上海市天山中学2026届高三下学期3月月考数学试题（含答案）

2026天山中学高三年级下学期3月月考一、填空题(1-6每小题4分，7-12每小题5分，共54分)1.不等式log2x2.在平面直角坐标系中,角α的终边经过点P3,−4,则3.若复数z是x2+x+24.1−x5的展开式中，5.将10个数据按照从小到大的顺序排列如下:11,15,17,a,23,6.公差不为零的等差数列an,S6=15,如果a7.已知函数fx=lnx−2ax2的图象在x=18.将甲，乙，丙，丁，戊五名志愿者分配到四个特殊家庭开展帮扶，每个家庭至少安排一名志愿者，则志愿者甲恰好被安排在A家庭的不同安排方法数有_____种.9.若向量a在向量b上的投影向量为12b，且3a−b=a+b10.已知y=sin2x−φ0<φ<π2在011.在三棱锥P−ABC中,PA=PB=PC,AB=BC12.定义:若fx=gx,1≤x<kkfxk,x≥k,则称fx是函数gx的k倍伸缩周期函数.设gx=sinπx,且f二、选择题(13-14每小题4分,15-16每小题5分,共18分)13.已知直线l1:mx+3y−3=0,lA.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件14.设m,n是两条不同的直线，α,A.若m//α,n//α,则m//n;B.C.若m⊥α,n//α,则m⊥n15.有6个相同的球,分别标有数字1,2,3,4,5,6从中有放回地随机取两次,每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是5”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是6”,则().A.甲与乙相互独立B.乙与丙相互独立C.甲与丙相互独立D.乙与丁相互独立16.对于无穷数列an,给出如下三个性质:①a1<0;②对于任意正整数n,s,都有an+as<an+s;③对于任意正整数n,存在正整数t,使得A.若an为“s数列”，则an为“tB.若an=−12n，则aC.若an=2n−3,则anD.若等比数列an为“t数列”则an为“s三、解答题(共78分)17.如图,在四棱锥P−ABCD中,底面ABCD为正方形,PA⊥平面ABCD,M,N分别为棱(1)求证:MN//平面PAB(2)求直线MN与平面PCD所成角的正弦值.18.已知向量a=cosx,−1(1)当x∈−π4,π(2)已知在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c，若a=19.垃圾分类能减少有害垃圾对环境的破坏,同时能提高资源循环利用的效率.目前上海社区的垃圾分类基本采用四类分类法,即干垃圾,湿垃圾,可回收垃圾与有害垃圾.某校为调查学生对垃圾分类的了解程度,随机抽取100名学生作为样本,按照了解程度分为A等级和B等级,得到如下列联表:男生女生总计A等级402060B等级202040总计6040100(1)根据表中的数据回答:学生对垃圾分类的了解程度是否与性别有关(规定:显著性水平α=附:χ2=nad−(2)为进一步加强垃圾分类的宣传力度，学校特举办垃圾分类知识问答比赛.每局比赛由二人参加，主持人A和B轮流提问，先赢3局者获得奖项并结束比赛.甲，乙两人参加比赛，已知主持人A提问甲赢的概率为23，主持人B提问甲赢的概率为12，每局比赛互相独立，且每局都分输赢.现抽签决定第一局由主持人A(i)求比赛只进行3局就结束的概率;(ii)设X为结束比赛时甲赢的局数,求X的分布和数学期望EX20.已知椭圆C:x2a2+y2b(1)求椭圆C的方程；(2)设与坐标轴不垂直的直线l交椭圆C于M，N两点(异于椭圆顶点)，点P为线段MN的中点,O为坐标原点.①若点P在直线x=12上,求证:线段MN的垂直平分线恒过定点S,并求出点②求证:当△OMN的面积最大时，直线OM与ON21.已知函数hx(1)求函数hx在点0,(2)对任意的x≥0时，g′x≥h(3)记fx=hx−x2π，若fx1.8由log2所以不等式log2x>32.−由题意,角α的终边经过点P3所以r=所以sinα3.2由题意得z2+z+2则a2+2abi−b所以a2因为b≠0,所以a=−12故z=故答案为:24.51−x5的展开式的通项公式为Tr+1=C5所以x2的系数为−故答案为:55.21因为10×所以40%分位数是第4、5个数据的平均数，所以a+232=22故答案为:216.a设数列an的公差为dd≠0,由S6=15,得由a2,a4,a5成等比数列,得因此a1=5,d=−1,所以数列故答案为:a7.