北京2026年中考数学二轮复习热点02 一元二次方程根的判别式（5大题型）（热点专练）（解析版）

热点02根的判别式

热点聚焦方法精讲能力突破

第一部分热点聚焦·析考情

第二部分题型引领·讲方法

题型01判断根的情况

题型02有两个相等的实根

题型03有两个不相等的实根

题型04有实根

题型05无实根

第三部分能力突破·限时练

近三年:根的判别式是中考数学的常考考点，一般出现在北京中考的第4题，第5题。第6题，第10题等。

选择题和填空题均有出现。以简单题为主，针对性的计算训练可提高解题速度和正确率，选择题用排除法

也可提高解题速度。给出方程有两个相等实数根的条件，求参数的值,偶尔考查方程有两个不相等实数根

或无实数根的情况.

2026年预测：已知关于x的一元二次方程（含参数）有两个相等的实数根，求参数的值等。当二次项系数

含有参数时，需要分情况讨论。拓展考点：判别式与根系关系结合，将判别式与韦达定理结合，考查综合

应用能力。

题型01判断根的情况

解题策略

主要考查了一元二次方程根的判别式，掌握与一元二次方程根之间的关系是解题的关键．即当

2

＞时，一元二次方程�−4𝑎有两个不相等的实数根；当时，一

222

�元二−次4�方�程0��+有�两�个+�相=等0的(�实≠数0根)；当＜时，一元二�次−方4�程�=0

222

��没有+实��数+根�．=0(�≠0)�−4𝑎0��+��+

例�=1（0(2�02≠5·0北)京第十三中学分校·三模）一元二次方程x25x30的根的情况为（）

A．无实数根B．有两个不相等的实数根

C．有两个相等的实数根D．不能判定

【答案】B

【详解】解：一元二次方程x25x30，a1，b5，c3，

2

Δb24ac5413130，

方程有两个不相等的实数根，

故选：B．

【变式1】（2025年北京市大兴区九年级中考二模）方程3x24x10的根的情况是（）

A．有一个实数根B．有两个不相等的实数根

C．有两个相等的实数根D．无实数根

【答案】B

【来源】2025年北京市大兴区九年级中考二模数学试卷

【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式：①当0，方程有两个不相等的实数根；②当0，

方程有两个相等的实数根；③当0，方程没有实数根．先求出的值，再判断，即可解题．

【详解】解：在一元二次方程3x24x10中，

∵a3，b4，c1，

2

b24ac4431280，

一元二次方程3x24x10有两个不相等的实数根，

故选：B．

【变式2】（2025·北京门头沟·二模）一元二次方程x22x30根的情况是（）

A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根

C．没有实数根D．无法确定

【答案】B

2

【详解】解：b24ac2413412160，

∴一元二次方程x22x30有两个不相等的实数根；

故选：B．

【变式3】（2024年北京市东城区北京二中教育集团中考一模）关于x的一元二次方程x22mxm210

的根的情况是（）

A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根

C．没有实数根D．实数根的个数由m的值确定

【答案】A

【来源】2024年北京市东城区北京二中教育集团中考一模数学试题

【分析】本题考查了一元二次方程的判别式，根据0，0，0，分别对应的是有两个不相等的实数根、

有两个相等的实数根、没有实数根，据此列式计算，即可作答．

【详解】解：∵x22mxm210

2

∴b24ac2m41m214m24m2440

故选：A

【变式4】．（2024·北京燕山·二模）关于x的一元二次方程x2x22x4的根的情况是（）

A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根

C．只有一个实数根D．没有实数根

【答案】A

【详解】解：x2x22x4整理得，

x22x0

2

∵b24ac241040，

∴原方程有两个不相等的实数根，

故选：A

【变式5】（2025·北京清华大学附属中学·二模）一元二次方程4x23xx1的根的情况是（）

A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根

C．没有实数根D．无法判断

【答案】A

【详解】解：4x23xx1，

4x23xx10，即4x24x10，

a4，b4，c1，

2

b24ac44411616320，

