共面向量、空间向量基本定理高二下学期数学湘教版选择性必修第二册

第2章

空间向量与立体几何

2.3.1第1课时

共面向量、空间向量基本定理对于空间中的任意向量，是否也有类似的结论呢？MOP

若p=xe1+ye2，则p在e1，e2所在平面内.反之，若p在e1，e2所在平面内，则有p=xe1+ye2.AA1BCDB1C1D1

向量共面定理：

（一）共面向量与向量共面定理向量p可以用两个不共线的向量e1，e2线性表示.

在三个向量a，b，c

中，某个向量为0，或者某两个向量平行，则这三个向量共面．

C

注意：若a，b不共线且同在平面α内，则p与a，b共面的含义是p在α内或p∥α.例1

如图，斜三棱柱ABC-A'B'C'中，设AB

=

a，AC

=

b，AA'

=

c

．在AC'和BC上分别取点M和N，使AM

=

k

AC'，BN

=

k

BC（0≤

k

≤1）．求证：向量MN与向量

a

和

c

共面．

你能发现什么？ABCA′B′C′MN已知A，B，C三点不共线，对空间任意一点O，当OP=xOA＋yOB＋zOC(其中x＋y＋z=1)时，点P，A，B，C是否共面？你能解答这个问题吗？反之是否成立？

因此已知A，B，C三点不共线，对空间任意一点O，

OP=xOA＋yOB＋zOC(x＋y＋z=1)

P，A，B，C四点共面．

AC证明空间三向量共面或四点共面的方法方法归纳(1)向量表示：设法证明其中一个向量可以表示成另两个不共线向量的线性组合，即若p=xa+yb，则向量p，a，b共面.

（2）已知A，B，C三点不共线，对空间任意一点O，OP=xOA＋yOB＋zOC(x＋y＋z=1)

P，A，B，C四点共面．（二）空间向量基本定理类似于平面向量基本定理，我们能否将空间任一向量也表示成某几个向量的实数倍之和？如何证明(x，y，z)的唯一性

①空间向量基本定理设e1，e2，e3是空间中三个不共面向量，则空间中任意一个向量p可以分解成这三个向量的实数倍之和：p=

，上述表达式中的系数x，y，z由p唯一确定，即若p=xe1+ye2+ze3=x'e1+y'e2+z'e3，则x=x'，y=y'，z=z'.②基与基向量如果三个向量e1，e2，e3

，那么空间的每一个向量都可由向量e1，e2，e3线性表示.我们把{e1，e2，e3}称为空间的一组

，e1，e2，e3叫作

.(x，y，z)称为向量p=

在基{e1，e2，e3}下的坐标.xe1+ye2+ze3不共面基基向量xe1+ye2+ze3注意：(1)空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一组基.基选定后，空间的所有向量均可由基唯一表示；不同基下，同一向量的表达式也有可能不同.可用于判断向量是否可以作为基(2)由于零向量与任意一个非零向量共线，与任意两个不共线的非零向量共面，所以若三个向量不共面，就说明它们都不是零向量.3.已知

a，b，c

是不共面的三个向量，下列能构成一组基的是（

）

判断选项中所给的三个向量是否共面.3.已知

a，b，c

是不共面的三个向量，下列能构成一组基的是（

）

C(1)判断一组向量能否作为空间的一组基，实质是判断这三个向量是否共面，若不共面，则能构成一组基.(2)判断基时，有时依托正方体、长方体、平行六面体、四面体等几何体，用它们从同一顶点出发的三条棱对应的方向向量为基向量，并在此基础上构造其他向量进行相关的判断.判断基的一般方法方法归纳例2

如图，在平行六面体中ABCD-A'B'C'D'中，G为三角形A'BD的重心，设AB

=

a，AD

=

b，AA'

=

c

，以

a，b，

c

为一组基．求AC'和AG在这组基下的坐标．(1)若基确定，要充分利用向量加法的三角形法则和平行四边形法则，向量减法的定义以及向量数乘运算的运算律.(2)若未给定基，首先选择基，选择时，要尽量使所选的基向量能方便地表示其他向量，再就是看基向量的模及其夹角是否已知或易求.用基表示向量的方法方法归纳

AC

D