数学-2026届吉林地区2025-2026高三下第三次调研测试(吉林三调)

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吉林地区普通中学2025—2026学年度高中毕业年级第三次调研测试

数学试题

说明：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，贴好条形码。

2.答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。答非选择题时，用0.5毫米的

黑色签字笔将答案写在答题卡上。字体工整，笔迹清楚。

3.请按题号顺序在答题卡相应区域作答，超出区域所写答案无效；在试卷上、草纸

上答题无效。

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有

一个是符合题目要求。

1.已知集合A={(x,y)2x-y=0},B={(x,y)|x-y+1=0},则A∩B=

A.{1}B.{2}C.{1,2}D.{(1,2)}

2.若经过A(-1,0),B(1,2)两点的直线的方向向量为(1,k),则k=

A.-2B.-1C.1D.2

3.等比数列{an}中，a₁+3a₃=7,a₂a₄=2a₃,则a₅=

A.4B.5C.6D.7

4.已知椭圆的左、右焦点分别为F₁,F₂,P为椭圆上一点(不含顶点),则

△PF₁F₂的周长为

A.4B.6C.8D.10

高三数学试题第1页共6页

5.已知m,n是两条直线，α,β是两个平面，则

A.若mcα,n/lα,则mllnB.若m⊥α,nllα,则mln

C.若α∩β=m,m//n,则n/lαD.若α∩β=m,m⊥n,则n⊥a

6.已知集合E={1,2,3},集合,且m∈E,n∈F.记事件A=“函数

是幂函数”,事件B=“函数在(0,+∞)上单调递增”,则P(B|A)=

A.B.C.D.

7.已知a∈R,方程a²x²+(a+2)y²+2x+4a=0表示圆，公众号悦爱学堂则圆心的坐标为

A.(1,0)B.(-1,0)C.或(1,0)D.或(-1,0)

8.已知函数对于正实数a,定义集合Ma={x|f(x+a)=f(x)},

且Ma≠×,则a的取值范围为

A.B.D.

二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多

项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

9.在的展开式中，则

A.展开式共有7项B.常数项是第4项

C.各二项式系数的和为2⁶D.各项系数的和为2⁶

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10.在圆锥PO中，轴截面PAB是边长为2的等边三角形，M是PB的中点.用一个平面截圆

锥PO,下列四个图中的截口曲线分别为圆、椭圆(截面经过点A)、抛物线的一部分、

双曲线的一部分(截面垂直于平面PAB),则

BABA

A.圆的面积为B.椭圆的长轴长为

C.抛物线的焦点到准线的距离为1D.双曲线的离心率为

11.设等差数列{an}的前n项和为S,且.设,数列{bn}

的前n项和为T,则

B.

C.T2026=0D.Tₙ=tanan+1-tana₁

三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。其中第14题的第一个空填对得2分，

第二个空填对得3分。

12.已知随机变量X～N(3,ø²)(σ>0),若P(X>4)=0.3,则P(2<X<3)=_

13.若双曲线C的一条渐近线方程为√2x+y=0,则双曲线C的离心率为

14.已知函数f(x)=Inx+ax存在极值，则实数a的取值范围是,若对

Vx∈(0,+0∞),f(x)≤x²e*-Inx-2x-1恒成立，则实数a的最大值为

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四、解答题：本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.(本小题满分13分)

已知抛物线C:y²=2px(p>0)的焦点F到直线y=x+2的距离为2√2.

(I)求抛物线C的标准方程；

(Ⅱ)过点A(4,0)的直线1与抛物线C交于M,N两点，0为坐标原点，且△OMN

的面积为16√3,求直线l的方程.

16.(本小题满分15分)

已知函数,a∈R.

(I)当时，求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；

(Ⅱ)当a=0时，若函数g(x)=e*f(x)-t有唯一零点，求实数t的取值范围.

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17.(本小题满分15分)

某公司开展“每月幸运抽好礼”活动，规则如下：在抽奖箱中放入标号分别为1,2,

3,4的4个球，除标号外无任何差异，每位参与者从抽奖箱中随机抽取1个球，抽到

3号球即可获得礼品，每次抽取后将球放回抽奖箱中，每位员工每月仅参与一次.

(I)设该公司A部门有4位员工参加该活动，用X表示获得礼品的人数，求X的

分布列和数学期望；

(Ⅱ)该公司B部门有20位员工参加该活动，用Y表示获得礼品的人数，令

an=P(Y=n-1),(n=1,2,…,21),若a为数列{an}的最大项，求k的值.

