小学数学三年级下册：“除加”与“除减”混合运算的真实问题解决教案

小学数学三年级下册：“除加”与“除减”混合运算的真实问题解决教案

  一、设计理念

  本教案立足于《义务教育数学课程标准（2022年版）》的核心素养导向，秉承“课程内容的结构化”与“学科实践”的理念进行设计。本课的教学内容——“除加”与“除减”混合运算——是整数四则混合运算序列中的关键节点，它不仅是学生掌握运算顺序规则的深化，更是将数学运算与真实世界问题解决建立稳固联结的桥梁。本设计拒绝将混合运算教学窄化为单纯的“算顺序、练技巧”，而是致力于构建一个以解决真实问题为驱动、以数学思维发展为主线、以学科融合为视野的深度学习场域。我们强调从“生活原型”到“数学模型”的抽象过程，重视在“分析数量关系”中自然内化运算顺序，在“策略对比”与“错例辨析”中深化对运算本质的理解。通过设计层次分明、富有挑战性的问题链与探究活动，引导学生在“做数学”和“用数学”的过程中，发展运算能力、推理意识、模型意识和应用意识，实现数学素养的综合提升。

  二、教学目标

  （一）知识与技能

  1.能结合具体的生活情境，理解“除加”与“除减”混合运算的运算顺序。

  2.能正确计算不含括号的两步“除加”与“除减”混合运算式题，并形成初步的运算技能。

  3.能运用“除加”与“除减”混合运算的知识，分析和解决两步计算的实际问题，并能用综合算式清晰表达解题思路。

  （二）过程与方法

  1.经历“发现问题—提出问题—分析数量关系—列式解答—回顾反思”的完整问题解决过程，培养结构化思考的习惯。

  2.通过对比分步算式与综合算式、对比不同解题策略，感悟运算顺序规定的合理性，体会综合算式的简洁性。

  3.在合作探究与交流分享中，学习清晰、有条理地表达自己的思考过程，并学会倾听、质疑与优化。

  （三）情感态度与价值观

  1.感受数学与日常生活的紧密联系，体验运用数学知识解决实际问题的成功与乐趣。

  2.在克服计算和解决问题的困难中，培养严谨认真、独立思考、勇于探索的学习品质。

  3.初步形成从数学角度观察、分析生活现象的意识，增强数学应用的主动性。

  三、学情分析

  学生是小学三年级下学期的学习者，其认知发展正处于具体运算阶段向形式运算阶段过渡的初期。他们已具备以下知识基础与能力储备：熟练掌握了表内乘除法，并对有余数的除法、两位数除以一位数有扎实掌握；能够正确计算“乘加”、“乘减”混合运算，并理解了“先乘除后加减”的运算顺序规则；具备解决简单一步计算实际问题的经验，并能用分步算式进行解答。然而，本课学习也将面临如下挑战与障碍：其一，思维定势的干扰。部分学生在接触“除加”、“除减”时，可能受之前“从左到右”计算顺序的负迁移影响，产生计算顺序错误。其二，数量关系分析的深度不足。在面对稍复杂的现实情境时，学生可能难以准确识别“部分量”与“总量”，或厘清“单价、数量、总价”等基本关系，导致列式错误。其三，综合算式的书写与理解障碍。从分步算式到综合算式的跨越，需要学生具备更强的符号意识与抽象思维能力，部分学生可能会在综合算式的构造、运算顺序的体现（尤其是需要先算加法或减法时）上存在困难。基于此，本设计将采取“情境锚定、直观支撑、对比思辨、循序渐进”的教学策略，帮助学生顺利跨越认知障碍。

  四、教学重点与难点

  （一）教学重点

  1.理解并掌握“除加”与“除减”混合运算的运算顺序。

  2.能够运用正确的运算顺序，解决相关的两步计算实际问题。

  （二）教学难点

  1.在具体问题情境中，自主、准确地分析数量关系，并据此列出正确的综合算式。

  2.理解为什么在“除加”、“除减”混合运算中需要“先算除法”，体会运算顺序规定的合理性与必要性。

  五、教学准备

  （一）教师准备

  1.多媒体课件：内含核心问题情境的动态或静态画面（如：文具店购物场景图、图书分发场景图、运动会奖品准备场景图等）、关键问题提示、探究活动要求、典型例题、分层练习与拓展问题。