一元二次方程4x23xx1的根的情况是有两个不相等的实数根，

故选：A．

题型02有两个相等的实根

解题策略

考查一元二次方程的判别式与根的个数之间的关系．熟练掌握判别式等于0，方程有两个相等的实数根，

是解题的关键．

例1(24-25九下·北京海淀区人大附中·一模)若关于x的一元二次方程x26xc0有两个相等的实数根，则

实数c的值为（）

A．36B．36C．9D．9

【答案】D

【详解】解：关于x的一元二次方程x26xc0有两个相等的实数根，

∴624c0，

解得，c9，

故选：D．

【变式1】（2024·北京平谷·二模）若关于x的方程x2mxn0有两个相等的实数根，则方程x2mxn1

的根的情况是（）

A．只有一个实数根B．有两个相等的实数根

C．有两个不相等的实数根D．没有实数根

【答案】D

【详解】x2mxn0有两个相等的实数根，

m24n=0，

一元二次方程x2mxn1，即x2mxn+10，

=b24ac=m24n+1=m24n4=04=40，

使用方程x2mxn1没有实数根．

故选：D．

【变式2】（2025·北京昌平·二模）若关于x的一元二次方程x24x2m0有两个相等的实数根，则实数m

的值为（）

A．4B．4C．2D．2

【答案】C

【详解】解：∵关于x的一元二次方程x24x2m0有两个相等的实数根，

2

∴442m168m0，

解得：m2，

故选：C．

【变式3】（2025年北京市第十三中学分校中考三模）若关于x的一元二次方程x24x2m0有两个

相等的实数根，则实数m的值为

A．4B．4C．2D．2

【答案】D

【来源】2025年北京市第十三中学分校中考三模数学试题

【分析】本题主要考查了根的判别式，利用一元二次方程根的判别式即可解决问题．

【详解】解：∵关于x的一元二次方程x24x2m0有两个相等的实数根，

2

∴判别式Δb24ac4412m168m0，

解得：m2

故选：D．

【变式4】（2025年北京市丰台区九年级中考二模）若关于x的一元二次方程x26xm0有两个相等

的实数根，则实数m的值为（）

A．36B．9或9C．9D．9

【答案】D

【来源】2025年北京市丰台区九年级中考二模数学试卷

【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，

根据一元二次方程根的判别式可知b24ac624m0，求出解即可．

【详解】解：∵一元二次方程x26xm0有两个相等的实数根，

∴b24ac624m0，

解得m9．

故选：D．

【变式5】．（2025年北京市石景山区九年级一模）若关于x的一元二次方程x24xm0有两个相等的

实数根，则实数m的值为（）

A．4B．1C．1D．4

【答案】A

【来源】2025年北京市石景山区九年级一模数学试题

【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程ax2bxc0a0，若

b24ac0，则方程有两个不相等的实数根，若b24ac0，则方程有两个相等的实数根，若

b24ac0，则方程没有实数根，据此列式求解即可．

【详解】解：∵关于x的一元二次方程x24xm0有两个相等的实数根，

∴Δ4241m0，

∴m4，

故选：A．

题型03有两个不相等的实根

解题策略

考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握根的情况与判别式的关系是解的关键．根据时，方程

有两个不相等的实数根，建立不等式求解即可．

2Δ>0

ax+bx+c=0a≠0

例1（2025·北京西城·一模）若关于x的一元二次方程x22xm0有两个不相等的实数根，则实数m的取

值范围为（）

A．m1B．m1C．m1D．m1

【答案】A

【详解】解：∵方程x22xm0有两个不相等的实数根，

∴2241m44m0，

∴44m，即m1，

∴实数m的取值范围为m1．

故选：A．

【变式1】(24-25九下·北京东城区·一模)当关于x的一元二次方程kx22x10有两个不相等的实数根

时，k的取值范围是（）

A．k1B．k1

C．k1且k0D．k1且k0

【答案】C

【来源】北京市东城区2024-2025学年下学期九年级一模数学试卷

【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义和一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程