18.(本小题满分17分)

在平面四边形ABCD中，AB=2,AD=4.

(I)若BC=2CD=2.

(i)若A,B,C,D四点共圆M,求AC;

(ii)求四边形ABCD面积S的最大值.

(Ⅱ)若AC与BD交于点0.记∠CAD=θ,求当θ为何值

时，SAOD=2SABOC·

高三数学试题第5页共6页

19.(本小题满分17分)

如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAC⊥平面ABC,点M,N在线段AC上，

AM=MN=NC=PN=2,PM=PC.

(I)求证：PN⊥AB;

(Ⅱ)若BM=BC=2√2,求平面PMB与平面PAB的夹角的余弦值；

(Ⅲ)若AC垂直且平分BD,E是PM的中点，EF⊥PB于点F,且,求三

棱锥P-MBD外接球H的表面积S的最小值.

C

命题、校对：高三数学核心组

数学试题参考答案

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.

12345678

DCABBDBD

二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对的得部分

分，有选错的得0分.

91011

ABCADACD

T10附加题：在圆锥PO中，轴截面PAB是边长为2的等边三角形，M为母线PB上一点，且满足

PM=λPB(0<λ<1).用一个平面截圆锥PO,下列四个图中的截口曲线分别为圆、椭圆(截面经

过点A)、双曲线的一部分(截面垂直于平面PAB)及抛物线的一部分，则(AC)

B

BABAA

A.当时，圆的面积为B.当时，椭圆的长轴长为

C.双曲线的离心率e是定值D.抛物线的焦点到准线的距离为

11.【教学参考】

高三数学试题答案多

(法二),∴Tn=tanan+1-tana₁.

三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.其中第14题的第一个空填对得2分，第二个

空填对得3分.

√3或

12.0.213.14._(-∞,0);-1

14.【教学参考】对Vx∈(0,+0∞),Inx+ax≤x²e×-Inx-2x-1恒成立.

∴(a+2)x≤x²e×-2Inx-1,即对Vx∈(0,+0)恒成立.

又∵eˣ≥x+1,当且仅当x=0时取等号，

,当且仅当2Inx+x=0时取等号.

∴a+2≤1,∴a≤-1,即实数a的最大值为-1.

四、解答题

15.【答案】(I)y²=8x(4分);(Ⅱ)x-y-4=0或x+y-4=0(9分).

【解析】

(I)∵到直线x-y+2=0的………2分

∴p=4,即抛物线C的标准方程为y²=8x.………………4分

(Ⅱ)(法一)由题可知，直线斜率不为0,设直线l的方程为x=ty+4,设M(x₁,y₁),N(x₂,J₂).

消去x,得y²-8ty-32=0,………6分

∵△=64t²+128>0,由韦达定理，得y₁+y₂=8t,y₁y₂=-32.………8分

∴t²=1,即t=±1,……11分

∴直线1的方程为x-y-4=0或x+y-4=0.………13分

1页(共5页)

(法二)当直线I斜率不存在时，直线1的方程为x=4,不妨设M(4,4√2),N(4,-4√2).

.,不符题意，舍去；……………5分

当直线1斜率存在时，设直线1的方程为y=k(x-4)(k≠0),设M(x₁,y₁),N(x₂,y₂).

由消去，得k²x²-(8k²+8)x+16k²=0,……………7分

∵△=128k²+64>0,由韦达定理，,x₁x₂=16..…………8分

∴k²=1,即k=±1,…………11分

即直线I的方程为x-y-4=0或x+y-4=0.

综上所述，直线I的方程为x-y-4=0或x+y-4=0.…………13分

(注：利用其他方法求解面积正确均给分.)

16.【答案】(I)3x-2y-1=0(6分);(Ⅱ){lt=0或t>6e-²}(9分).

【解析】

(I)当时，,则

………3分

又∵

∴曲线y=f(x)在点(1,1)处的切线方程为即3x-2y-1=0.………·6分

(Ⅱ)当a=0时，有唯一零点，则

则函数y=h(x)的图象与直线y=t有唯一交点.………8分

,令h'(x)=0,解得x=0或x=-2.

高三数学试题答案第

当x<-2或x>0时，h'(x)>0;当-2<x<0时，h'(x)<0.

所以，h(x)在(-∞0,-2)上单调递增，在(-2,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递增.………10分

当x=-2时，h(x)有极大值

当x=0时，h(x)有极小值h(0)=0.…………12分

当x<0时，h(x)>0;当x>0时，h(x)>0.