−由fx=lnx−2ax2求导得因为函数fx的图像在x=1处的切线与直线所以f′1=−13,即4a8.60由题可分以下两种情形:①A家庭只有志愿者甲，另外4人分配到其他的3个特殊家庭，每个家庭至少安排一名志愿者,此时有C42②A家庭除了甲还有另一名志愿者，另外3人分配到其他的3个特殊家庭，每个家庭至少安排一名志愿者，此时有C41故志愿者甲恰好被安排在A家庭共有36+24故答案为:60.9.π因为向量a在向量b上的投影向量为12b,所以又3a所以8a所以cos⟨a,b⟩=a所以⟨a,b⟩=π4,即向量a与向量10.π当x∈0,π3又因为y=sin2x−φ0<所以−π2+2kπ≤−φ且又0<φ<π2,取k当x∈0,7π8时,2x−φ∈−又该函数在0,7π8上有最小值,所以7π4−综上所述，π6故答案为:π611.36π如图:在△ABC中，AB⊥BC，AB=BC取AC中点O1，则O1为△ABC外接圆的圆心，且△ABC连接PO1,因为PA=PC又PA=所以∠PO1B=∠又O1B,AC⊂平面ABC,O1B所以VP所以三棱锥P−ABC外接球的球心在线段PO1上，设为O，再设三棱锥P−在△OO1C由R2所以三棱锥P−ABC外接球的表面积为故答案为:36π12.56依题意,fx当x∈[2,4)时,x2∈[1,2),则fx=当k≤3时,fx≥−8恒成立;当k=4由sinπx16=−12,解得πx16=7π6或πx观察图象知,当x∈1,563时,恒有f所以实数m的最大值为563故答案为:5613.A当m=−13时,直线l1的斜率为又19×−9=−1直线l1若l1⊥l2,则有m3m−2+3m=所以“m=−13”是“故选:A.14.C若m//α,n//α,则m//n或m与n相交或m与若m⊂α,n⊂β,m//n,则α//β或若m⊥α,n//α,由直线与平面垂直的性质可得m若m⊂α,n⊂α,m//β,n//β,当m与n故D错误.故选:C.15.A由题意得,P甲对于A,P甲乙)=136，所以P甲×P(乙)=P(甲乙)对于C,P甲丙=136,所以P甲对于D,P乙丁=136,所以P乙故选:A.16.C设an=−2n−3也满足∀n即∀n,s∈N∗,因为an+t=−2n若an=−12nan+1=−若n为奇数,此时−12n<0,存在t若n为偶数,此时−12n>0,则此时不存在t∈N∗,使得−12n+t>−1∀n因为2n+s−3>2n+s不妨设an=−2n,满足a当n为奇数,取t=1,使得当n为偶数,取t=2,使得an+2=−2n+2但此时不满足∀n,s∈N则a1=−2,a则an为“s数列”，所以D故选:C.17.(1)证明:在四棱锥P−ABCD取PA的中点E,连接EB、因为M是PD的中点,所以EM//AD,且又因为底面ABCD是正方形,N是BC的中点,所以BN//AD,且BN=12所以四边形MNBE是平行四边形,所以MN//由于EB⊂平面PAB,MN⊄平面PAB,所以MN//(2)因为底面ABCD是正方形，所以AB⊥AD.又因为PA⊥平面所以以点A为坐标原点,AB、AD、AP分别为APC设平面PCD的法向量为m=x,y,z.有:m⋅PC=0,m⋅所以m=0,1,1.MN=2,0,−有:sinθ所以直线MN与平面PCD所成角的正弦值为101018.(1)1(2)1(1)a+f=sin2x∴当x∈−π4,∴2所以函数fx的值域为1(2)由(1)可知fx=又fA2=52因为A∈0,π,所以A+因为a=2,由a2=b由基本不等式得4=解得bc≤2,当且仅当b故三角形面积12bc即△ABC面积最大值为19.(1)提出原假设H0:确定显著性水平α=0.05,由题意得,可得χ2由Pχ2≥3.841≈所以接受原假设,学生对垃圾分类的了解程度与性别无关.(2)(i)比赛只进行3局就结束，甲赢得比赛的概率为P比赛只进行3局就结束,乙赢得比赛的概率为p2故比赛只进行3局就结束的概率为p1(ii)X的可能取值为0,1,2,3,X=0,即进行了3场比赛,且乙赢得比赛,故X=1,即进行了4场比赛,且乙赢得比赛,前3场中,甲赢得1场比赛,乙第故PXX=2,即进行了5场比赛,且乙赢得比赛,前4场中,甲赢得2场比赛,乙第故P13X=3P所以分布为X0123P118536131083754故数学期望为EX20.(1)因为焦距为23=2c,即c=3,所以a2−b2=c2=3,又因为椭圆过点3,12(2)由题意知，直线l斜率存在，设直线l方程为y=kx+m，设Mx1,y1，Nx2,y2①因为点P为线段MN的中点，点P在直线x=12上，所以x0所以y0所以线段MN的垂直平分线方程为y−y0=−1kx−故线段MN的垂直平分线恒过定点S3②由弦长公式得MN=1+k2x1−x所以△OMN的面积为S当且仅当m2=1+4k所以k=所以直线OM与ON的斜率之积为定值−121.(1)解:因为hx=2x+cosx所以h′0=2−sin所以hx在点0,h0处的切线方程为y−(2)解:因为gx=ex−a设Fx则F′令nx=ex−可得nx在[0,+∞)上为增函数,即F′x所以F′当a≤−12时,F′x≥F′0=−故F