专题4.1 指数运算（知识解读）（含解析）（人教A版2019必修第一册）【考点精练】2022-2023学年高一数学

专题4.1指数运算（知识解读）【学习目标】1.理解n次方根、根式、分数指数幂的概念；2.正确运用根式运算性质和有理指数幂的运算性质；3.培养学生认识、接受新事物和用联系观点看问题的能力。【知识点梳理】知识点1：整数指数幂1、正整数指数幂的定义：，其中，2、正整数指数幂的运算法则：①（）②（，，）③（）④（）⑤（）知识点2：根式1、次根式定义：一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，且.特别的：①当是奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数.这时，的次方根用符号表示.②当是偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数.这时，正数的正的次方根用符号表示，叫做的次算术根；负的次方根用符号表示.正的次方根与负的次方根可以合并写成().③负数没有偶次方根；④的任何次方根都是，记作2、根式：式子叫做根式，这里叫做根指数，叫做被开方数．在根式符号中，注意：①，②当为奇数时，对任意都有意义③当为偶数时，只有当时才有意义.3、与的区别：①当为奇数时，（）②当为偶数时，（）③当为奇数时，且，④为偶数时，且，知识点3：分式指数幂1、正数的正分数指数幂的意义是（，，）于是，在条件，，下，根式都可以写成分数指数幂的形式.2、正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定，（，，）.3、的正分数指数幂等于，的负分数指数幂没有意义.知识点4：有理数指数幂①（，）②（，）③（，）知识点5：无理数指数幂①（，）②（，）③（，）【典例分析】【考点1根式的概念及意义求参】【典例1】（2022·全国·高一课时练习）已知，那么等于（

）A．3 B． C．或3 D．不存在【变式1】（2022·江苏·泰州中学高一阶段练习）已知，则x的值为（

）A． B． C． D．【典例2】（1）（2021·全国高一专题练习）若，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．（2）（2021·全国高一专题练习）若有意义，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．【变式2-1】（多选）（2021·全国高一课时练习）若，，则下列四个式子中有意义的是（）A． B．C． D．【变式2-2】（2021·全国高一专题练习）已知a∈R，n∈N*，给出四个式子：①；②；③；④，其中没有意义的是________.(只填式子的序号即可)【考点2根式的形式化简】【典例2】（2021·全国）化简，结果是（）A．6x―6 B．―6x+6 C．―4 D．4【变式2-1】（2021·全国高一专题练习）当有意义时，化简的结果是________．【变式2-2】（2022·青海西宁·高一期末）若，，则等于（

）A． B． C． D．【变式2-3】（2021·上海高一专题练习）求下列各式的值.（1）；（2）；（3）；（4）.【考点3根式与分数指数幂的互化】【典例3】（2021·上海高一专题练习）将下列根式化成有理数指数幂的形式：（1）（a>0）；（2）（x>0）；（3）（b>0）.【变式3-1】（2022·江苏·扬中市第二高级中学高一开学考试）化简得A． B． C． D．【变式3-2】（2022·湖南·高一课时练习（理））化简（式中字母都是正数）：(1)；(2)．【考点4分数指数幂的运算性质化简求值】【典例4】（2021·全国高一课时练习）化简下列各式：（1）；（2）；（3）＋＋－×.【变式4-1】（2021·全国）计算__________；若，则_________．【变式4-2】（2021·全国高一课时练习（理））计算：________.【变式4-3】（2022·江苏·高一）计算：．.【考点5整体代换法求分数指数幂】【典例5】（2022·江苏·高一单元测试）已知，求下列各式的值：（1）；（2）；（3）.【变式5-1】（2021·全国）若，则________．【变式5-2】（2021·全国高一课时练习）已知，其中，求的值．【变式5-3】（2021·江西高安中学高一月考）计算：（1）；（2）已知：，求的值．专题4.1指数运算（知识解读）【学习目标】1.理解n次方根、根式、分数指数幂的概念；2.正确运用根式运算性质和有理指数幂的运算性质；3.培养学生认识、接受新事物和用联系观点看问题的能力。【知识点梳理】知识点1：整数指数幂1、正整数指数幂的定义：，其中，2、正整数指数幂的运算法则：①（）②（，，）③（）④（）⑤（）知识点2：根式1、次根式定义：一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，且.特别的：①当是奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数.这时，的次方根用符号表示.②当是偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数.这时，正数的正的次方根用符号表示，叫做的次算术根；负的次方根用符号表示.正的次方根与负的次方根可以合并写成().③负数没有偶次方根；④的任何次方根都是，记作2、根式：式子叫做根式，这里叫做根指数，叫做被开方数．在根式符号中，注意：①，②当为奇数时，对任意都有意义③当为偶数时，只有当时才有意义.3、与的区别：①当为奇数时，（）②当为偶数时，（）③当为奇数时，且，④为偶数时，且，知识点3：分式指数幂1、正数的正分数指数幂的意义是（，，）于是，在条件，，下，根式都可以写成分数指数幂的形式.2、正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定，（，，）.3、的正分数指数幂等于，的负分数指数幂没有意义.知识点4：有理数指数幂①（，）②（，）③（，）知识点5：无理数指数幂①（，）②（，）③（，）【典例分析】【考点1根式的概念及意义求参】【典例1】（2022·全国·高一课时练习）已知，那么等于（

