北京2026年中考数学二轮复习难点02 二次函数的图像性质与综合（4大题型）（重难专练）（原卷版）

难点02二次函数的图像性质与综合

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第一部分重难考向解读拆解核心难点，明确备考要点

核心模块重难考向考法解读/考向预测

第二部分重难要点剖析精解核心要点，点拨解题技巧

要点梳理典例验知技巧点拨类题夯基

考向二次函数性质

第三部分重难提分必刷靶向突破难点，精练稳步进阶

重难考向解读

2023、2024、2025年考法解读2026年考法预测

预测今年考查范围：常规大小比较，对称性应用：

中考数学中二次函数的主要考向为：二次函数利用抛物线的对称性，将不同横坐标的点转化到对称

性质（题目不含图像，需自己画图）轴同一侧进行比较，利用点到对称轴的距离判断函数

考查内容稳定，以解答题为主，难度中等偏上．值大小（开口向上时，离对称轴越远值越大；开口向

下时相反）分类讨论参数的不同取值情况

重难要点剖析

考向二次函数性质

题型1求对称轴

考查了二次函数图像上点的坐标特征：掌握二次函数的性质，掌握二次函数图像与系数的关系是解题的

关键．直接根据对称轴公式可得对称轴直线方程。

2

1．（2024·北京顺义·一模）在平面直角坐标系xOy中，Mx1,y1，Nx2,y2是抛物线yaxbxca0上

任意两点，设抛物线的对称轴为xt．

(1)当x12，y1c时，求抛物线的对称轴；

(2)若对于1tx12t，tx2t2，都有y1y2，求t的取值范围．

2．（2025·北京丰台·一模）在平面直角坐标系xOy中，点M（2，m），N（4，n）在抛物线y＝ax2+bx（a＞0）

上．

(1)若m＝n，求该抛物线的对称轴；

(2)已知点P（﹣1，P）在该抛物线上，设该抛物线的对称轴为x＝t．若mn＜0，且m＜p＜n，求t的取值范

围．

3．（2025·北京西城·模拟）在平面直角坐标系xOy中，抛物线yx2+bxc与x轴交于点A，B（A在B的左

侧），抛物线的对称轴与x轴交于点D，且OB=2OD．

（1）当b2时，

①写出抛物线的对称轴；

②求抛物线的表达式；

b2

（2）存在垂直于x轴的直线分别与直线l：yx和抛物线交于点P，Q，且点P，Q均在x轴下方，

2

结合函数图象，求b的取值范围．

4．（2025·北京三帆中学·零模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线yx2a2x2a．

(1)求抛物线的对称轴（用含a的式子表示）；

(2)若点1,y1，a,y2，1,y3在抛物线上，且y10y2y3，求a的取值范围．

5．（2025·北京燕山·一模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线yax2bxca0经过点A2,c．

(1)求该抛物线的对称轴；

(2)点M12a,y1，Na2,y2在抛物线上．若cy1y2，求a的取值范围

6．（2025·北京延庆区·一模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线yax24ax3a2(a0)的对称轴与x轴

交于点A，将点向右平移3个单位长度，向上平移2个单位长度，得到点B．

(1)求抛物线的对称轴及点B的坐标；

(2)若抛物线与线段AB有公共点，结合函数图象，求a的取值范围.

题型2比较函数值的大小

主要考查二次函数的性质，二次函数与一次函数交点问题等，数形结合思想及求二次函数与一次函数交

点需要联立方程是解题基础．结合函数的图象，根据二次函数的增减性可得结论。

2

7．（2025·北京·中考）在平面直角坐标系xOy中，点3,y1,1,y2在抛物线yaxbxca0上，对称轴

为直线xl.

(1)若y1y2,求l的值；

(2)已知点e,c，(2,y3)在该抛物线上，且2e1,比较y1,y2,y3的大小，并说明理由．

8．（2025·北京第十三中学分校·三模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2ax2a2x2经过点2,m．

(1)若m2，求a的值；

2

(2)已知点Mx,y和Nx,y是抛物线上的两个点，其中xxa．若m2且x时，比较y1，y的

112221132

大小，并说明理由．

9．（2025·北京顺义·二模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线yx2m1x的对称轴为直线xt．

(1)当m1时，求t的值；

(2)点t,y1，1t,y2，t1,y3在该抛物线上．若0m1，比较y1,y2,y3的大小，并说明理由．

10．（2025·北京门头沟·二模）在平面直角坐标系xOy中，点2,n在抛物线yx2k2x4k上，且它的

对称轴为直线xt．

(1)当n0时，求t的值；

(2)如果点Atk,y1，Bt2k,y2在抛物线上，当k0时，比较y1和y2的大小，并说明理由．

11．（2024·北京燕山·二模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线yax2bxc(a0)的对称轴为xt．

