初等数论试卷模拟试题和答案

初等数论试卷一

单项选择题：（1分/题x20题=20分）

1.设为实数，为的整数部分，则（）

A.；B.；

C.；D..

2.下列命题中不正确的是（）

A.整数的公因数中最大的称为最大公因数;

B.整数的公倍数中最小的称为最小公倍数

C.整数与它的绝对值有相同的倍数

D.整数与它的绝对值有相同的约数

3.设二元一次不定方程（其中是整数，且不全为零）有一整数解，则此方程的一切解可表

为()

A.x=x-^7,y=y。+:=0,±1,±2,•••;

0aa

八……

B.ab

x=x0+—t,y=y0——=0,±l,±2,--«;

bac……

C.x=x。+十，y=Y)一_；，"=0,士l,±2,…;

aa

ba八……

D.x=x—;/，)'=)'()—=±1,±2,・••;

Qacl

4.下列各组数中不构成勾股数的是（）

A.5,12,13；B.7,24,25；

C.3,4,5；D.8,16,17

5.下列推导中不正确的是（）

A.三"(mod〃z)=4IYKXm);

%=b[=b[+/?2(1

B.q=/?!(mod/77),6f2三2(modm)=4%三岫

C.q=b\modm)^a]a2=b]a2(mod///);

D.cr=Ir(modni)=>a｝三々(modm).

6.模10的一个简化剩余系是()

A.B.

C.D.

7.的充分必要条件是()

A.B.

C.D.

8.设，同余式的所有解为()

A.或B.或

C.或D.无解.

9、设f(x)=其中为f(x)的一个解，则:()

A.彳三7(modp)一定为=0(mod//),a>1的一个解

B.才三双(mod//),6>1,一定为/,(x)三O(mod叫的一个解

C.

D.若x三天(mod沏(X)三O(modp°)的一个角氧贝U有/三%(modp)

10.则同余式

:()

A.有时大于p但不大于n;B.可超过p

C.等于pD.等于n

11.若2为模p的平方剩余，则p只能为下列质数中的:()

A.3B.11C.13D.23

12.若雅可比符号，则()

A.同余式r?=a(modm)一定有解，

B.当(a,m)=1时,同余式/三。(modp)有解;

C.当m=p(奇数)时,同余式/三。(modp)有解;

D.当。=p(奇数)时,同余式X?=6z(m(xlp)有解.

13.()

A.4B.3C.2D.1

14.模12的所有可能的指数为;()

A,1,2,4B.1,2,4,6,12C.1,2,3,4,6,12D.无法确定

15.若模m的单根存在，下列数中,m可能等于：()

A.2B.3C.4D.12

16.对于模5,下列式子成立的是:()

A.B.

C.D.

17.下列函数中不是可乘函数的是：()

A.茂陛鸟斯(mobius涵数w(a);

B.欧拉函数；

C.不超过x的质数的个数；

D.除数函数；

18.若对模的指数是,>0,>0,则对模的指数是()

A.B.C.D.无法确定

19,,均为可乘函数，则()

A.为可乘函数；B.为可乘函数

C.为可乘函数；D.为可乘函数

20.设为茂陛乌斯函数，则有（）不成立

A.B.C.D.

二.填空题：（每小题1分，共10分）

21.3在45中的最高次n=；

22.多元一次不定方程：，其中，，…，，N均为整数，，有整数解的充分必要条件是

23.有理数，，，能表成纯循环小数的充分必要条件是；

24.设为一次同余式，的一个解，则它的所有解为;

25.威尔生（wilson）定理:；

26.勒让德符号=;

27.若，则是模的平方剩余的充分必要条件是（欧拉判别条件）；

28.在模的简化剩余系中，原根的个数是；

29.设，为模的一个原根，则模的一个原根为;

30.o

三.简答题：（5分/题X4题=20分）

31.命题“任意奇数的平方减1是8的倍数”对吗？说明理由。

32.“若，通过模的简化剩余系，则也通过模的简化剩余系”这命题是否正确？正确请证明,

不正确请举反例。

33.求模17的简化剩余系中平方剩余与平方非剩余。

34.设为的标准分解式，记为的正因数的和，为的正因数的个数，则=?=?