当x→-∞时，h(x)→0;当x→+0时，h(x)→+0.………13分

∴当t=0或t>6e⁻²时，函数y=h(x)的图象与直线y=t有唯一交点，

即实数t的取值范围是{|1t=0或t>6e-²}.……………·15分

(注：结果不写成集合形式不扣分.)

17.【答案】(I)分布列见解析，E(X)=1(8分);(Ⅱ)k=6(7分).

【解析】

(I)(法一)由题可知，每位员工参加活动获得礼品的概率为

X的所有可能取值为0,1,2,3,4.……1分

……6分

X的分布列如下表所示：

X01234

P

……8分

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(法二)由题可知，每位员工参加活动获得礼品的概率为

,k=0,1,2,3,4.………………6分

X的分布列如下表所示：

X01234

P

…………………8分

(注：①概率值未化简到最简形式不扣分；②二项分布仅计算，不列表不扣分.)

,n=1,2,…,21……9分

(Ⅱ)(法一)

∵ak为数列{an}的最大项，则

……………12分

…………………14分

∵k∈N*,k=6…………………15分

(法二)∵,n=1,2,…,21…………9分

当1≤m≤5时，am+1>am;当6≤m≤20时，am+1<am,

高三数学试题答案第

即a₁<a₂<…<a₆且a₆>a₇>ag>…>a₂1,………14分

所以数列{an}的最大项为a₆,∴k=6.………………15分

(注：直接利用人教A版选择性必修三教材P82结论，无推导过程扣3分.)

18.【答案】(I)(i)(4分);(ii)(6分);(Ⅱ)

【解析】

(I)(i)∵A,B,C,D四点共圆，∴B+D=π.………1分

.又∵AC>0,∴……·4分

(ii)(法一)在△ABC中，AC²=AB²+BC²-2AB·BCcosB=8-8cosB①

在△ADC中，AC²=AD²+DC²-2AD·DCcosD=17-8cosD②

由①-②得，③

④……7分

由③²+④²得，

当且仅当B+D=π时取等号.

∴四边形ABCD面积S的最大值为.………10分

第3页(共5页)

(法二)

…7分

由③²+④²得，

,当且仅当B+D=π时取等号.四边形ABCD面积S的最大值为………·10分

(注：若使用和差化积(积化和差)公式，可参考人教A版必修一P238例2或2026高考试题分析答

题格式.)

(Ⅱ)在△ABD中，AB=2,AD=4,

由余弦定理，D

∴BD=2√3,∴BD²+AB²=AD²,∴AB⊥BD.…………12分

∵∠BAD+∠BCD=π,∴A,B,C,D公众号悦爱学堂四点共圆.

,ZCAD=∠CBD=θ,

……15分

高三数学试题答案第

即……17分

(注：其他求面积方法求解正确均给分.)

19.【答案】(I)证明略(4分);(Ⅱ)(5分);(Ⅲ)8π(8分).

【解析】

(I)证明：∵PM=PC,NM=NC,∴PN1AC,

∵平面PAC1平面ABC,平面PAC∩平面ABC=AC,PNC平面PAC,

∴PN1平面ABC,又∵ABc平面ABC,∴PNIAB.…………4分

(Ⅱ)连接BN∵∵BM=BC=2√2,N是MC中点，∴BNIMC且BN=2.

由(I)知，PN1平面ABC,BNc平面ABC,∴PNIBN.

又∵PNIAC,

∴以N为原点，NB,NC,NP所在直线分别

A

为x,J,z轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则P(0,0,2),B(2,0,0),M(0,-2,0),A(0,-4,0),

BP=(-2,0,2),MB=(2,2,0),AB=(2,4,0),……………6分

设平面PMB一个法向量为m=(x,y,z),则BP⊥m,MBIm.

取x=1,则z=1,y=-1,∴m=(1,-1,1),

同理，平面PAB的一个法向量为n=(2,-1,2),………8分

设平面PMB与平面PAB的夹角为θ,

即平面PMB与平面PAB的夹角余弦值为……9分

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(Ⅲ)∵PM=2PE=2√2,∴PE=√2.∵EFIPF,

∵∠EPF为锐角，∴

在平面ABC内，过点N作NGIMC,以N为原点，NG,NC,NP所在直线分别为x,y,z轴建

立如图所示的空间直角坐标系，则P(0,0,2),M(0,-2,0).

设B(x,y,0),PM=(0,-2,-2),PB=(x,y,-2),

y

∴(4-2y)²=6(x²+y²+4),即3x²+(y+4)²=12,