

累加的方式求翩.

式求几何体的表面积与体枳.

3.特别地，若为正棱柱（锥、台），各侧面积相等，可

用乘法计算；计算其体积时，关键是求底面积和高，并

注意公式的运用

:项知识精讲

知识点01棱柱、棱锥、棱台的表面积

图形表面积

~~|C'

IY\C'-~

vh—PIC9A多面体的表面积就是围成多面体

多面体各个面的面积的和，也就是展开图

ftD的面积

----'c

【即学即练1】已知长方体全部楂长的和为36,表面积为52,则其体对角线的长为（）

A.4B.y/29C.2723D.4717

【答案】B

【分析】利用x2+),2+y2=(x+)，+z)2-28，+)，Z+W可得对角线的长.

【详解】设长方体的三条棱的长分别为：x，y，z,

|2(xy+yz+zx)=52

则)4(x+y+z)=36

可得对角线的长为\jx2+y2+z2=\j(x+y+z)2-2{xy+yz+zx)=”-52=\/29.

故选B.

知识点02棱柱、棱锥、棱台的体积

几何体体积说明

棱柱V^=ShS为棱柱的底面积,h为棱柱的高

V核管=&S/z

棱锥S为棱锥的底面积,力为棱锥的面

S',S分别为楂台的上、卜.底面面积,

棱台入什=(⑸+VF'^+S)/?

〃为棱台的直

【即学即练2】已知长方体过一个顶点的三条棱长的比是1:2:3,体对角线的长为2旧，则这个长方体的

体枳是()

A.48B.24C.12D.6

【答案】A

【解析】由题意可设长方体的过一个顶点的三条棱长分别为。，3小利用过一个顶点的三条棱的平方和

等于对角线长的平方求得。，则答案可求.

【详解】由题意可设长方体的过一个顶点的三条棱长分别为小243小

则有/+(2〃)，(3.『=(2回『‘

即14a2=4x14,解得a=2,

，长方体的过一个顶点的三条棱长分别为2,4,6,

，这个长方体的体积是丫=2x4x6=48,

故选：A.

B能力拓展

考法01棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积

【典例1］棱长和底面边长均为1的正四棱锥的侧面积为

3G

A.75B.2C.3

—

【答案】A

【分析】利用正三角形的面积计算公式即可得出.

【详解】解：正四棱锥的侧面积S=4x且x『二百.

4

故选A.

【变式训练】若正三棱台上、下底面边长分别是“和2a,棱台的高为土上”，则此正三棱台的侧面积为（）

6

A.a2B.—C.—D.=

222

【答案】C

【解析】作出辅助线构造出直角三角形,进而求得侧面的高与侧面积即可.

【详解】如图，。「。分别为上、下底面的中心，口。分别是AC,AG的中点，过。作。£10。于点£.

在直角梯形。。AG中，OD--x^-x2a=^-a,O^DX=-x^-xa=^-a>DE=OD-OXDX=^-a.

3233266

在Rt〃中，〃后=返〃，

|32332

i—ciHa

、43636

।9

=3x—(a+2a)a=—a2.

22

故选:c

【变式训练】已知四棱台的上、下底面分别是边长为4和8的正方形，侧面是腰长为8的等腰梯形，求该

四棱台的表面积.

【答案】80+48A

【解析】首先求出四楼台上、下底面面积与侧面面积，然后求出表面积即可.

【详解】如图，

在四棱台ABC。—A禺GR中，

过用作8F_L8C,垂足为产，

在放用FB中，8尸=gx(8-4)=2,B1B=8,

故B、F=加-12=2匹,

所以S怫形例*=gx(8+4)x2厉=12厉，

故四棱台的侧面积％=4乂12/=48店，

反思感悟

(1)棱柱、棱锥、棱台的表面积求法

①多面体的表面积是各个面的面积之和.

②棱柱、棱雅、棱台的表面积等于它们的侧面积与各自底面积的和.

(2)求解正棱台的表面积时注意棱台的四个基本量：底面边长、高、斜高、侧棱，并注意两个五痢梯形的应

用：

①高、侧棱、上下底面多边形的己心与顶点连线所成的直角梯形.

②高、斜高、上下底面边心距所成的直角梯形.