  2.实物教具与学具模型：用于模拟购物情境的实物或图片卡片（如：笔记本、钢笔、书包等，标注单价）、用于表示数量关系的磁性贴片或卡片。

  3.学习任务单：包含“情境探究区”、“策略对比区”、“巩固练习区”、“拓展挑战区”和“自我反思区”，引导学生的探究、练习与元认知。

  （二）学生准备

  1.常规学具：练习本、铅笔、直尺。

  2.预习准备：简单回顾“乘加”、“乘减”混合运算的计算顺序，并尝试观察生活中哪些情况可能用到“先除后加”或“先除后减”的计算。

  六、教学实施过程

  （一）第一环节：情境激趣，问题导入（预计用时：8分钟）

  1.真实情境再现

  教师利用课件呈现精心设计的、贴近学生校园生活的真实情境——“班级读书角采购与分享”。

  情境描述：三（1）班图书角需要补充新书。班费共有100元。班长先用48元购买了6本同样的《寓言故事》。现在，老师又批准可以再买一些单价为8元的《科学画报》。请问：购买后，班费还剩多少元？或者，如果班费最终全部用完，最多还能买几本《科学画报》？

  2.问题驱动思考

  教师引导学生聚焦第一个问题：“购买《寓言故事》后，再买一些《科学画报》，班费还剩多少元？”鼓励学生用自己的话复述题意，并提取关键数学信息。

  学生活动：独立思考，尝试在练习本上用自己擅长的方式（画图、文字、算式等）分析问题。

  教师巡视，捕捉不同的思路萌芽，为后续交流做准备。

  【设计意图：以班级真实事务为情境，激发学生的参与感和解决问题的内在动机。问题本身具有开放性（“再买一些”），为后续讨论不同数量关系的分析和不同算式的列出埋下伏笔，并自然引出“需要先求出什么”的思考。】

  （二）第二环节：探究建模，理解顺序（预计用时：22分钟）

  1.自主探究，暴露原认知

  教师下发学习任务单，请学生在“情境探究区”独立尝试解决问题“如果班长后来又买了4本《科学画报》，那么最终班费还剩多少元？”

  学生可能出现的方法：

  （1）分步计算：先求《寓言故事》的单价？等等，不对。应是先求买《寓言故事》花了48元后还剩多少钱？但总钱数（100元）已知，买《寓言故事》花了48元，所以第一步：100-48=52（元）。第二步：买4本《科学画报》花：8×4=32（元）。第三步：最终剩余：52-32=20（元）。

  （2）另一种分步：先求买《寓言故事》的单价？此处不需要。先求买《科学画报》的总价：8×4=32（元）。再求一共花了多少钱：48+32=80（元）。最后求剩余：100-80=20（元）。

  （3）尝试列综合算式：可能会有100-48+8×4；100-(48+8×4)；甚至出现100-48-8×4等。

  2.聚焦数量关系，建构综合算式

  教师组织全班交流。首先展示分步解法，引导学生厘清每一步算式的意义。

  关键提问：“在‘先求剩余班费，再减去买画报的钱’这种方法中，100-48求的是什么？”“在‘先求总花费，再从总班费里减去’这种方法中，48+8×4求的是什么？这里的8×4又是什么意思？”

  引导学生发现，无论哪种思路，要计算“买画报的钱”（即8×4），都是解决问题中必须的一个中间步骤。

  接着，教师挑战学生：“能否把这两个或三个步骤‘压缩’成一个算式来表示整个思考过程？”引导学生尝试列出综合算式。

  对于思路一：剩余班费再减画报钱→100-48-8×4。教师追问：“在这个算式中，有减法有乘法，应该先算什么？为什么？”引导学生回忆“先乘除后加减”的规则，确认应先算8×4。所以计算过程是：先算8×4=32，再算100-48=52，最后算52-32=20。但列出的算式100-48-8×4，按照运算顺序计算的结果是100-48-32=20，这与分步计算的结果一致。然而，这个算式未能完美体现“先算乘法”的步骤在逻辑顺序上其实是后发生的。但这可以作为理解运算顺序的一个例子。