2

axbxc0a0，若b24ac0，则方程有两个不相等的实数根，若b24ac0，则方程有两

个相等的实数根，若b24ac<0，则方程没有实数根．根据一元二次方程的定义和根的判别式进行求解

即可．

【详解】解：∵关于x的一元二次方程kx22x10有两个不相等的实数根，

2

Δ241k0

∴，

k0

∴k1且k0，

故选：C．

【变式2】（2024年北京市大兴区九年级中考一模）若关于x的一元二次方程x22xm0有两个不

相等的实数根，则m的取值范围是（）

A．m1B．m1C．m1D．m1

【答案】D

【来源】2024年北京市大兴区九年级中考一模数学试题

【分析】根据一元二次方程根的判别式即可求解．本题考查了根的判别式，解决本题的关键是掌握0方

程有两个不相等的实数根．

【详解】解：∵关于x的一元二次方程x22xm0有两个不相等的实数根，

∴b24ac44m0

解得m1．

故选：D．

【变式3】(24-25九下·北京三帆中学·零模)若关于x的一元二次方程kx2x20有两个不相等的实数

根，则实数k的取值范围是（）

11

A．kB．k且k0

88

11

C．k且k0D．k且k0

84

【答案】B

【来源】北京市三帆中学2024—2025学年下学期九年级中考数学零模试卷

【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式，解题的关键在于能够熟练掌握

一元二次方程的定义和一元二次方程根的判别式．

根据一元二次方程的定义以及根的判别式的意义可得Δ124k20且k0，求出k的取值范围即可．

【详解】解：∵一元二次方程kx2x20有两个不相等的实数根，

Δ124k20

∴，

k0

1

∴k且k0，

8

故选：B．

【变式4】（2025年北京市石景山区中考二模）关于x的方程x22xm0有两个不相等的实数根，则

m的取值范围是（）

A．m1B．m1C．m1D．m1

【答案】D

【来源】2025年北京市石景山区中考二模数学试题

【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的

关键．

由于方程有两不相等的实数根，则根的判别式0，由此建立关于m的不等式，解不等式即可求出m的取

值范围．

【详解】∵方程x22xm0有两个不相等实数根，

2

∴241m>0，

∴44m0．

解得：m1．

故选：D．

【变式5】(24-25九下·北京第五十中学二模·)若关于x的一元二次方程m1x24x30有两个不相等

的实数根，则m的值可以是（）

7

A．0B．1C．D．3

3

【答案】A

【详解】解：根据题意，得Δ424m130，

7

解得m，

3

∵m10，

∴m1，

∴m的值可以是0．

故选：A．

题型04有实根

解题策略

考查了根的判别式、解一元一次不等式组等知识，对于一元二次方程（），则有

−⇔方程有两实根，−⇔方程有两不等实根，−⇔2方程有两相等实根，−

2⇔方程没有实根．也考查了一2元二次方程的定义．解题关键是2掌握一a元x二次+方bx程+根c的=判0别a式≠及0一2元二次

方b程4a的c定≥义0．根据一元二次方b程4的ac定>义0和根的判别式可得b4且ac=0b4ac<

0，解之得出的范围．22

k≠0Δ=b−4ac=(−2)−4×k×1=

4−4k≥0k

例1（2025·北京房山·二模）关于一元二次方程3x22xa0有实根，则实数a的取值范围是（）

1111

A．aB．aC．aD．a

3333

【答案】D

【来源】重庆市忠县2022-2023学年九年级上学期期末数学试题

【分析】根据题意得：根的判别式0，即可得出关于a的一元一次不等式，解之即可得出结论．

2

【详解】解：根据题意得：Δ243a0，

1

解得：a，

3

故选：D．

【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2bxc0（a0）的根与b24ac有如下关系：

当0时，方程有两个不相等的实数根；当0时，方程有两个相等的实数根；当0时，方程无实数

根．

【变式1】（2025年北京市朝阳区中考数学考前模拟）若关于x的一元二次方程m1x2x10有实数