考法02棱柱、棱锥、棱台的体积

【典例2］棱长和底面边长均为1的正四棱锥的体积为

A.75B.立C.也D.逆

264

【答案】C

【解析】底面边长和侧棱长均为1的正四棱锥S-A8CO中，连结AC、8。交于点。，连结SO,则50_1底

面ABC。，AO=^AC=^AB2+BC2,SO=xlSA2-AO2，由此能求出正四棱锥的体积.

【详解】如图，底面边长和侧棱长均为I的正四棱锥5-A8CQ中，

连结AC、B。交于点O,连结SO,

则SO_L底面ABCO,

S正方形ABCD=AB*BC=1x1=1,

AO=-AC=->JAB2+BC2=2^,

222

SO=\ISA2—AO2=»

，正四棱锥的体积:

V二§xS正方形ABCDxSO=—x1x•

故答案为C.

反思感悟求解正棱台的体积时，注意棱台的五个基本量（上、下底面边长、高、斜高、侧棱）.

常用两种解题思路：一是把基本量转化到直角梯形中解决问题；二是把正棱台还原成正棱锥.利用正棱锥

的有关知识来解决问题.

【变式训练】已知正六棱柱的高为6,底面边长为4,则它的表面积为（）

A.48（3+@B.48（3+2@

C.24（V6+V2）D.144

【答案】A

【解析】根据正六棱柱的高和底面边长，求出侧面面积与底面面积，然后求出表面积即可.

【详解】由题知侧面积为6x6x4=144,

两底面积之和为2x』^x4'x6=485/3，

4

所以表面积S=48（3+G）.

故选:A.

考法03简单组合体的表面积与体积

【典例3］如图，在几何体A4C在D中，A8=8,BC=10,AC=6,侧棱AE,CF,8力均垂直于底面ABC,

BD=3,FC=4,AE=5,求该几何体的体积.

【答案】96

【详解】解：在AE上取点M,在。尸上取点N,使得AM=CN=8。，连接DM,DN,MN,

则几何体ABC—MDN为直三棱柱，

因为48=8,8c=10,AC=6,

所以府+十二对，

所以/8c是以/胡。为直角的直角三角形，

ME=2,NF=l,OM=A8=8,MN=AC=6,

则多面体O-MNFE是四棱锥，高为8,

所以几何体ABCFED是由三棱柱ABC-MDN和四棱锥D-MNFE组合而成的，

X

^ABC-MDN=~8X6X3=72,

1(l+2)x6

2>8=24,

所以该几何体的体积为72+24=96.

【变式训练】

如图，已知正方体A8CD-A/B/GD的棱长为1,则四棱锥A/-8B/。/。的体积为

【答案】；

【分析】由题意分别求得底面积和高，然后求解其体积即可.

【详解】

如图所示，连结AG，交6e于点O,很明显Aa，平面

则A。是四棱锥的高，且AO=L4cl庐"=立，

222

S四边形叫84=BDxDD\=&\=6，

结合四棱锥体积公式可得其体积为

V=Ls/i=-Ky/2x—=-f

3323

故答案为I.

考法04几何体体积的求法

【典例4】等积变换法

如图，已知ABC。-48Goi是棱长为。的正方体，E为AAi的中点，产为CG上一点，求三棱锥4一。行9

的体积.

©

I

AH

解由L棱蛇1f印一乙枝解FAE，

.••%平=/小力曲=；3

又三棱锥尸一4。石的高为CD=a,

A匕飒f*=9八；屋=芝，

•XT]；

••'

【典例5】分割法

如图，在多面体八/SCDb中，已知四边形/A8C。是边K为N1的正方形，EF//AB,EF=2,EF上任意•点

到平面ABCD的距离均为3,求该多面体的体积.

\c

解如图，连接EB,EC,AC.VU^E^CD=1X42X3=16.

起

黑

•：AB=2EF,EF//AB,

:.S△EAB=2S&BEF.

V三钝银t--blUC=V三粳制C-tf-H

=]V=tmC-ABE=^V三级推E-A8c

=2^2^四枪械ET8CD=4.

•*•多面体的体积V=VH«8E-ABCD~V三校怆F-E8c=16+4=20.