）A．3 B． C．或3 D．不存在【答案】C【解答】∵，∴．故选：C．【变式1】（2022·江苏·泰州中学高一阶段练习）已知，则x的值为（

）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：由根式的定义知，则.故选：B.【典例2】（1）（2021·全国高一专题练习）若，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．（2）（2021·全国高一专题练习）若有意义，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】（1）B（2）B【解答】（1）根据根式和指数幂的运算性质，因为，可化为，即，可得，所以，即．故选：B.（2）由，要使得有意义，则满足，解得，即实数的取值范围为．故选：B．【变式2-1】（多选）（2021·全国高一课时练习）若，，则下列四个式子中有意义的是（）A． B．C． D．【答案】AC【解答】A选项中，为偶数，则恒成立，A中式子有意义；B选项中，，无意义；C选项中，为恒大于或等于0的数，有意义；D选项中，当时，式子无意义．故选：AC．【变式2-2】（2021·全国高一专题练习）已知a∈R，n∈N*，给出四个式子：①；②；③；④，其中没有意义的是________.(只填式子的序号即可)【答案】③【解答】①中，(－2)2n>0，∴有意义；②中，根指数为5，∴有意义；③中，(－3)2n＋1<0，∴没有意义；④中，根指数为9，∴有意义.故答案为：③【考点2根式的形式化简】【典例2】（2021·全国）化简，结果是（）A．6x―6 B．―6x+6 C．―4 D．4【答案】D【解答】∵，∴，∴，∴故选：D.【变式2-1】（2021·全国高一专题练习）当有意义时，化简的结果是________．【答案】【解答】由有意义，得．所以．故答案为：【变式2-2】（2022·青海西宁·高一期末）若，，则等于（

）A． B． C． D．【答案】D【解答】因为，，所以.故选：D【变式2-3】（2021·上海高一专题练习）求下列各式的值.（1）；（2）；（3）；（4）.【答案】（1）-2；（2）；（3）π-3；（4）.【解答】（1）=-2；（2）；（3）=|3-π|=π-3；（4）原式=，当x≥y时，原式=x-y+y-x=0；当x<y时，原式=y-x+y-x=2（y-x）.所以原式=【考点3根式与分数指数幂的互化】【典例3】（2021·上海高一专题练习）将下列根式化成有理数指数幂的形式：（1）（a>0）；（2）（x>0）；（3）（b>0）.【答案】（1）；（2）；（3）.【解答】（1）原式====.（2）原式======.（3）原式===.【变式3-1】（2022·江苏·扬中市第二高级中学高一开学考试）化简得A． B． C． D．【答案】A【解答】依题意，原式.故选：A【变式3-2】（2022·湖南·高一课时练习（理））化简（式中字母都是正数）：(1)；(2)．【答案】(1)(2)(1)(2)【考点4分数指数幂的运算性质化简求值】【典例4】（2021·全国高一课时练习）化简下列各式：（1）；（2）；（3）＋＋－×.【答案】（1）；（2）；（3）.【解答】（1）原式；（2）原式；（3）原式.【变式4-1】（2021·全国）计算__________；若，则_________．【答案】【解答】由由故答案为：；．【变式4-2】（2021·全国高一课时练习（理））计算：________.【答案】【解答】原式答案：.【变式4-3】（2022·江苏·高一）计算：．【答案】.原式=.【考点5整体代换法求分数指数幂】【典例5】（2022·江苏·高一单元测试）已知，求下列各式的值：（1）；（2）；（3）.【答案】（1）7；（2）47；（3）或.，即