  更自然地引出“除加/除减”的是思路二的变形。教师改变情境数据：假设《寓言故事》是6本共48元（单价未知），《科学画报》单价8元，买了4本，问总花费。则总花费=48+8×4。这已经是乘加混合。

  现在，将问题变形为核心探究问题：“如果《寓言故事》是6本共48元（单价未知），《科学画报》单价8元，买了4本。老师又给了20元补充班费。请问现在班费总共有多少元？”（假设初始班费为0，简化问题）

  新问题数量关系：现有班费=买《寓言故事》后剩余？不，这里变成了：现有班费=买书总花费+老师补充的钱。但买书总花费=《寓言故事》总价+《科学画报》总价。其中《寓言故事》单价未知，需要先求。

  由此引出：需要先算除法（求单价），再加法和加法。

  为更纯粹地探究“除加”和“除减”，教师呈现核心情境：

  情境A（除加）：1本《寓言故事》和1本《科学画报》一共多少钱？已知6本《寓言故事》48元，1本《科学画报》8元。

  学生分析：必须先求出1本《寓言故事》的价钱：48÷6=8（元），然后再加一本《科学画报》的价钱：8+8=16（元）。

  列综合算式：48÷6+8。

  情境B（除减）：1本《寓言故事》比1本《科学画报》贵多少钱？（数据同上）

  列综合算式：48÷6-8。

  3.对比思辨，内化规则

  教师板书：48÷6+8和48÷6-8。

  关键提问与活动：

  （1）“这两个算式里有哪些运算？”（除法和加法、除法和减法）

  （2）“按照我们以前学过的‘先乘除后加减’的规则，应该先算什么？后算什么？”（先算除法，再算加法或减法）

  （3）让学生实际计算，验证结果。

  （4）对比陷阱题：出示8+48÷6和8-48÷6。提问：“运算顺序还一样吗？为什么？”引导学生发现，无论除法在前还是在后，都要先算除法。并通过计算验证：8+48÷6=8+8=16；8-48÷6=8-8=0。

  （5）深度思辨：“为什么一定要‘先算除法’？结合刚才买书的情境说一说。”引导学生结合具体数量关系理解：要求“一共多少钱”，必须知道两样物品各自的单价。其中《寓言故事》的单价未知，需要通过48÷6先求出来。这个“求单价”是解决“总价”问题的前提步骤，所以在算式中也需要优先计算。运算顺序的规定源于解决问题的逻辑顺序。

  （6）抽象概括：引导学生用自己的语言总结“除加、除减混合运算”的运算顺序。教师板书核心规则：在没有括号的算式里，既有除法，又有加法或减法，要先算除法，后算加法或减法。

  【设计意图：这是突破难点的核心环节。通过改变问题情境，自然引出了需要“先除后加/减”的纯粹模型。通过列分步、尝试列综合、对比不同综合算式、结合情境说理等多种活动，让学生亲身经历从具体问题抽象出运算规则的过程，深刻理解规则背后的道理，实现“法理相通”。对比练习有效防止了学生只看运算符位置而定顺序的片面理解。】

  （三）第三环节：分层练习，巩固深化（预计用时：15分钟）

  学生完成学习任务单上的“巩固练习区”。练习设计遵循“基础巩固→变式应用→综合辨析”的层次。

  1.基础巩固层：运算顺序判断与计算

  （1）说一说下面各题的运算顺序，再计算。

  ①56÷7+12

  ②30-81÷9

  ③25+36÷6

  ④64÷8-5

  （2）火眼金睛：下面的计算对吗？如果不对，请改正。

  ①24÷3+5=8+5=13（）

  ②18-12÷2=6÷2=3（）

  ③10+20÷5=30÷5=6（）

  设计意图：第（1）题强化运算顺序和计算技能。第（2）题针对典型错误（尤其是②和③的运算顺序错误）进行辨析，巩固“先算除法”的规则。

  2.变式应用层：解决简单实际问题

  （1）一盒巧克力有6块，王老师买了4盒，平均分给8个小朋友，每人先分得1块。老师自己还有2块。老师一共有多少块巧克力？（引导学生列出综合算式：6×4÷8+2或(6×4)÷8+2，这里涉及乘除加混合，但核心是体会其中“先求什么”的逻辑，并巩固运算顺序）