反思感悟

⑴转换顶点和底面是求三棱锥体积的一种常用的方法.

(2)对于给出的一个不规则的几何体不能直接套用公式，常常需要运用分割法.

(3)通过识别几何体的结构特征，提升直观想象的数学核心素养.

flL分层提分

题组A基础过关练

一、单选题

I.正六棱柱的底面边长为2,最长的一条对角线长为2石，则它的表面积为()

A.4(373+4)B.12(73+2)

C.12(2有+1)D.3(6+8)

【答案】B

【分析】根据正六棱柱的结构特征，求出棱柱的高，再计算它的表面积.

【详解】正六棱柱的底面边长为2,最长的一条对角线长为2石，则高为『也可二百1二2,它的

表面积为S衣面枳=S灰面枳+6s电形=2x6x-x2x2xsin—+6x2x2=12x/3+24=12(>/3+2).

23

故选:B.

2.已知长方体全部棱长的和为36,表面积为52,则其体对角线的长为()

A.x/29B.6c.2V23D.4a

【答案】A

【分析】利用x2+），2+z2=（x+），+z）2-23+），z+zr）,可得对角线的长.

【详解】设长方体的三条棱的长分别为:x，y，z,

j2(xy+yz+zx)=52

则

!4(x+y+z)=36

可得对角线的长为\jx2+y2+z2=\j(x+y+z)2-2{xy+yz+zx)=39’-52=\/29.

故选：A.

3.鲁班锁起源于中国古代建筑的榨卯结构.这种三维的拼插器具内部的凹凸部分（即梯卯结构）啮合，十

分巧妙，鲁班锁类玩具比较多，形状和内部的构造各不相同，一般都是易拆难装，如图（1）,这是一种常

见的鲁班锁玩具，图（2）是该鲁班锁玩具的直观图.已知该鲁班锁玩具每条棱的长均为1,则该鲁班锁玩

C.2(6+673+72)D.8+86+近

【答案】A

【分析】先求出正八边形的面积，再由该鲁班锁玩具的表面积为6个边长为1的正八边形和8个边长为1

的正三角形的面积和计算表面积即可.

【详解】

由图可知：该鲁班锁玩具的表面积为6个边长为1的正八边形和8个边长为I的正三角形的面枳和，如图

为正八边形的平面图，易得=-2）x18°.=/5,作AE工BC,D尸工BC,垂足为£尸，则

8

AE=BE=DF=CF=§,则八边形的面积为L（1+夜+1卜斗、2+（夜+1）x1=2+2&,则该鲁班锁玩

222

具的表面积为（2+2应卜6+52、争8=2（6+6夜+园

故选：A.

BP

4.如图，在棱长为4的正方体A8CQ-A4CQ中，P在线段3。上，且而~=2,M为线段BG上的动点,

则三棱锥例-PHC的体积为（）

1?I

A.#B.声3C.>3D.与点M的位置有关

【答案】A

21

【分析】根据题意可得点尸到平面的距离为:a,利用等体积法和三棱锥的体积公式即

可求出VM-PBC-

BP2

【详解】由题意知，点。到平面M8C的距离为小又不了二%,

X-ZiD

2

所以点P到平面MBC的距离为，

又点M在片G上运动，所以SM8C==,

I711

所以V”PBC=%MBC=QXQ〃X5G=qa♦

JJJy

故选：A.

5.如图，“十字歇山”是由两个直三棱柱重叠后的景象，重叠后的底面为正方形，直三棱柱的底面是顶角为

120°,腰为3的等腰三角形，则该几何体的体积为（）

A.23B.24C.26D.27

【答案】D

【分析】作出几何体直观图，由题意结合几何体体枳公式即可得组合体的体积.

【详解】该几何体由直三棱柱AfD-8"。及直三楂柱ZX7C-A所组成，作于M,如图,

因为CH=B”=3,NCHB=120,所以CM=8M=延,,

22

因为重叠后的底面为正方形，所以A8=80=36,

在直棱柱中，平面BHC,则

由A8c8C=8可得HMJ•平面ADCB,

设重叠后的EG与FH交点为I，

◊44•

Q177

则该几何体的体积为v=2V._17=2X---=27.