根，则m的取值范围是（）．

3333

A．mB．mC．m且m1D．m＞且m1

4444

【答案】C

【来源】2025年北京市朝阳区中考数学考前模拟练习卷

【分析】本题考查一元二次方程，根据根的情况掌握根的判别式，列出不等式是解题关键．

由方程有实数根的情况可以得到关于m的不等式，从而求解．

【详解】∵关于x的一元二次方程m1x2x10有实数根，

∴0且m10，即14m110且m1，

3

解得m且m1，

4

故选：C．

【变式2】．（北京市第二十中学2025年中考数学模拟）关于x的方程kx22x10有实数根，那么k

的可能值是（）

A．4B．2C．0或2D．0或1

【答案】D

【来源】北京市第二十中学2025年中考数学模拟试题

【分析】本题考查一元一次方程的解，一元二次方程的定义，一元二次方程的根的判别式，一元二次方程

根的情况与判别式的关系：（1）0方程有两个不相等的实数根；（2）0方程有两个相等的

实数根；（3）0方程没有实数根．理解和掌握一元二次方程根的情况与判别式的关系是解题的关键．分

当k0，k0时分别讨论，即可求解．

【详解】解：当k0时，关于x的方程是2x10有实数根，

当k0时，∵关于x的方程是一元二次方程，kx22x10有两个实数根，

2

∴Δ24k10，且k0，

解得：k1且k0，

综上所述：整数k的值可能是1或0．

故选：D．

【变式3】．（2025·北京海淀·二模）如果关于x的一元二次方程x22xm0有实数根，那么m的取

值范围是（）

A．m1B．m1C．m1D．m≤1

【答案】D

【详解】解：关于x的一元二次方程x22xm0有实数根，

(2)24m44m0，

解得：m≤1．

故选：D．

【变式4】．（2023·北京延庆·一模）若关于x的一元二次方程(m1)x2x10有实数根，则m的取值

范围是（）

55

A．mB．m

44

55

C．m且m1D．m且m1

44

【答案】C

【详解】解：∵关于x的一元二次方程(m1)x2x10有实数根，

∴m10,124m110

5

∴m且m1

4

故选：C

【变式5】．（2025·北京密云·一模）若关于x的一元二次方程x22xm0有实数根，则实数m的取值范

围是（）

A．m1B．m≤1C．m1D．m1

【答案】B

【详解】解：∵一元二次方程x22xm0有实数根，

∴b24ac2241m44m0，

解得：m≤1．

故选∶B．

题型05无实根

解题策略

考查了根的判别式，熟练掌握判别式大于零，方程有两个不相等的实数根；判别式等于零，方程有两个

相等的实数根；判别式小于零，方程没有实数根是解题的关键．

例1（2023·北京延庆·一模）若关于x的一元二次方程x2xm0没有实数根，则m的值可能为（）

11

A．B．C．0D．-1

24

【答案】A

【详解】解：∵关于x的一元二次方程x2xm0没有实数根，

2

∴141m14m0，

1

解得m．

4

故选：A．

【变式1】（2025·北京燕山·一模）若关于x的方程x2mx10没有实数根，则m的值可以为（）

A．2B．0C．4D．2

【答案】B

2

【详解】解：由题意，得：m40，

∴2m2，

∴m的值可以为0，

故选B．

【点睛】本题考查根的判别式．熟练掌握0时，方程没有实数根，是解题的关键．

【变式2】（2025·北京三帆中学·三模）若关于x的一元二次方程x2﹣x+a＝0没有实数根，则a的取值范围

是()

1111

A．a＞B．a＜C．a≥D．a＝

4444

【答案】A

【详解】∵关于x的一元二次方程x2﹣x+a＝0没有实数根，

∴△＝(﹣1)2﹣4a＜0，

1

解得：a＞．

4

故选A．

【点睛】本题考查了根的判别式，根据方程根的情况知根的判别式＜0，得出关于a的一元一次不等式是

解题的关键．△

【变式3】．（2025·北京丰台·二模）若关于x的方程x2xm0没有实数根，则m的值可以为（）．

1

A．1B．C．0D．1

4

【答案】A

【详解】解：∵关于x的方程x2xm0没有实数根，

2

∴△=141m14m＜0，

1

解得：m，

4

故选项中只有A选项满足，

故选A.

