2.5一元二次方程的根与系数的关系（教学课件）数学北师大版九年级上册

北师大版·九年级上册2.5一元二次方程的根与系数的关系

第二章

一元二次方程学

习

目

标1.探索一元二次方程的根与系数的关系；（难点）2.不解方程利用一元二次方程的根与系数的关系解决问题.（重点）知识回顾1.一元二次方程的求根公式：

.

2.一元二次方程根的判别式：

.3.一元二次方程的根与根的判别式b2－4ac的关系：当b2-4ac＞0时,方程有

的实数根；当b2-4ac=0时,方程有

的实数根；当b2-4ac<0时,方程

实数根.b2－4ac两个不相等两个相等没有

情境引入问题：通过前面的学习我们发现，一元二次方程的根完全由它的系数确定，求根公式就是根与系数关系的一种形式．除此之外，一元二次方程的根与系数之间还有什么形式的关系呢？新知探究

探究一：探索一元二次方程的根与系数的关系做一做

解：(x-1)2=0∴x1=x2=1.

你还有其他解法吗？新知探究一元二次方程两根两根之和(x1+x2)两根之积(x1·x2)x1x2x2-2x+1=0112x2-3x+1=0121每个方程的两根之和与它的系数有什么关系？两根之积呢？

-1

2.填写下表：新知探究3.若一元二次方程的两根为x1,x2,则有x-x1=0,且x-x2=0,那么方程（x-x1)(x-x2)=0(x1,x2为已知数）的两根是什么？将方程化为x2+px+q=0的形式，你能看出x1,x2与p,q之间的关系吗？结论：如果方程x2+px+q=0的两根是x1,x2,那么x1+x2=-p,x1·x2=q.(x-x1)(x-x2)=0.x2-(x1+x2)x+x1·x2=0，x2+px+q=0，x1+x2=-p,x1·x2=q.对于任何一个一元二次方程，这种关系都成立吗？与同伴交流.新知探究4.通过上表猜想，如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根分别是x1，x2，那么，你可以发现什么结论？

试证明这个猜想.

新知探究一元二次方程根与系数的关系：知识归纳

又叫韦达定理.注意：满足上述关系的前提条件是

b2-4ac≥0.新知探究1.利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积.（1）x2+7x+6=0;

（2）2x2-3x-2=0.

新知探究

探究二：一元二次方程的根与系数的关系的应用分析：首先根据根与系数的关系公式计算出x1+x2

和x1x2的值.然后通过对式子变形后，代入x1+x2

和x1x2的值求解.

议一议新知探究根与系数关系的常见的变形：知识归纳

求与方程的根有关的代数式的值时,一般先将所求的代数式化成含两根之和,两根之积的形式,再整体代入.新知探究2.若x1，x2是方程x2－2mx＋m2－m－1＝0的两个根，且x1＋x2＝1－x1x2，则m的值为(

)A．－1或2B．1或－2C．－2D．1D典例分析

已知方程5x2+kx-6=0的一个根是2，求它的另一个根及k的值.例1

已知关于x的一元二次方程mx2-2mx+

m

-2=0.

（1）若方程有实数根,求实数m的取值范围.（2）若方程两根x1,x2满足∣x1-x2∣=

1

求m的值.例2典例分析又∵m≠0∴m的取值范围为m＞0.

解：(1)∵方程有实数根，

巩固练习基础巩固题1.若x1，x2是一元二次方程x2＋10x＋16＝0的两个根，则x1＋x2的值是()A．－10B．10C．－16D．16AD2.若x1，x2是一元二次方程x2－2x－3＝0的两个根，则x1x2的值是(

)A．2B．－2C．4D．－33.已知关于x的一元二次方程x2＋mx＋n＝0的两个实数根分别为x1，x2，则m＋n的值是()A.－10 B.10C.－6 D.2A巩固练习基础巩固题

4.如果-1是方程2x2－x+m=0的一个根，则另一个根是

，m=

.5.已知一元二次方程x2+px+q=0的两根分别为-2和1，则p=

,q=

.1-2-37.已知实数x1，x2满足x1＋x2＝11，x1·x2＝30，则以x1，x2为根的一元二次方程是

.x2－11x＋30＝0巩固练习基础巩固题8.已知x1,x2是方程2x2+2kx+k-1=0的两个根，且（x1+1)(x2+1)=4.（1）求k的值；（2）求(x1-x2)2的值.

解：（1）根据根与系数的关系可得，

所以（x1+1)(x2+1)=x1x2+(x1+x2