AF[>lfH(42

故选：D.

二、多选题

6.正三棱锥底面边长为3,侧棱长为26，则下列叙述正确的是（）

B,正三棱锥的斜高为叵

A.正三棱锥高为3

2

C.正三棱锥的体积为生巨D.正三棱锥的侧面积为名画

44

【答案】ABD

【分析】先求出正三棱锥的高和斜高，从而可判断AB的正误，再计算出体积和侧面积，从而可判断CD的

正误.

设E为等边三角形AOC的中心，尸为C。的中点，连接PF,EF,PE,

则PE为正三棱锥的高，P尸为斜高，

又PF=MI=与,EF=*"g,故叫阴=3.

故AB正确.

而正三棱锥的体积为』x3x且x9=%叵»侧面积为3x，x3x=汉亘,

344224

故C错误，D正确.

故选；ABD.

7.如图，四边形A8CO为正方形，EQL平面ABC。，FBI/ED,他="）=2即，记三棱锥E—ABC,E-ACF,

尸-ABC的体积分别为匕，匕，匕，则（）

E

B.匕=2匕

c.匕=耳+匕D.2匕=3匕

【答案】CD

【分析】利用直接法与等体枳法直接计算各三棱锥的体积，进而得解.

1412

【详解】设川=a=2m=2,则K=§X2X2=7，l^=-x2xl=-,

如图所示,

连接8力交AC于点连接EM、FM,

则FM-&,EM=瓜,EF=3,

故SEMF=gx6x#二孚,

1c“I30rhe

K1Z=-SrxAC=-x-----x25/2=2,

33EMF32

所以匕=匕+匕，2匕=3匕,

故选:CD.

三、填空题

8.玉璧是我国传统的玉礼器之、也是“六瑞”之象征着吉祥等寓意.穿孔称作“好”，边缘器体称作“肉

《尔雅•释器》“肉倍好谓之璧，好倍肉谓之现，肉好“若一谓之环一般把体形扁平、周边圆形、中心有一上下

垂直相透的圆孔的器物称为璧.如图所示，某玉璧通高2.5cm,孔径8cm.外径18cm,则该玉璧的体积为

【答案】162.5^cm5

【分析】由题意知，该玉璧的体积为底面半径为9cm,高为2.5cm的圆柱的体积减去底面半径为4cm,高为

2.5cm的圆柱的体积，然后利用圆柱的体积公式可求得答案

【详解】由题意知，该玉璧的体积为底面半径为9cm,高为2.5cm的圆柱的体积减去底面半径为4cm,高为

2.5cm的圆柱的体积，

即开x92x2.5-x42x2.5=162.5^cm3.

故答案为：162.5^cm'

9.如图，一个正四棱锥（底面为正方形且侧棱均相等的四棱锥）的底面的边长为4,高与斜高的夹角为30。,

则正四棱锥的侧面积为.

【答案】32

【分析】根据正棱锥中高与斜高的夹角求出斜高的长，即可求出侧面积.

【详解】在正四面体中易知，P0是正棱锥的高，PE是正棱锥的斜高,

QE=2,NOPE=30

.♦.庄=4,

/.5恻=4xgx4x4=32,

故答案为:32

10.侧面均为面积为4的正方形的正三棱柱的表面积为.

【答案】12+2x/3##2>/3+I2

【分析】根据题意可判断该正三棱柱的所有棱长都为2,进而可求表面积.

【详解】如图，四边形ABBAACC48CC与均为正方形，故该三棱柱的所有棱长均为2,故侧面积为

4+4+4=12,底面积之和为2xL2x2sin60=26，

2

故表面积为12+26，

故答案为：12+26

II.已知三棱锥尸-A8C的三条侧棱两两垂直，且它们的长度分别为1,1,后，则此三棱锥的高为

【答案】巫

5

【分析】将图形还原为长方体，进而通过等积法得到答案.

【详解】如图1，将三棱锥ZMBC还原为长方体布。aCQRS,

R

c

图1

由趣意可知，VdgspA-cH近当'

设P到平面A8c的距离为d，如图2,M为84中点，则CM_L8A,

故答案为：平.