【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，需要掌握一元二次方程没有实数根相当于判别式小于零.

【变式4】．（2024·北京师大附实验中学·零模）若关于x的方程(x＋1)2＝1－k没有实根，则k的取值范

围是（）

A．k＜1B．k＜－1C．k≥1D．k＞1

【答案】D

【详解】解：∵（x+1）2=1-k没有实根，

∴1-k＜0，

∴k＞1．

故选D．

【变式5】（2024·北京东城·二模）若一元二次方程x22xm0没有实数根，则m的取值范围是（）

A．m1B．m≤1C．m1D．m1

【答案】C

【详解】解：关于x的一元二次方程x22xm0没有实数根，

Δ2241m44m0，

解得：m1．

故选：C．

（30分钟限时练）

1．若关于x的一元二次方程a1x22x10有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（）

A．a1B．a2C．a2D．a2且a1

【答案】D

【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的定义，一元二次方程有两个不相等的

2

实数根，那么判别式大于0，即Δ24a110，再由一元二次方程的定义可得二次项系数不为

0，即a10，据此求解即可．

【详解】解：∵关于x的一元二次方程a1x22x10有两个不相等的实数根，

2

Δ24a110

∴，

a10

∴a2且a1，

故选：D．

2．若关于x的一元二次方程x26xm0有两个实数根，则m的取值范围为（）

A．m9B．m9C．m9D．m9

【答案】B

【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式，利用方程解的情况得到0，然后解m的不等式即可．

根据一元二次方程根的判别式，当判别式非负时，方程有两个实数根．

【详解】解：∵一元二次方程x26xm0有两个实数根，

∴Δb24ac6241m364m0，

解得：m9，

故选：B．

3．若关于x的一元二次方程x24xa0有两个相等的实数根，则实数a的值为（）

A．3B．4C．2D．-1

【答案】B

【分析】本题考查了一元二次方程方程根的判别式．根据b24ac0，方程有两个相等的实根，即可求

解．

2

【详解】解：根据题意得，44a0，

解得，a4，

故选：B．

4．若关于x的一元二次方程x22xm0有两个相等的实数根，则实数m的值是（）

A．1B．4C．4D．1

【答案】A

【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，掌握一元二次方程有两个相等的实数根则根的判别式

b24ac0是解题的关键．

根据题意以及根的判别式列出关于m的方程求解即可．

【详解】解：∵关于x的一元二次方程x22xm0有两个相等的实数根，

2

∴b24ac241m0，解得：m1．

故选A．

5．若关于x的一元二次方程x2xm0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（）

1111

A．mB．mC．mD．m

4444

【答案】C

【分析】本题考查一元二次方程根的情况与判别式的关系，根据一元二次方程根的情况与判别式的关系：

①0，方程有两个不相等的实数根；②0，方程有两个相等的实数根；③0，方程无实数根，

直接列式求解即可得到答案．

【详解】解：关于x的一元二次方程x2xm0有两个不相等的实数根，

1

14m0，解得m，

4

故选：C．

6．若关于x的一元二次方程x23xk0有两个不相等的实数根，则k的取值范围为（）

9999

A．kB．kC．kD．k

4444

【答案】C

【分析】本题考查了一元二次方程ax2bxc0a0的根的判别式．根据一元二次方程有两个不相等的

实数根可得0，解得k的取值范围即可．

【详解】解：∵关于x的一元二次方程x23xk0有两个不相等的实数根，

a1，b3，ck，

∴