  （2）小华看一本60页的故事书，已经看了4天，每天看9页。剩下的计划2天看完，平均每天要看多少页？（列综合算式：(60-9×4)÷2，这里涉及乘减除，且需要括号，可作为拓展或为后续学习铺垫，也可改为分步提问引导）。

  为紧扣本课重点，可改编：（2）小华看一本60页的故事书，已经看了4天，每天看9页。已经看的比剩下的多多少页？（列综合算式：9×4-(60-9×4)，较复杂）或简化：一本60页书，已看4天，每天看9页，还剩多少页？（60-9×4，此为乘减）。

  更贴合的题目：（3）学校手工小组制作了36朵红花和28朵黄花。如果每8朵花扎成一束，这些花一共可以扎成多少束？（列综合算式：(36+28)÷8，此为加除，需括号，但数量关系简单）。为纯粹“除加/减”，可设计：（3）商店运来6箱苹果，每箱8千克，又运来20千克香蕉。运来的苹果和香蕉一共多少千克？（8×6+20，乘加）或（4）6箱苹果共48千克，又运来20千克香蕉，一共多少千克？（48÷6×？不对）调整：1箱苹果重？不对。

  设计更纯粹的问题：（3）张阿姨买水果。苹果每千克8元，她买了3千克。又买了1千克香蕉，香蕉的单价是苹果单价的一半。张阿姨买香蕉花了多少钱？（列综合算式：8÷2×1或8÷2，此为除乘，非本课核心）。可见，纯粹“除加/除减”的实际问题需要精心设计。

  优化后的变式应用题：

  （1）植树节，三年级（1）班栽了42棵杨树，是所栽柳树棵数的6倍。这个班栽的杨树和柳树一共多少棵？（先求柳树：42÷6=7棵，再求和：42+7=49棵。列综合算式：42+42÷6）

  （2）上述问题中，杨树比柳树多多少棵？（列综合算式：42-42÷6）

  （3）体育老师用100元买了5个同样的篮球，找回20元。每个足球比每个篮球便宜5元。一个足球多少钱？（先求篮球单价：(100-20)÷5=16元，再求足球单价：16-5=11元。列综合算式：(100-20)÷5-5，涉及减除减，层次更高）

  3.综合辨析层：策略优化与选择

  出示情境：学校“跳蚤市场”，小明带了50元。他以每本5元的价格卖了4本旧杂志。然后用所有钱（原来的50元加上卖杂志的收入）去买单价为9元的科普书。他能买几本？还剩多少钱？

  引导学生分析数量关系，尝试用不同方法解决“还剩多少钱”的问题，并比较分步与综合算式的优劣。鼓励学生列出包含除加、减法的综合算式，如：最终剩余钱数=总收入-买书花掉的钱=(50+5×4)-9×[(50+5×4)÷9的商]。此问题较为复杂，旨在激发高水平学生的思维，允许分步解决，重点在于理清数量关系的层次。

  【设计意图：三层练习设计，从单一技能到综合应用，从模仿到辨析，再到策略选择，螺旋上升。既保证了全体学生掌握基础，又为学有余力的学生提供了挑战空间，实现了差异化教学。】

  （四）第四环节：拓展延伸，融合创新（预计用时：8分钟）

  1.跨学科主题学习：策划“班级运动会奖品采购方案”

  教师创设新情境：学校运动会即将举行，三年级组获得团体奖金200元。年级组决定购买奖品奖励运动员。现有两种奖品候选：A.羽毛球拍，每副40元；B.运动毛巾，每条8元。计划购买若干副羽毛球拍后，用剩余的钱尽可能多地购买运动毛巾。

  挑战任务：请以小组为单位，设计至少2种不同的采购方案。要求：①计算出每种方案能买多少副羽毛球拍和多少条毛巾；②计算出每种方案最后奖金是否有剩余，剩余多少；③尝试用综合算式表示你计算“剩余奖金”或“购买毛巾数量”的过程。