为什么？

叫计算题。（7分/题X4题=28分）

35.求不定方程6x+93y=75的一切整数解。

36.解同余方程组

37.解同余式三ll（modl25）

38.求模13的所有原根。

五、证明题：（7分/题X2题=14分）

39、试证：，（x,y）=ly是偶数的整数解可写成：

x=±（/-2b2）y=2abz=/+2b2

这里，，并且一为奇数，一为偶数。

40、设a为正整数，试证；

工及d）=£（/）（*）=a

d\ad\aa

其中Z表示展布在a的一切正因数上的和式。

d\a

六、应用题：（8分）

41、求30!中末尾0的个数。

参考答案：一.单项选择：ABCDD：DACCB；DCAAD；BCBAB。

x=±56(mod125)解毕。

38.解：为其质因数

，故g为模13的原根的主要条件是：

9

用g=l,2,……12逐一验证,得:2,6,7,11为模13的原根,

因为，故模13原根只有4个，即为所求。

五、证明题：

39.证明：易验证所给的解为原方程的解，因y为偶数，原方程可化为:

z、2

z+xz-x_r

~22~~<2>

z+xz-xyz+xz-x

但-----=Z

22J22}

(z+x—z-xJYf'l—z+x—z-x、J=x

而，所以(，)二1

由书中引理，我们可假设

=，=b

显然>b,(,b)=l,于是

X=-b,z=+,y=2

因子为奇数，所以，b一定是一为奇，一为偶，证毕

40.证明：假定.一,为的所有正约数.那末

也是的所有正约数，于是

阿)。

2d/a2dja4〃)

再因为在。的完全剩余系中任一数〃的最大公约数

必定是，一，中某一个数，而完全剩余系中与的最

大公约数为的数有，所以：

牙号证毕

六.应用题：

41.解：5在30!中的最高次累=++

=6+1+0=7

2在30!的最高次累=++++

=15+7+3+1+0=26

10=2X5,故30!的末尾有7个零。

初等数论模拟试题二

一、单项选择题

1.(C).

AbB-bC\b\D0

2.如果,,则(D).

Aa=bBa=-bCa<bD_a=±b

3如果，贝！|=(C).

AaBbC1Da+b

4.小于30的素数的个数(A).

A10B9C8D7

5.大于10且小于3()的素数有(C).

A4个B5个C6个D7个

6.如果，，则15(A).

A整除B不整除C等于D不一定

7、在整数中正素数的个数(C).

A有1个B有限多C无限多D不一定

二、计算题

I、求24871与3468的最大公因数？

解：24871=34687+595

3468=595x5+493

595=493x1+102

493=102x4+85

102=85x1+17

85=17x5,

所以，(24871,3468)=17.

2、求[24871,3468]=?

解：因为

(24871,3468)=17

所以

24871x3468

[24871,3468]=

17

=5073684

所以24871与3468的最小公倍数是50736840

3.求[136,221,391]=?

解：[136,221,391]=[[136,221],391]

=[136><221,391]=[1768,391]

17

1768x391...................

=----------=104x391=40664.

17

二、证明题

1、如果〃力是两个整数,〃A0,则存在唯一的整数对使得。=的+厂,其中。以Y/九

证明：首先证明唯一性.设，是满足条件的另外整数对，即

a=bq+rf,0<rYh.

所以bq'+r'=bq+r,即b(，_q)=rT,目4'一q|=卜一/|•又由于0K〃Y/?,()</Y/?,所

以卜一"Yh如果w/,则等式相'—4=|一r]不可能成立.

因此........................

其次证明存在性.我们考虑整数的有序列

...,—3b,—2Z?,—Z?,0,/?,2Z?,3Z?,...

则整数。应介于上面有序列的某两数之间，即存在一整数9使

qb4aY(q+1%.

2、我们设，则有，.......

证明对于任意整数，数是整数.

证明：因为==,

而且两个连续整数的乘积是2的倍数,3个连续整数的乘积是3的倍数，

并且⑵3)=1,

所以从21Mt+1)(〃+2)和*(〃+1)(〃+2)有6|〃。2+1)(〃+2),

3、即是整数...........

