高等数学（下册）（第2版）第8、9章习题B详解

第八章第二节正项级数及其敛散性判别法已知且,试证：若收敛，则.解反证法.设,由于,因此,所以与有相同的敛散性,而调和级数发散,则发散,矛盾.所以.设数列,满足,级数发散,且,证明级数发散.解由于,所以.因此,所以由不等式形式比较判别法知发散.设正项级数收敛,且,证明级数收敛.解由于,所以.而,由极限形式的比较判别法知收敛,因此收敛.设正项级数收敛,证明级数收敛.解由于正项级数收敛,因此,所以从某项开始,则,由正项级数的比较判别法收敛,由,由正项级数的比较判别法收敛.若,且,证明级数发散.证由于,因此,所以数列单调递增,从而有下界,即存在,使得,所以.由发散,及正项级数不等式形式比较判别法,级数发散.第三节任意项级数及其敛散性判别法若数项级数绝对收敛,条件收敛,证明级数绝对收敛.解由条件收敛,知,因此,,.考虑,由于,则由比较判别法,知收敛.因此级数绝对收敛.若是单调递增的有界数列,证明级数绝对收敛.解由题,,.且由于是单调递增的有界数列,所以收敛,不妨设.考虑,则该正项级数的前项部分和,因此该正项级数部分和数列有界,则级数收敛,所以级数绝对收敛.第四节幂级数已知幂级数在处收敛,求实数的取值范围.解由于收敛域为,且幂级数在处收敛,因此,所以.求幂级数的收敛域与和函数.解由于收敛半径，则收敛区间为，考虑端点处，收敛，所以级数的收敛域为.，当时，考虑，，因此.则幂级数的和函数为.第五节函数的幂级数展开式将展开为的幂级数.解由于,.因此,.将函数在点处展开成泰勒级数.解,收敛域.,收敛域.或,收敛域.已知幂级数的和函数为,求的收敛域与和函数.解由于,因此,,所以.考虑,所以当时,即时,级数收敛,当时,级数发散,则收敛区间为.考虑端点处,收敛,所以级数的收敛域为.令,当时,令,因此,所以,则幂级数的和函数为.第九章第二节一阶微分方程设函数是微分方程满足初始条件的特解.设平面区域,求绕轴旋转一周所得旋转体体积.解考虑微分方程的通解,由初始条件知,因此满足初始条件的特解为.因此平面区域,所以.设为正整数,是微分方程,满足条件的解.(1)求;(2)求级数的收敛域及和函数.解(1)由题,因此,考虑初值得,所以;(2)由于,所以,考虑时,级数均收敛.因此幂级数收敛域为.,考虑,,两边同时积分得,即,所以设数列满足,,.证明当时,幂级数的收敛,并求幂级数的和函数.解由题,,则.因此当时,幂级数的收敛.令,因此,由此得,,解微分方程得通解,考虑初始条件得,所以.已知连续可导函数满足,求.解由于,因此.两边求导得,即,且.两边再次求导得,,由初值得,则.第三节可降阶的二阶微分方程设非负函数满足微分方程.若曲线过原点,且其与直线,所围平面区域的面积为,求绕轴旋转一周所得的旋转体体积.解设,则,由此方程转化为,其通解为,即得,因此方程的通解为.考虑曲线过原点知,考虑平面区域D的面积为,知,则曲线方程为.因此,由此D绕x轴旋转一周所得的旋转体体积为.或使用柱壳法得.求方程满足初始条件的特解.解设,则,代入方程得,即,解方程得,考虑初始条件得,即,所以,考虑初始条件得,所以满足初始条件的解.第四节二阶常系数线性微分方程求微分方程的通解.解由题.方程对应的齐次方程为,特征方程为,特征根,对应齐次方程的通解为,设非齐次方程特解为,代入方程比较系数,得,,,因此特解为.所求通解为.设函数具有连续的二阶导数,满足,若,,求的表达式.解由题,,,,因此,从而建立满足的微分方程,,.其对应的齐次方程的特征