求椭圆离心率的7类题型 专题讲义-2022-2023学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

求椭圆离心率的7类题一.直接型1．椭圆的离心率是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出，从而求出离心率.【详解】由题意得：，故，故离心率为故选：B2．若一个椭圆的长轴长和焦距之和为短轴长的两倍，则该椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由题意列出关系式，结合与可求出椭圆的离心率．【详解】椭圆的长轴长和焦距之和为短轴长的两倍，，即，又，，，，又，则，因此椭圆的离心率为．故选：B．3．已知为椭圆上的点，点到椭圆焦点的距离的最小值为，最大值为1，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据点到椭圆焦点的距离的最小值为，最大值为18，列出a,c的方程组，进而解出a,c，最后求出离心率.【详解】因为点到椭圆焦点的距离的最小值为，最大值为18，所以，所以椭圆的离心率为：.故选：B.二.根据图形特征求解4．已知椭圆的左、右焦点分别为，，若椭圆上一点P满足，且，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据椭圆的几何性质列式求解离心率即可.【详解】解：如图，设，∴，∵∴，∴离心率.故选：C．5．已知椭圆上一点，它关于原点的对称点为，点为椭圆右焦点，且满足，设，且，则该椭圆的离心率的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】设椭圆得左焦点为，连接，则四边形为矩形，从而有，由，可得，再根据椭圆的定义计算即可得解.【详解】解：如图所示，设椭圆得左焦点为，连接，则四边形为矩形，则，所以，在中，由，得，所以，所以，因为，所以，所以，所以.故选：B.6．已知椭圆与双曲线有相同的焦点，，其中为右焦点，两曲线在第一象限的交点为，离心率分别为，．若线段的中垂线经过点，则（