4、任意一个〃位数。…。2al与其按逆字码排列得到的数%心…见1。〃的差必是9的倍数

证明：因为

1

anan_x…%卬=x10〃+Q〃_1x10〃？+…+x10+q,

a\ai'''an-\an~a\xlO'I+〃2x]0〃2+---xlO+Q〃，

所以，明见1……%.1。“二

-3

anX(10'1-1)+4Txl0(l(r_1)+…

+生X1O(1-1O'T)+4(1—10，I)

而上面等式右边的每一项均是9的倍数，

5、于是所证明的结论成立...............

6、证明相邻两个偶数的乘积是8的倍数.

证明：设相邻两个偶数分别为2%(2〃+2)

所以2/7(27?+2)=4〃(〃+1)

而且两个连续整数的乘积是2的倍数

即是8的倍数.........

初等数论模拟试题三

一、单项选择题

1.如果(A),则不定方程有解.

A(<?,b)\cBc|(a,b)Ca\cD(a,b)\a

2.不定方程(A).

A有解B无解C有正数解D有负数解

二、求解不定方程

1、9工+21)，=144.

解：因为(9,21)=3,，所以有解;

化简得3x+7y=48;

考虑，有，

所以原方程的特解为，

因此，所求的解是。

2、6,v-17y=18.

解：因为，所以有解；

考虑6x-17y=l,x=3,y=1;

所以x=54,y=18是特解，

即原方程的解是

x=54-17r,y=18-6r

3、107x+37y=25.

解：因为(107,37)=1,所以有解；

考虑107x+37y=l,

有，

所以，原方程特解为=225,=-650,

所以通解为x=225+37f,y=-650-107，

4.求不定方程25x+13)，+7z=4的整数解.

解我们将它分为两个二元一次不定方程来求解

25x+13y=t,t+7z=4.

利用求二元一次不定方程的方法，因为

25(-t)+13(2t)=t,32+7x(-4)=4,

所以，上面两个方程的解分别为

尤=—1+13匕/=32+7%2

J

[y=2t-25k}[Z=T-22

消去t就得到所求的解

x=-32+13占一7±2

•》=64—25匕+14h,

z=-4-k2

这里匕，心是任意整数.

5.求不定方程4工一9)，+52=8的整数解.

解我们将它分为两个二元一次不定方程来求解

4x-9y=t,t+5z=8.

利用求二元一次不定方程的方法,因为

4(-2t)-9(-t)=t,48+5x(-8)=8,

所以，上面两个方程的解分别为

x=-2/-9匕Jr=48+5k2

y=-t-4k]，[z=-8-Zr2

消去t就得到所求的解

x=-96-9^-10A2

«y=-4S-4k[-5k1,

z=-8-&

这里占，&是任意整数.

初等数论模拟试题四

一、选择题

1.整数5874192能被(B)整除.

A3B3与9C9D3或9

2.整数637693能被(C)整除.

A3B5C7D9

3.模5的最小非负完全剩余系是(D).

A-2,-1,0』,2B-5,-4,-3,2-lC123,4,5D0,1,2,3,4

4.如果，是任意整数，则(A)

Aac=/?c(mod/n)Ba=bCacTZ?c(mod/«)Dawb

二、解同余式(组)

(1)45x=21(modl32).

.因为(45,132)=3；21,所以同余式有3个解...

将同余式化简为等价的同余方程

我们再解不定方程

15x-44y=7,

得到一解(21,7)..................

于是定理4.1中的...........

因此同余式的3个解为

x三21(modl32),

132

x三21+——(modi32)三65(modl32),

(2)12x+15三0(mod45)

.因为(12,45)=3；15,所以同余式有解,而且解的个数为3..

又同余式等价于，即....

我们利用解不定方程的方法得到它的一个解是(10,3),

即定理4.1中的..............

因此同余式的3个解为

x=10(mod45),

x=10+—(mod45)=25(mod45),

45

X三10+2x—(mod45)=40(mod45).

(3)\\ix=75(mod321).

.因为(111,321)=3；75,所以同余式有3个解...

将同余式化简为等价的同余方程

我们再解不定方程

37x+107y=25,

得到一解(-8,3).................

于是定理4.1中的...........