四、解答题

12.已知四棱台的上、下底面分别是边长为4和8的正方形，侧面是腰长为8的等腰梯形，求该四棱台的

表面积.

【答案】80+48后

【解析】首先求出四棱台.上、下底面面积与侧面面积，然后求出表面积即可.

【详解】如图,

在四极台ABC。—48cA中，

过B|作用尸18C,垂足为F,

在RhBiFB中,BF=1x(8-4)=2,8用=8,

故BF=jG-22=2后,

所以S梯形即GC=gx(8+4)x2岳=12岳,

故四楼台的侧面积S他=4x12而=48",

所以四棱台的表面积S农=48后+4x4+8x8=80+48岳.

【点睛】本题考查了四棱台的表面积，属于基础题.

13.用一张正方形的纸把一个棱长为1的正方体礼品盒完全包住，不将纸撕开，求所需纸的最小面积.

【答案】8

【分析】把正方体的表面展开，得到5个边长为1的正方形组成十字形，并在四端加上四个斜边为1的等

腰直角三角形，就可以包住校长为1的正方体，直接求面积即可.

【详解】如图①为棱长为1的正方体礼品盒，先把正方体的表面按图所示方式展成平面图形，再把平面图

形尽可能拼成面积较小的正方形，如图②所示，由图知正方形的边长为2&，其面积为8.

图①图②

14.如图所示，在长方体ABC。-A/GR中，AA=AA=*A8=2a,且E为A8中点.求G到平面ROE

的距离.

【答案】近a.

【分析】根据匕；_“自=%_卬^,结合锥体的体积公式，准确运算，即可求解.

【详解】由题意，可得长方体A8CQ—A8GA中，AA=A2="，AB=2a,

5ficxx2flxx，

所以/=1△zx'1c-=||«^=1«-

设C1到平面ROE的距离为人，则％f荻=:与山/.

在直角一D4E中，由勾股定理得DE=&a，

所以.DE」xax也。=巫/,

2

所以VC-DIDE=''~^~ah=—a\解得h=42a»

323

即G到平面4DE的距离为缶.

题组B能力提升练

一、单选题

1.如图所示，正方体的棱长为2,以其所有面的中心为顶点的多面体的表面积为（）

B.46C.8D.12

【答案】B

【分析】首先确定几何体的空间结构特征，然后求解其表面积即可.

【详解】由题意知，

该几何体是一个由8个全等的正三角形围成的多面体，

正三角形的边长为:

TF匚角形边卜的一条高为：J（后_（务邛.

所以一个正三角形的面积为：1叵x&=立,

222

所以多面体的表面积为：8x且=46.

2

故选：B

2.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）

正视图侧视图

A.12-—^-B.12—万C.12—2乃D.12—3乃

3

【答案】B

【分析】根据三视图得到该几何体是长方体中挖去了一个圆锥，结合题意可知长方体的长、宽、高和圆锥

的底面圆的半径和高，再由体积公式求解，即可得到答案.

【详解】由三视图知，此几何体是长方体中挖去了•个圆锥,

其中长方体的长为2,宽为2,高为3,

圆锥的底而圆的半径为厂=1,高为力=3,

所以几何体的体积为：

V=2y2x3-l^r2/7=2x2x3--^xl2x3=12-/r,

33

故选：B.

3.将一个斜边为2的等腰直角三角形绕直角边旋转一周形成的几何体的体积为（）

ALR2「2近4>/2

A.—71B.—71C.----7TDn.----兀

3333

【答案】C

【分析】由题意旋转后的几何体圆锥，由题意求出其底面半径和高，从而可得出答案.

【详解】设/SC为斜边为2的笔腰直角三角，将其绕直角边旋转•周形成圆锥，如图

则AC=8C=0,

则圆锥的底面圆的半径为灰，高为&

所以其体枳为;x；rx（J5）x及=2gg

故选：C

4.下图是一个圆台的侧面展开图，若两个半圆的半径分别是1和2,则该圆台的体积是（

「7缶n7小

A・骞B-噜1212

【答案】B

【分析】先计算出上下底面的半径和面积，再求出圆台的高，按照圆台体积公式计算即可.

