北京2026年中考数学二轮复习难点03 圆的综合证明与运算（5大题型）（重难专练）（原卷版）

难点03圆的综合证明与运算

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第一部分重难考向解读拆解核心难点，明确备考要点

核心模块重难考向考法解读/考向预测

第二部分重难要点剖析精解核心要点，点拨解题技巧

要点梳理典例验知技巧点拨类题夯基

考向圆及相关性质

第三部分重难提分必刷靶向突破难点，精练稳步进阶

重难考向解读

2023、2024、2025年考法解读2026年考法预测

预测第一问考查切线的判定或角/线段相等的证

中考数学中圆主要考向为：

明；第二问结合相似三角形、勾股定理、三角函数求

一、圆相关性质（每年1~2道，6分）；

线段长或半径。可能考查双切线模型：从圆外一点引

二、圆与其他知识综合（每年1~2题，6分）；

两条切线，结合角平分线、垂直关系命题。直径与垂

考查内容稳定，命题形式多样，以解答题为主，

径定理：已知直径，构造垂径定理求弦长或半径。圆

偶尔出现在选择题和填空题中，难度中等偏

内接四边形：结合对角互补、外角等于内对角等性质

上．

进行角度转换。

重难要点剖析

考向圆及相关性质

题型1垂径定理

考查了垂径定理，同弧或等弧所对的弦长相等，直径所对的圆周角为直角，相似三角形的判定与性质，

勾股定理等知识．熟练掌握垂径定理，同弧或等弧所对的弦长相等，直径所对的圆周角为直角，相似三

角形的判定与性质，勾股定理是解题的关键．

1．（2025-2026·北京·北京师范大学附属实验中学·模拟）如图，AB是O的直径，弦CDAB于点E，且E

为OA中点，CD6．

(1)求O的半径r的长；

(2)过C作DA的垂线段交DA延长线于F，求AF的长．

2．（2022·北京西城·二模）如图，AB是O的直径，弦CDAB于点E，点M在O上，MD恰好经过圆

心O，连接MB．

(1)若CD16，BE4，求O的直径；

(2)若MD，求D的度数．

3．（2025·北京密云·二模）如图，ABC内接于O，AE是O的直径，AEBC，垂足为D．

(1)求证：ABOCAE；

(2)已知O的半径为5，DE2，求BC长．

4．（2025·北京清华附中·二模）如图，已知AB为O的直径，CD是弦，且ABCD于点E．连接AC，OC，BC．

(1)求证：CAOBCD；

(2)若BE3，CD8，求O的直径．

5．（2025·北京一零一中学·一模）如图，OAOB，AB交O于点C，D，OE是半径，且OEAB于点F．

(1)求证：ACBD；

(2)若CD6，EF1，求O的半径．

6．（2025·北京十一学校龙樾学校·一模）如图，在以AB为直径的O中，弦CDAB于点H，与弦AE交于

点F，连接BE，已知CD8，AH2．

(1)求O的半径；

(2)若ACCE，求BE的长．

题型2切线的判定与性质

考查切线的判定与性质、圆周角定理、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角

形的性质、平行线的性质、矩形的判定和性质、勾股定理、切线长定理等知识的综合应用，熟练掌握相

关知识的联系与性质是解答的关键．

7．（2025·北京西城·二模）如图，O为ABC的外接圆，点A为BAC的中点，O的切线AD交BO的延

长线于点D，BD交AC于点E．连接OA，OC，且AOC2AED．

(1)求证：DAEAED；

(2)若AD1，求BC的长．

8．（2024·北京顺义·一模）在O中，AB为O的弦，连接OA，OB，ABO30，

(1)如图1，若半径OCAB于点D，CD1，求弦AB的长；

(2)如图2，MN为O的切线，点P为切点，且MN∥OB，过点P作PFAB于点F，与半径OB相交于点

E．若O的半径是3，求OE的长．

9．（2025·北京丰台·一模）如图，AB，AD是O的弦，AO平分BAD．过点B作O的切线交AO的延

长线于点C，连接CD，BO．延长BO交O于点E，AD交于点F，连接AE，DE．

（1）求证：CD是O的切线；

（2）若AEDE3，求AF的长．

10．（2025·北京海淀·二模）如图，P为O外一点，PA，PB是O的切线，A，B为切点，点C在O上，

连接OA，OC，AC．

(1)求证：AOC2PAC；

(2)连接OB，若AC∥OB，O的半径为5，AC6，求AP的长．

11．（2025·北京三帆中学·二模）如图，已知AB是圆O的直径，F是圆O上一点，∠BAF的平分线交⊙O于

点E，交⊙O的切线BC于点C，过点E作ED⊥AF，交AF的延长线于点D．

（1）求证：DE是⊙O的切线；

BC1

（2）若DE＝3，CE＝2.①求的值；②若点G为AE上一点，求OG+EG最小值．

AE2

12．（2025·北京燕山·一模）如图，AB是O的直径，弦CDAB于点E，过点C的切线交AB的延长线于

点F，连接DF.

（1）求证：DF是O的切线；

（2）连接BC，若BCF30，BF2，求CD的长.