  例如：

  方案一：买4副羽毛球拍。算式：剩余奖金：200-40×4=40（元）；可买毛巾：40÷8=5（条）。综合算式求剩余奖金已列。

  方案二：买3副羽毛球拍。则剩余奖金：200-40×3=80（元）；可买毛巾：80÷8=10（条）。思考：能否用一个综合算式求出毛巾总数？毛巾总数=(200-40×3)÷8。

  引导学生发现，在计算“可买毛巾数量”时，列出的综合算式中包含了乘减除混合运算，而本课学习的“先乘除后加减”的规则为正确计算此类算式奠定了基础。

  2.数学游戏：“运算顺序大闯关”

  教师准备一组数字卡片和运算符卡片（+、-、×、÷、(、)）。游戏规则：教师或学生代表抽出数字和运算符，组成一个两步或三步混合运算式（如：抽出9、3、2、÷、+、×，可组成9÷3+2×...等），其他学生抢答运算顺序和结果。或者，给出一个结果（如10），让学生利用给定的数字和运算符构造出得数为10的算式。

  【设计意图：拓展环节将数学与班级活动策划（综合实践）相结合，赋予计算真实的生命力和决策价值。开放性任务培养了学生的规划能力、计算能力和优化思想。数学游戏则以趣味化的方式巩固运算顺序，锻炼学生的数感和思维灵活性。】

  （五）第五环节：总结反思，评价提升（预计用时：7分钟）

  1.知识结构化梳理

  教师引导学生共同回顾，利用板书或思维导图，梳理本节课的学习路径：从真实问题出发→分析数量关系→列出分步算式→抽象出综合算式→探索运算顺序→理解规则道理→应用规则解决问题。强调核心收获：“除加、除减混合运算”的顺序是“先算除法，后算加减”，这个规定源于解决问题的逻辑需要。

  2.学习过程元认知反思

  学生在学习任务单的“自我反思区”完成以下提示：

  （1）我今天学到的最重要的一点是______。

  （2）在解决问题时，我最容易出错的地方是______，以后我会这样避免：。

  （3）我给自己今天的学习表现打____分（1-5分），理由是。

  （4）我还有一个想进一步研究的问题是______。

  3.多元评价与激励

  教师结合课堂观察、学生交流展示的情况以及任务单的完成情况，进行口头评价。重点表扬在探究中展现出的深入思考、清晰表达、合作精神以及对错误的积极反思态度。鼓励学生将本节课形成的“先分析关系，再确定顺序”的思维模式迁移到未来的混合运算乃至更复杂的数学问题解决中去。

  【设计意图：通过结构化的总结，帮助学生将零散的知识点整合成有序的认知网络。元认知反思引导学生关注自己的学习过程与策略，培养自主学习能力。积极的评价激励学生保持数学学习的信心和兴趣。】

  七、板书设计

  板书采用结构式与过程式相结合的方式，力求清晰、直观地呈现学习要点与思维路径。

  主标题：解决实际问题——除加、除减混合运算

  左侧（情境探究区）：

  问题：1本《寓言》+1本《画报》共？元

  已知：6本《寓言》48元，1本《画报》8元

  分步：48÷6=8（元）→求1本《寓言》单价

  8+8=16（元）→求总价

  综合：48÷6+8

  右侧（规则归纳区）：

  核心规则：

  在没有括号的算式里，

  有除法和加、减法，

  要先算（除法），

  后算（加法或减法）。

  中间下方（示例对比区）：

  计算顺序：48÷6+8=8+8=16

  8+48÷6=8+8=16

  （强调：除法在前在后，都要先算除法）

  底部（思维提示区）：

  解决问题步骤：

  1.读题，理清信息与问题。

  2.分析数量关系（先求什么？）。

  3.列式（分步→综合），想顺序。

  4.计算，检验，作答。

  八、作业设计（分层）

  （一）基础达标作业（全体学生完成）

  1.计算下列各题。

  54÷9+1372÷8-620+35÷745-63÷9

  2.解决问题。

  （1）小强4分钟做了28道口算题，小丽每分钟做9道。小丽每分钟比小强多做几道？

  （2）一桶油连桶重50千克，用去一半油后，连