）A． B．2 C． D．3【答案】B【分析】设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，焦距为，利用中垂线可得到，利用椭圆和双曲线的定义可得到，即可求得答案【详解】设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，焦距为，因为线段的中垂线经过点，所以是以为底边的等腰三角形，则，由椭圆和双曲线的定义可得，两式相加得，两边同时除以得，所以，故选：B7．已知，分别为椭圆E：的左、右焦点，E上存在两点A，B使得梯形的高为c（其中c为半焦距），且，则E的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据，可得，则，为梯形的两条底边，作于点P，所以，则可求得，再结合，建立的关系即可得出答案.【详解】如图，因为，所以，则，为梯形的两条底边，作于点P，则，因为梯形的高为c，所以，在中，，则即．设，则，在，即，解得，同理，又，所以，即，所以.故选：A．8．椭圆的左、右焦点分别为，焦距为，若直线与椭圆C的一个交点M满足，则该椭圆的离心率等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先根据的斜率得到，，，结合椭圆定义得到，，由勾股定理列出方程，求出离心率.【详解】因为经过左焦点，且斜率为，故，所以，所以，则，设，则，由椭圆的定义可知：，即，解得：，所以，，由勾股定理得：，故，解得：，故椭圆离心率.故选：A三.应用二级结论(斜率之积,通径,顶角最大等)9．椭圆的左顶点为，点均在上，且关于原点对称.若直线的斜率之积为，则的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】设，再根据直线的斜率之积为列式，结合椭圆的方程化简即可.【详解】设且，则.又，故，故，所以.故选：B10．椭圆：的上顶点为，点，均在上，且关于轴对称，若直线，的斜率之积为，则的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】设P点坐标，Q点与P点关于x轴对称，坐标可用P点坐标表示，代入斜率之积的关系式，再结合椭圆方程，化简可得a与b的关系，即可求出离心率.【详解】，设，则，则，，，又，则，所以，即，所以椭圆的离心率，故选：C.11．已知是椭圆E的两个焦点，P是E上的一点，若，且，则E的离心率为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由得焦点三角形为直角三角形，结合勾股定理与椭圆定义可得，再由面积公式可得齐次方程，进而求出离心率【详解】由得，则，由椭圆定义可知：，所以，即，所以，又，所以，即，故E的离心率为.故选：C.12．已知是椭圆的两个焦点，P是椭圆上一点，且，则该椭圆离心率的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据给定的条件，结合直角三角形性质可得半焦距c与短半轴长b的关系，再求解作答.【详解】令椭圆长半轴长为a，短半轴长为b，半焦距为c，依题意，是直角三角形，而坐标原点O为斜边的中点，则，而，即有，，，即，于是得，所以椭圆离心率的取值范围是.故选：D13．已知P为椭圆上一点，，是椭圆的左、右焦点，若使为直角三角形的点P有且只有4个，则椭圆离心率的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】首先考虑通径上有四个点满足题意，然后根据以为直径的圆与椭圆无交点得到关于，，的不等式，通过不等式求解椭圆离心率即可.【详解】方法一：当轴时，有两个点满足为直角三角形；同理当轴时，有两个点满足为直角三角形．∵使为直角三角形的点有且只有4个，∴以原点为圆心，c为半径的圆与椭圆无交点，∴，∴，∴，又，解得.方法二：由题意为直角三角形的点有且只有4个，根据椭圆的几何性质可知，当点落在椭圆的短轴端点时，取得最大值，可得此时,又，故.故选：A．14．已知椭圆，，分别为椭圆的左右焦点，若椭圆C上存在点（）使得，则椭圆的离心率的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用结论建立不等式即可求解.【详解】根据题意作图如下：由图可得：当点P在椭圆的上（下）顶点处时，最大，要满足椭圆C上存在点（）使得，则，∴，即：，整理得：，又，∴得到：，∴，∴椭圆离心率的取值范围为，故选:B．四.结合三角形正弦定理15．已知双曲线左，右焦点分别为，若双曲线右支上存在点使得，则离心率的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】在中，由正弦定理可得，再由已知可得，根据点在双曲线右支上，得到关于的不等式，从而可求出的范围.【详解】由题意可得点不是双曲线的顶点，否则无意义在中，由正弦定理得，因为，所以，所以，因为点在双曲线右支上，所以，所以，得，由双曲线的性质可得，所以，化简得，所以，解得，因为，所以，即双曲线离心率的取值范围为，故选：C16．油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的历史，为宣传和推广这一传统工艺，北京市文化宫开展油纸伞文化艺术节.活动中，某油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图所示，该伞伞沿是一个半径为2的圆，圆心到伞柄底端距离为2，当阳光与地面夹角为60°时，在地面形成了一个椭圆形影子，且伞柄底端正好位于该椭圆的长轴上，若该椭圆的离心率为，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由题意，结合椭圆定义可得椭圆的短半轴为2，再根据正弦定理求得长半轴，即可由求得离心率【详解】如图所示，伞柄底端正好位于该椭圆的长轴上，伞沿是一个半径为2的圆，故椭圆的短半轴长，圆心到伞柄底端距离，阳光与地面夹角，直径，，则，由正弦定理得，得，故故选：B17．已知，分别是椭圆的左，右焦点，若在椭圆上存在点，使得的面积等于，则椭圆的离心率的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用三角形的面积公式，结合椭圆的定义和基本不等式求解即可.【详解】由题意得，而，则有，由椭圆定义可得，当且仅当，即时取等号，于是有，则，又，即有，所以椭圆的离心率的取值范围为.故选：A.18．已知O为坐标原点，焦点在x轴上的曲线C：的离心率满足，A，B是x轴与曲线C的交点，P是曲线C上异于A，B的一点，延长PO交曲线C于另一点Q，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由离心率的范围可知曲线为椭圆，根据离心率与的关系得到的范围，然后利用斜率公式表示出，进而求出其范围．【详解】由解得，所以曲线C是椭圆．因椭圆C的焦点在x轴上，则．因为，所以，不妨设，，，，由题意知，则，即，．故选：A．五.结合数学文化新定义类19．阿基米德（公元前287年—公元前212年）不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴与短半轴的乘积．若椭圆C的对称轴为坐标轴，焦点在y轴上，且椭圆C的离心率为，面积为，则椭圆C的方程为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用待定系数法求椭圆的标准方程.【详解】可设椭圆的方程为，由题意可得：，解得：，所以椭圆的方程为.故选：C20．画法几何创始人蒙日发现：椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，且圆半径的平方等于长半轴､短半轴的平方和，此圆被命名为该椭圆的蒙日圆.若椭圆的蒙日圆为，则该椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由题可得，然后利用离心率公式即得.【详解】由题可得，∴，即椭圆为，∴.故选：A.六.与其他圆锥曲线共点问题21．已知是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为，则的值为（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】C【分析】先设椭圆的长半轴长为，双曲线的半实轴长，焦距．因为涉及椭圆及双曲线离心率的问题，所以需要找，，之间的关系，而根据椭圆及双曲线的定义可以用，表示出，并且，，在中根据勾股定理可得到：该式变形即可求解．【详解】解：如图，设椭圆的长半轴长为，双曲线的半实轴长为，则根据椭圆及双曲线的定义：得，，，设，，在中由勾股定理得，化简得：该式可变成：，即．故选：C.22．设，分别为具有公共焦点与的椭圆和双曲线的离心率，为两曲线的一个公共点，且满足，则的最小值为（