题型3圆的内接四边形

考查圆内接四边形性质，同弧所对圆周角性质，垂径定理，弧弦圆周角关系，弦等弦心距相等，三角形

全等判定与性质，三角形相似判定与性质，等腰直角三角形判定与性质，勾股定理，线段和差，本题难

度大，涉及知识多，图形复杂，利用辅助线画出准确图形，以及将条件转移是解题关键．

13．（2023·北京·中考）如图，圆内接四边形ABCD的对角线AC，BD交于点E，BD平分ABC，

BACADB．

(1)求证DB平分ADC，并求BAD的大小；

(2)过点C作CF∥AD交AB的延长线于点F．若ACAD，BF2，求此圆半径的长．

14．（2024·北京德胜中学·零模）如图，圆内接四边形ABCD的对角线AC,BD交于点E，ABDCAD．

(1)求证：BD平分ABC；

(2)过点C作CF∥AD交AB的延长线于点F，若DB平分ADC,ACAD，求证：CF为O的切线．

15．（2025·北京延庆区·一模）如图，圆内接四边形ABDC，AB是O的直径，ODBC交BC于点E，

ACB90．

(1)求证：点D为BC的中点；

(2)若BE4，AC6，求DE．

16．（2025·北京第十三中学分校·三模）如图，圆内接四边形ABCD的对角线AC，BD交于点E，BD平分

ABC，BACADB．

(1)求证：DB平分ADC，并求BAD的大小；

(2)过点A作AF∥CD交CB的延长线于点F，若ACAD，BF3，求此圆半径的长．

17．（2025·北京顺义·二模）如图，四边形ABDC是O的内接四边形，AD是对角线，过点A作EAAD交

DB的延长线于点E，ABAC．

(1)求证：ABEACD；

(2)连接BC，若BC为O的直径，求证：BECD．

18．（2025·北京八十中学·二模）如图，四边形ABCD是O的内接四边形，BD为直径，DA平分BDE；

且AECD的延长线于点E．

(1)求证∶AE是O的切线

(2)若AE4，CD6，求O的半径和AD的长．

题型4圆与三角形函数综合

考查了圆周角定理，垂径定理，三角函数，勾股定理，相似三角形的性质和判定，解题的关键是正确的

作出辅助线；部分题目除需掌握三角函数定义外还需掌握特殊三角函数值。

19．（2025·北京·中考）如图，在O中，AB为O的直径，C为O上一点，PD是O的切线，过点P作

AC的垂线，交AC的延长线于点D．

(1)求证：AP平分DAB；

5

(2)若AC5，sinAPC，求PD的长．

13

20．（2025·北京朝阳·二模）如图，AB、BF分别是O的直径和弦，弦CD与AB、BF分别相交于点E、G，

过点F的切线HF与DC的延长线相交于点H，且HFHG．

（1）求证：ABCD；

3

（2）若sinHGF，BF3，求O的半径长．

4

21．（2025·北京门头沟·二模）如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上不同于A、B的两点，∠ABD＝2∠BAC，

连接CD，过点C作CE⊥DB，垂足为E，直径AB与CE的延长线相交于F点．

（1）求证：CF是⊙O的切线；

183

（2）当BD＝，sinF＝时，求OF的长．

55

22．（2024·北京燕山·二模）如图，在等腰△ABC中，AC＝BC＝10，以BC为直径作O交AB于点D，交

AC于点G，DF⊥AC于F，交CB的延长线于点E．⊙

（1）求证：直线EF是O的切线；

⊙

2

（2）若sin∠E＝，求AB的长．

5

23．（2025·北京清华附中·二模）如图，BA是O的直径，C是O上一点，ODBC于点D，过点C作O

的切线，交OD的延长线于点E，连接BE．

(1)求证：BE与O相切；

1

(2)延长EC交BA的延长线于点F．若AF＝2，tanABC，求O的半径长．

2

24．（2025·北京清华大学附属中学·二模）如图，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，ABCD于点E，BF//OC，

连接BC和CF，CF交AB于点G.

（1）求证：OCFBCD；

1

（2）若CD4，tanOCF，求⊙O半径的长.

2

题型5圆与相似综合

考查了切线的判定，等腰三角形的性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，正确的作出辅助线是

解题的关键．

25．（2024·北京平谷·二模）如图，AD是圆O的切线，切点为A，AB是圆O的弦．过点B作BC//AD，交圆

O于点C，连接AC，过点C作CD//AB，交AD于点D．连接AO并延长交BC于点M，交过点C的直线于点

P，且∠BCP=∠ACD．

（1）判断直线PC与圆O的位置关系，并说明理由：

（2）若AB=9，BC=6，求PC的长．

26．（2024·北京二中·一模）如图，AB是O的直径，C为圆上一点，D是劣弧BC的中点，DEAB于E，

过点D作BC的平行线DM，连接AC并延长与DM相交于点G，连接AD与BC交于点H．

(1)求证：GD是O的切线；

(2)若CD6,AD8，求AH的值．

27．（2025·北京怀柔·模拟）如图，已知∠ABC=90°，AB=BC．直线l与以BC为直径的圆O相切于点C．点

F是圆O上异于B、C的动点，直线BF与l相交于点E，过点F作AF的垂线交直线BC于点D．

（1）如果BE=15，CE=9，求EF的长；

（2）证明：①△CDF∽△BAF；②CD=CE；

（3）探求动点F在什么位置时，相应的点D位于线段BC的延长线上，且使BC=3CD，请说明你的理由．

28．（2023·北京通州·一模）如图，ABC是圆内接三角形，过圆心O作OFAC，连接OA,OC，过点C作

CD∥AO，交BA的延长线于点D，COF45．

(1)求证：DC是O的切线；

(2)如果BCCE8，求O半径的长度．

29．（2025·北京昌平·二模）如图，已知ABC，以BC为直径，O为圆心的半圆交AC于点F，点E为CF的

中点，连接BE交AC于点M，AD为ABC