因此同余式的3个解为

x=-8(mod321),

321

x三一8+丁(mod321)三99(mod321),

x=l(mod7)

⑷<x=2(mod8).

r=3(mod9)

解因为(7,8,9)=1,所以可以利用定理5.1.我们先解同余式

72x=l(mod7),63x=l(mod8),56x=l(mod9),

得到司=4(mod7),x2=—l(mod8),X3=—4(mod9).于是所求的解为

x=72x4xl+63x(-l)x2+56x(-4)x3(mod494)

=-510(mod494)=478(mod494).

x=l(mod2)

x=2(mod5)

(5)<.

x=3(mod7)

x三5(mod9)

(参考上题)

三、证明题

1、如果整数。的个位数是5,则该数是5的倍数.

证明设。是一正整数，并将。写成10进位数的形式：

>,•

因为10=0(mod5),

所以我们得到

〃三%(mod5)

所以整数的个位数是5,则该数是5的倍数………

2、证明当是奇数时，有.

证明因为2三一l(mod3),所以

于是,当n是奇数时,我们可以令n=2k+l.

从而有2〃+1三(-1严+1=0(mod3),

即.............................

初等数论模拟试题四

1、一、计算：

判断同余式是否有解？

(答：无解。方法参照题2)

2、判断同余式是否有解？

’365、

解我们容易知道1847是素数，所以只需求的值.

如果其值是1,则所给的同余式有解,否则无解

365573、

因为365=5x73,所以

<1847；<1847；1847>

518472

再5=l(mod4),73=l(mod4),所以

1847575

3、所以.=1.于是所给的同余式有解........

4、11的平方剩余与平方非剩余.

.因为，所以平方剩余与平方非剩余各有5个...

52=3

又因为I2=1,22=4,32=9.42=5,",

5、所以，1,3,4,5,9是素数11的5个平方剩余.其它的8个数，2,6,7,8,10是素数11的

平方非剩余................

429

6、计算，其中563是素数.

563

,429、429-1563-1,563、

二(-1尸丁<429J

<563,

_，563］J134、/2丫67、429-167、

"<429J=1429>.429J1429,=(-»8

1429；

(色］=_(T)竽号(当］=J史］

(42“<67J167J

167；U7；127；

=—=(-1)亍丁上=—=1,

127；U3；113；

即429是563的平方剩余..

5.计算(计算方法参照题4)

1、二、证明题：

2、证明相邻两个整数的立方之差不能被5整除.

证明因为5+1)3-/=3/+3/2+1,

所以只需证明3〃2+3〃+lT(mod5).

而我们知道模5的完全剩余系由-2,-1,0,1,2构成，

所以这只需将n=O,_L1,_L2代入分别得值1,7,1,19,7.

对于模5,的值1,7,1,19,7只与1,2,4等同余，

所以3/72+3〃+1T(mod5)

所以相邻两个整数的立方之差不能被5整除。

3、证明形如4〃-1的整数不能写成两个平方数的和.

证明设〃是正数，并且〃三一l(mod4),

如果〃=—+)/,

则因为对于模4,X,y只与0,1.2,-1等同余，

所以一,/只能与o,i同余，

所以/+y2三o,i,2(mod4),

而这与的假设不符.即定理的结论成立.

3.一个能表成两个平方数和的数与一个平方数的乘积，仍然是两个平方数的和;两个能表成两个

平方数和的数的乘积，也是一个两个平方数和的数.(11分)

证.(1)设，则显然.....

(2)如果〃=。2+1,那么

4二二

5、素数写成两个平方数和的方法是唯一的.

证明设p=a?=c?+42,则p2=(a2+/?2)(c2+J2)=(ac+be!)?+(ad-be)2

=(ac-bd)2+(ad+be)2.

又(ac+bd)(ad+be)

=(a2+b2)cd+(c2+d2)ab=p(ab+cd),

所..如果，那么，将其代入前面的表达式，则..

所以=0,即。=rc,h=rd.于是p=a2-vb~=r2(c24-J2),即必有a=c,b=d.

如果+力c),那么adIbc=Ap,我们将其代入前面p?的表达式后与上面的方法一致，可以得

到。二法,"=%.于是(1+/)/=(1+/)°2,即必有人二0,所以〃=1

初等数论考试试卷1

一、单项选择题(每题3分，共18分)

1、如果，,则().