【详解】

如图，设上底面的半径为「，下底面的半径为R,高为h,母线长为/,则2万〃=小1,2兀R=7i,2,解得

r=g,R=I，

2

/=2-1=1»h=yjl2-(/?-r)~=)3,

设上底面面积为S'=下底面面积为S=442=万，

贝|J体积为

故选:B.

5.正三棱锥P-ABC的三条棱两两互相垂直，则该正三棱锥的内切球与外接球的半径之比为（）

A.1：3B.1：（3+百）C.（V3+l）：3D.（V3-l）：3

【答案】D

【分析】设侧棱长为。，用补形法求得外接球的半径，用体积法求得内切球的半径后即可得.

【详解】三棱锥扩展为长方体（本题实质上是正方体），它的对角线的长度，就是球的直径，

设侧棱长为m则它的对角线的长度为6小外接球的半径为四，

乙

再设正三棱锥内切球的半径为〃正三棱锥底面边长为低，设。是内切球球心，则。到棱锥四个面的距离

都等于「，

根据三棱锥的体积的两种求法，得‘'’42'。=!乂［！433十遮［无〃）2］，

32324

3-V3

r=-------a,

6

3-5/3

・••该正三棱锥的内切球与外接球的半径之比为一^=冉」.

V33

——a

2

故选：D.

B

6.用半径为2,弧长为2乃的扇形纸片卷成一个圆锥，则这个圆锥的体积等于（）

A.&B,正〃C.D.4乃

33

【答案】B

【分析】利用扇形的弧长求出圆锥底面的半径，继而求解圆锥的高，再利用圆锥的体枳公式即得解

【详解】令圆锥底面半径为「，贝！2Tr=2乃，因此r=1

•••圆锥的高为：〃=亚彳=6

・二圆锥的体积^=\且院6=叵

33

故选：B

【点睛】本题考查了圆锥的侧面展开图的面积及圆锥的体枳，考查了学生综合分析，数学运算能力，属于

中档题

二、多选题

7.正三棱锥S-A8C的外接球半理为2,底面边长为八8=3,贝！此三棱锥的体积为（）

A9右R3有「27G八3后

A.r>.-----J-------1J.-----

4442

【答案】AB

【分析】首先设三棱锥S-A8C的外接球的球心为0,三角形的中心为。，得到CD=#,再分类讨

论求解三棱锥体积即可。

【详解】设三棱锥S-ABC的外接球的球心为。，三角形A8C的中心为。，

由题知：2CZ）=——,解得CO=G.

sin60

当外接球球心。在线段SO上时，如图所示：

B

00=,22-（可=1,SD=l+2=3,

所以^S-ABC=，x」x3x3x—X3=26

322

当外接球球心。在线段S。的延长线上时，如图所示:

O

0D=「—（可=1,SD=2-\=\,

所以匕-A8c=gxgx3x3xWxl.

故选:AB

8.如图，在多面体EFG-A3a）中，四边形ABC。，CFGD,AOGE均是边长为I的正方形，点H在棱EF

2

A.该几何体的体积为（B.点。在平面用犷内的射影为△跳户的垂心

C.GH+8H的最小值为名D.存在点，，使得DH上B尸

【答案】BD

【分析［将几何体补形为正方体，根据正方体与棱锥体积差判断A,由棱锥侧棱长相等、底面为正三角形

确定定点射影的位置判断B,根据展开图及余弦定理判断C,由正方形对角线垂直可判断D.

【详解】由题意，可将该几何体补成正方体，如图，

则该几何体的体积为正方体体积去掉一个三棱锥的体枳，所以V=『-%_EFN=1-2X!X1X1X1=3,

故A错误；

由题意知，ABEF为等边三角形,因为DE=DF=DB,所以点。在平面8所内的射影为AB所的外心，

即瓦'的中心，故B正确；

把&尸所在面沿£/,,折起，当即R7四点共面时,，连接8G,则G〃+8〃的最小值即为8G的长，由余弦

定理知，BG2=I2+(V2)2-2x1x72cos(450+60°)=2+>^,故BG=立+小,即G〃+8”的最小值为

2

立土包，故C错误；

2

丁四边形AQGE为正方形，.•.OEJ.4G,/BFHAG8/，..当〃与E重:合时，DHA.BF,故D

正确.

