初中数学60个几何模型专题复习：模型 11 角平分线模型

模型11角平分线模型

模型展现

基址模型

特点0P平分ZMON,PA10M于点A,PB10N于点B

结论PA=PB,OA=OB,ZAPO=ZBPO,ZOAP=ZOBP

结论分析

结论:PA=PB,OA=OB,NAPO=NBPO,NOAP=NOBP

证明:TOP平分NMON,

/.ZAOP=ZBOP,

在AAOPfllABOP中，

LAOP=JLBOP

乙OAP=LOBP=90。,

OP=OP

:.AAOP^ABOP(AAS),

.•.PA=PB,OA=OB,ZAPO=ZBPO,ZOAP=ZOBP.

模型拓展

?怎么用

1.找模型

遇到图形中含角平分线，考虑用角平分线模型

2.用模型

直接用角平分线性质，或构造等腰三角形、全等三角形解决相关问题

满分技法

1角平分线的性质：①角平分线平分角；②角平分线上的点到角两边的距离相等；

2.常见

辅助线作

法，构造等在ON上截取OB=OA,连过点P作PQ〃ON交OM

延长AP交ON于点B

腰或全等三接PB于点Q

角形.辅助线

作法

PA=PB,PA=PB,OQ=PQ,

结论

NAPO=NBPOOA=OBZQOP=ZQPO

模型典例

例模型构造在仆ABC中,BD平分NABC.

(1)如图①，若/C=2NA,BC=16,CD=8,则线段AB的长为

例题图①

(2)如图②.过点C作CE_LBD于点E,NABC=66o,NBCD=80。,则NDCE的度数为

例题图②

⑶如图③，过点D作DE〃BC交AB于点E,NA=5()o,NADE=70。.若BE=2,则线段BD的长为

例题图③

针对训练

1.如图，在四边形ABCD中,/A=9(r,AD=6,BC=10,对角线BD平分/ABC,则.SBCD=()

A.10B.15C.30D.40

第1题图第2题图

2.如图，在△ABC中.AB=AC=8,NABC=3()o,AD是^ABC的高.AE平分NBAD,过点D作DF〃AB交AE的延

长线于点F,则DF的长是()

A.2B.4C.6D.8

3.模型叠加如图.在RIAABC+.ZA=90°,AB=AC,BD平分NABC,过点C作CE1BD交BD的延长线于点E,

模型II角平分线模型

模型典例

例(1)24【解析】如解图①，在AB边上截取BF=BC,连接DF,VBD是NABC的平分线.工ZABD=ZCBD,SA

BDFBDC中，

BD=BD

•乙ABD=LCBD,，ABDF^Z\BDC(SAS),

BF=BC

/.ZC=ZBFD,VNC=2NA,・・.NBFD=2NA.・・・NA=/FDA,，AF=FD=CD(等腰三角形两腰相等),.IAB=BF+A

b=BC+UD=16+8=24.

图①图②

例题解图

(2)23°【解析】丁BD平分/ABC，NABD:NCBD「.・CE±BD,，如解图②，延长CE交AB于点F,

ABF=BC,ZBFE=ZBCE,VZABC=66°,

ZFCF=ZFFC=1(180。-Z/1BC)=57°,

*/ZBCD=80°,.\ZDCE=80°-57°=23°.

(3)275【解析】•・•BD平分NABC,・・・NABD=NCBD「・・DE〃BC,，ZEDB=ZCBD,AZABD=ZEDB,.\EB

=ED,又＜ZA=50°,ZADE=70o,r.ZAED=60。,又「ZAED=ZEBDiZEDB,.\NEBD=30。.如解图③，过点E作EF

±BD于点F,在RtABEF中，BF=BE•cos30。=V3,：♦BD=2BF=2百.

例题解图③

针对训练

1.C【解析】如解图.过点D作DE_LBC于点EMBD平分NABC,DEJ_BC,NA=9()o,・,.DE=DA=6,二SBCD=1

^C-D£=-xl0x6=30.

2

2.B【解析】：△ABC是等腰三角形,AD_LBC,・・・NBAD二NCAD(“三线合一''性质)「・,ZABC=30°,AZBA

D=601ZADB=90°,VAE是/BAD的平分线,，ZDAE=ZBAE=30°,VDF〃AB,；・ZF=ZBAE=

30°,・・・ZDAF=ZF=30°,/.AD=DF,VAB=8,48=30°,二AD=^AB=4,/.DF=4.

3.B【解析】如解图,延长CE.BA交于点F「・・CE_LBD交BD的延长线于点E.NBAC=90。,，ZBAD=ZCED.

NABD=NACE("8字''模型)，又,.,AB=AC,NBAD=NCAF=90<>,・・・Z\ABDgZ\ACF(ASA),・・.BD=CF,：BD平分NA

BC,.\ZCBE=ZFBE,VBE=BE,ZBEC=ZBEF=90\AABCE^ABFE(ASA),ACE=EF,ABD=CF=2CE,VCE=4,.\B

D=8.

第3题解图第4题解图

4.(I)证明：•・•PDJ_OA,PEJ_OB,・•・NPEO=NPDO=9()。,在△OEP和△ODP中,

LEOP=乙DOP

乙PEO=Z.PDO,

OP=OP

；・AOEP^AODP(AAS),

；・PE=PD;

(2)解:如解图，过点O分别作OE1AB于点E,OF±AC于点F,

,/BO,CO分别平分/ABC不口/ACB,

.\EO=DO,FO=DO,

,:OD=3,