Aa=hBa=—bCci<bDa=±b

2.如果，，则15().

A整除B不整除C等于D不一定

3.在整数中正素数的个数（）.

A有1个B有限多C无限多D不一定

4.如果，是任意整数，则

A«c=Z?c（modw）Ba=bc«cyMmod/n）D0手b

5.如果（），则不定方程有解.

AS2）|cBd（“"）ca\cD,

6.整数5X74192能被（）整除.

A3B3与9C9D3或9

二、填空题（每题3分，共18分）

1.素数写成两个平方数和的方法是（）.

2.同余式有解的充分必要条件是（）.

3.如果是两个正整数，则不大于而为的倍数的正整数的个数为（）.

4.如果是素数，是任意一个整数，则被整除或者（）.

5.的公倍数是它们最小公倍数的（）.

6.如果是两个正整数，则存在（）整数，使，.

三、计算题（每题8分，共32分）

1.求口36,221,391]=?

2.求解不定方程.

3.解同余式.

4.求，其中563是素数.（8分）

四、证明题（第1小题10分,第2小题11分，第3小题11分，共32分）

1.证明对于任意整数，数是整数.

2.证明相邻两个整数的立方之差不能被5整除.

3.证明形如的整数不能写成两个平方数的和.

试卷1答案

一、单项选择题（每题3分，共18分）

I.D.2..3..4..5..6..

二、填空题（每题3分，共18分）

1.素数写成两个平方数和的方法是（唯一的）.

2.同余式有解的充分必要条件是（）.

3.如果是两个正整数，则不大于而为的倍数的正整数的个数为（）.

4.如果是素数，是任意一个整数，则被整除或者（与互素）.

5.的公倍数是它们最小公倍数的（倍数）.

6.如果是两个正整数，则存在（唯一）整数，使，.

1、三、计算题（每题8分，共32分）

2、求[136,221,391]=?（8分）

解[136,221,391]

-[[136,221],391]

136x221

,391

<17]

=[1768,391](4分)

1768x391

17

=104^391

=40664---------(4分)

2.求解不定方程.（8分）

解：因为（9,21）=3,,所以有解;（2分）

化简得3X+7），=48；（1分）

考虑，有，（2分）

所以原方程的特解为，-----（1分）

因此，所求的解是。-（2分）

3.解同余式..（8分）

.因为（12,45）=3；5,所以同余式有解,而且解的个数为3...（1分）

又同余式等价于，即....（1分）

我们利用解不定方程的方法得到它的一个解是（10,3）,（2分）

即定理4.1中的....（1分）

因此同余式的3个解为

x=10(mod45)（1分）

45

x三10+—(mod45)=25(mod45)

（1分）

45

x=10+2x—(mod45)=40(mod45)

（1分）

4.求，其中563是素数.（8分）

429、

解把563>看成Jacobi符号,我们有

,429、429-1563-1563、

=(-1)22

^563；429？

’563、」34、267、429--167

=(-D三

<429><429>1429人429J429（3分）

（2分）

即429是563的平方剩余……（1分）

四、证明题（第1小题1。分，第2小题11分，第3小题11分，共32分）

1、证明对于任意整数，数是整数.（10分）

—I----1———（2+3〃+〃2）—〃（〃+1）（〃+2）

证明因为326=6=6,------（3分）

而且两个连续整数的乘积是2的倍数,3个连续整数的乘积是3的倍数，——（2分）

并且⑵3）=1,-----（1分）

所以从2,5+1)(〃+2)和*5+1)5+2)有电(〃+1)5+2)_____(3分)

即是整数（1分）

2、证明相邻两个整数的立方之差不能被5整除.（11分）

证明因为5+1）3-/=3//+3〃+1,-------------（3分）

所以只需证明3必+3〃+1T（mod5）

而我们知道模5的完全剩余系由-2,-1,0,1,2构成，

所以这只需将"0,±1,±2代入分别得值1,7,1,19,7.

对于模5,的值1,7,1,19,7只与1,2,4等同余，

所以3〃2+3〃+lT（mod5）---------（7分）

所以相邻两个整数的立方之差不