(1)若3a2b0，求t的值；

，，，

(2)已知点(1y1)，(2y2)，(3y3)在该抛物线上．若ac0，且3a2bc0，比较y1，y2，y3的大

小，并说明理由．

12．（2025·北京清华大学附属中学·二模）已知抛物线yax2bxca0，

(1)若抛物线过点3，m，5，m，求抛物线的对称轴；

，，，，，，，

(2)已知点0y0x1y14y22n在抛物线上，其中2x11，若存在x1使y1n，试比较

y0，y1，y2的大小关系．

题型3求参数的范围

考查了求二次函数的顶点式，二次函数的性质，运用分类讨论和数形结合思想解答是解题的关键．首先

可求得抛物线的解析式及对称轴所在的直线，再根据二次函数的性质，即可得结论；分两种情况，即开

口向上和向下时，分别讨论计算即可求得．

，，22

13．（2024·北京平谷·二模）在平面直角坐标系xOy中，M(x1y1)，N(x2y2)是抛物线yx2mxm1

上任意两点．

(1)求抛物线的对称轴（用含m的式子表示）；

(2)若x2x1n(n0)，点M、N中至少有一个点位于x轴的上方，直接写出n的范围；

＜＜,

(3)若对于1x12x2m2时，都有y1y2，求m的取值范围．

14．（2025·北京昌平·二模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线yx22bx．

(1)写出抛物线的对称轴（用含b的式子表示）；

(2)若点A1,0,B4,0，抛物线yx22bx与线段AB有两个交点，求b的取值范围；

2

(3)M1b,y1,Nb,y2是抛物线yx2bx上两点，若y1y22，直接写出b的取值范围．

15．（2026·北京·一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线yax24ax3a0．

(1)当点A(1,0)在这个函数图象上时，

①求抛物线的函数关系式．

②抛物线上有一点P到x轴的距离为1，求点P坐标．

(2)当a0时，函数图象上只有两个点到x轴的距离等于2，求a的取值范围．

(3)在平面直角坐标系中，点M1,1，点N3,1，连接MN．直接写出抛物线yax24ax3a0与线

段MN只有一个公共点时a的取值范围．

16．（2024·北京德胜中学·零模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线yax2bxc(a0)经过点

A(1,m),B(2,m2),C(0,1)．

(1)c___________，m的取值范围是__________；

2

(2)点Mx1,y1,Nx2,y2在抛物线yaxbxc(a0)上，若对于0x11,1x22，都有y1y2，求m

的取值范围．

17．（2025·北京西城·一模）在平面直角坐标系xOy中，At,y1，Bt1,y2，Ct3,y3三点都在抛物线

yax22ax4（a0）上．

(1)这个抛物线的对称轴为直线________．

(2)若y1y3y2，求t的取值范围；

(3)若无论t取任何实数，点A，B，C中都至少有两个点在x轴的上方，直接写出a的取值范围．

，，，2

18．（2024·北京清华附中·一模）在平面直角坐标系xOy中，Ax1y1Bx2y2是拋物线yxbxb0

上任意两点，设抛物线的对称轴为直线xh．

(1)若抛物线经过点(2，0)，求h的值；

，

(2)若对于x1h1x22h，都有y1y2，求h的取值范围；

，

(3)若对于h2x1h12x21，存在y1y2，直接写出h的取值范围．

题型4最值问题

二次函数综合题，考查了二次函数的性质等知识，熟练掌握二次函数的对称轴公式，增减性，顶点坐标

等知识是解题关键．

19．（2025·北京房山·二模）已知抛物线yax2bxca0的对称轴为直线xt．

(1)当t2时，

①写出b与a满足的等量关系；

x,y

②当函数图象经过点1,3，11，x12,y2时，求y1y2的最小值；

mpn

(2)已知点A1,m，B3,n，Cx0,p在该抛物线上，若对于3x04，都有，直接写出t的取值

范围．

2

20．（2023·北京延庆·一模）已知：抛物线C1：yaxbxca0．

(1)若顶点坐标为1，1，求b和c的值（用含a的代数式表示）；

(2)当c0时，求函数y2022ax2bxc1的最大值；

m2

(3)若不论m为任何实数，直线ymx1与抛物线C1有且只有一个公共点，求a，b，c的值；此时，

4

若kxk1时，抛物线的最小值为k，求k的值．

21．（2025·北京海淀·二模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线yax22a2xa0经过点A1,m和点

B3,n．

(1)当a1时，比较m,n的大小，并说明理由；

(2)当1x3时，y随x的增大而减小，且y的最大值与最小值的差为h，求h的最小值．

22．（2025·北京十一晋元中学·二模）已知二次函数y2x2bxc，经过点A0,1，对称轴为直线x1．

(1)求二次函数的表达式；

(2)当nxn2时，记二次函数y2x2bxc的最大值与最小值之差为t，求t的最小值，并写出此时对

应的n．

23．（（2025·北京密云·一模）已知二次函数过点A0，2，B(1,0)，C(2,0)．

(1)求此二次函数的解析式；

(2)当x为何值时，这个二次函数取到最小值？并求出这个最小值．

24．（2025·北京石景山·一模）已知点A(2，－3)是二次函数yx2(2m1)x2m图象上的点．

(1)求二次函数图象的顶点坐标：

(2)当1x4时，求函数的最大值与最小值的差：

(3)当t≤x≤t3时，若函数的最大值与最小值的差为4，求t的值．

重难提分必刷

（建议用时：30分钟