故选:BD

三、填空题

9.若正四棱柱的底面边长为5,他棱长为4,则此正四棱柱的体积为.

【答案】100

【分析】根据棱柱体积公式直接可得.

【详解】V=5x5x4=100

故答案为：100

10.已知四棱台的上、下底面分别是边长为4和8的正方形，侧面是腰长为8的等腰梯形，则该四棱台的

表面积为.

【答案】80+48后

【分析】分别算侧面等腰梯形的面积及上下两底面面积，然后再求和.

【详解】如图，在四棱台ABCD-AMGA中，过点4作用产_LBC,垂足为点尸，在Rt%FB中

BA=-x(8-4)=2,与8=8,故=拘-2?=2屈,

所以S梯形叫“=；*（8+4）x2厉=12厉，

故四棱台的侧面积%=4x12/=48。，

所以〉=48岳+4x4+8x8=80+48715.

故答案为：80+48而

11.正多面体被古希腊圣哲认为是构成宇宙的基本元素，加上它们的多种变体，一直是科学、艺术、哲学

灵感的源泉之一.如图，该几何体是一个棱长为2的正八面体，则此正八面体的体积与表面积之比为

【分析】根据给定条件求出正八面体的表面积和体积即可计算作答.

【详解】正八面体的表面是8个全等的正三角形组成，其中正A8E边长为2,

则正八面体的表面积S=8SME=8X乎A8?=8后，

而正八面体可视为两个共底面的，侧棱长与底面边长相等的正四棱锥E-A3CO与产-ABC。拼接而成,

正四棱锥E-A5CZ）的高〃=J序-gg=百-（6¥=V2,

则正八面体的体积V=2匕.8m=2X,A82X/?=2X4X及=—，

c333

8夜

于是得V二屋二限,

~S~85/3-9

所以正八面体的体积与表面积之匕为四.

9

故答案为：如

9

12.正三棱台上下底面的边长为1,2,斜高为1,则其体积为.

［答案］vn

2424

【分析】如图，设上下底面中心分别为G,。，。,尸分别为AG，AC的中点，过点。作£)£_!.〃/于点七，利

用勾股定理求出即棱台的高，再根据台体的体积公式即可得解.

【详解】解：如图，设上下底面中心分别为G,Q,。，尸分别为AG，AC的中点，

则0”即为斜高，

过点。作OE_L3尸于点E，

贝ljDG」8Q」xlx^=^,

3,326

口1帕「G6

FQ=-BF=-x2x——=——，

3323

所以Eb=/2-EQ=/Q-OG=工，

所以DE=-=噜，

上底面面积S1=gxTxlx§=。,

故答案为：巫.

24

四、解答题

13.已知某个三棱柱的底面是正三角形，侧棱垂直于底面，它的侧面展开图是边长分别为6和4的矩形,

求它的表面枳.

【答案】24+26或24+辿.

9

【分析】分两种情况，求出底面积，从而求出表面积.

【详解】由题意可知该三棱柱为正三棱柱，

•・•正三棱柱的侧面展开图是边长分别为6和4的矩形，

・••有如下两种情况：

①6是底面周长，4是三棱柱的高，

此时正三角形边长为2,

此底面积S；='x2x2sin60o='x2x2x立=6，

1222

表面积邑=24+26；

②4是底面周长，6是三棱柱的高，

4

此时正三角形边长为不，

此时底面枳S3=京住卜足60。=竽，

表面积S4=24+半.

所以该三棱柱的表面积是24+2^或24+更..

题组C培优拔尖练

1.我国已出现了用3D打印技术打印出来的房子，其耗时只有几个小时，其中有一尺寸如图所示的房子.不

计屋檐，求其表面积和体积.

【答案】360+80新一3275—80近，800-16073.

【分析1根据实体图，得出如图所示空间几何体，上面是三棱柱和下面是长方体的组合体，进行计算即可

得解.

【详解】

如图所示，该房子的几何图形为，上面是三棱柱和下面是长方体的组合体,

由AO=8,N£AO=NEOA=15,Z4ED=150,

所以4厅=AE2+ED2-2AE-EDcos150°，

可得=AE=ED=^-

2+G舟1

所以S八中=^EEZ)sin15016