）A．3 B． C．4 D．【答案】B【分析】对椭圆和双曲线的离心率分别求出，首先根据椭圆及双曲线的定义求出，可得，得，就得到了的关系，最后利用基本不等式求得最小值.【详解】解：由题意设焦距为，椭圆的长轴长，双曲线的实轴长为，不妨令在双曲线的右支上，由双曲线的定义，由椭圆的定义，又，故，得，将代入得，∴．故选：B．23．已知是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为，则的值为（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】A【分析】根据椭圆和双曲线的定义，结合余弦定理、椭圆和双曲线的离心率公式进行求解即可.【详解】设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，设F1，F2是椭圆和双曲线的左右两个焦点，且，设P在第一象限，，由椭圆的定义可知：，由双曲线的定义可知：，由此可解得：，由余弦定理可知：即，化简得：，即，所以，即故选：A24．已知椭圆和双曲线有相同的焦点、，它们的离心率分别为、，点为它们的一个交点，且，则的范围是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长，焦距．结合椭圆与双曲线的定义,得，,在中,根据余弦定理可得到，，与的关系式，进而可得，设则有，所以，构造函数,利用导数求出函数的值域即可.【详解】解：设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长，焦距，点为第一象限交点．则，，解得，，如图：在中,根据余弦定理可得：，整理得，即，设则有，，所以，即有，所以，所以===，设,则,令，得，所以在上恒成立,所以在上单调递减，当趋于时，趋于，当趋于1时，趋于2，所以，即：.故选：C.25．已知是椭圆的左､右焦点，点为抛物线准线上一点，若是底角为的等腰三角形，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用几何性质确定中得，利用可得的关系，即可得椭圆离心率.【详解】解：如图，抛物线的准线与轴的交点为因为是椭圆的左､右焦点，所以抛物线准线为：直线，所以因为是底角为的等腰三角形，则则则，整理得：所以离心率.故答案为：A.七.与三角形五心结合类26．已知椭圆的左右焦点为F1、F2，点P为椭圆上一点，的重心、内心分别为G、I，若，则椭圆的离心率e等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】设，求出重心的坐标，利用中面积等积法可求出的关系，即可得椭圆离心率.【详解】设为的重心，点坐标为，∵，∴IG∥x轴

∴I的纵坐标为，在中，，，又∵I为△F1PF2的内心，∴I的纵坐标即为内切圆半径，内心I把△F1PF2分为三个底分别为△F1PF2的三边，高为内切圆半径的小三角形，，即，，∴椭圆C的离心率.故选：A27．已知椭圆：的左、右焦点分别是，，是椭圆上的动点，和分别是的内心和重心，若与轴平行，则椭圆的离心率为(

)A． B． C． D．【答案】A【分析】连接PO，则三点共线，延长交轴于点，则由平行于轴得，从而可得，根据三角形