2026年高考数学终极冲刺限时预测05（原卷版）（全国二卷）

限时预测05（A组+B组+C组）

（建议用时：60分钟满分：77分）

四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15．（13分）

如图，在三棱锥OABC中，OA，OB，OC两两垂直，OAOC3，OB2．

(1)求直线OB与平面ABC所成角的正弦值；

(2)求二面角OBCA的余弦值．

16．（15分）

x2y23

已知椭圆C：1ab0的一个焦点与抛物线y243x的焦点重合，且椭圆C的离心率为.

a2b22

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)过椭圆C的左顶点A且倾斜角为30°的直线交椭圆C于另一点B，O为坐标原点，求OAB的面积.

17．（15分）

．甲、乙进行射击比赛，两人依次轮流对同一目标进行射击，直至有人命中目标，比赛结束，命中目标者

获胜．假设甲每次射击命中目标的概率均为（01），乙每次射击命中目标的概率均为（01），

各次射击结果互不影响．

(1)若甲先射击，甲第2次射击且获胜的概率为p，求p（用，表示）；

(2)若乙先射击，且乙获胜的概率恒大于甲获胜的概率，求的最小值．

1

参考公式：若0q1，则qi1qq2q3．

i01q

18．（17分）

已知等差数列an满足anan12n1．

(1)求an的通项公式；

n2an

(2)设数列bn满足bn(1)an2，求bn的前2n项和T2n及其最小值．

19．（17分）

已知函数fxx1alnx．

(1)若fx0恒成立，求a的取值集合；

11

(2)当a时，证明：当x1时，fxex11恒成立．

2a

（建议用时：60分钟满分：77分）

四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15．（13分）已知ABC的角A，B，C所对的边分别是a，b，c，向量ma,b，n3cosA,sinB，

pbc,ac.

(1)若m//n，求A；

π

(2)若mp,c2,C，求ABC的面积.

3

16．（15分）

如图，边长为2的正方形ABCD所在的平面与平面CMD垂直，且DMMC.

(1)证明：平面AMD平面BMC；

(2)当MCMD时，求平面MAB与平面MCD所成角的正弦值.

17．（15分）

x2y2

已知双曲线C：1（a0，b0）的离心率为3，且C过点3,2，O为坐标原点．

a2b2

(1)求C的方程．

(2)动直线l过C的右焦点F且与C交于A，B两点，证明：OAOB为定值．

(3)C上是否存在互不重合的三点P，Q，M，使得四边形OPMQ为平行四边形？若存在，求出直线PQ的

方程；若不存在，请说明理由．

18.（17分）已知函数fxax2lnx.

(1)讨论fx的单调性；

(2)若存在x1，x21,3，x2x11，使得fx1fx2，求a的最大值.

19．（17分）

某销售公司为了激励员工，对销售冠军——员工甲进行奖励，奖励方案为：在一个盲盒里，有n（足够多）

张奖券，这些奖券的金额各不相等，其最大值为M，但金额具体是多少，并未公开.该员工甲需逐张随机抽

取并查看金额，如果对抽取的奖券不满意就弃掉，继续抽奖（弃掉的奖券不能再抽取），如果对这张奖券

比较满意就保留，从而停止抽奖，公司将以此奖券金额作为奖励.

(1)若甲抽取了两张，把第2张奖券保留下来，求甲获得最大金额奖励M的概率；

(2)若甲先抽取了k（kN*，且kn）张奖券，记录下其中的最大金额为m，然后继续抽取，若抽到奖券

的金额小于m，就继续抽，当抽到第i（iN*，kin）张奖券时，其金额大于m，则保留该奖券，停止

抽奖，若未抽到金额大于m的奖券，则保留第n张.

（ⅰ）若n5，当k2时，求甲获得最大金额奖励M的概率p；

（ⅱ）当调整k的取值时，甲获得最大金额奖励M的概率p也会发生变化.若n100，请估计p的最大值，

并求此时k的值.

n11n

（估值参考：当n100时，ln，e2.72，0.36ln0.360.3678，0.37ln0.370.3679.）

ikik

（建议用时：60分钟满分：77分）

四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15．（13分）

已知等差数列an的公差d0，其前n项和为Sn，且a1，a2，a4成等比数列，S530．

(1)求数列an的通项公式；

1

(2)若ba1，且b的前n项和为Tn，求证：2Tbb（n2）．

n2nnnnn1

16．（15分）

如图．四棱锥PABCD的底面为正方形，平面PAB平面ABCD，PAABPB2．设E为CP的中点．

(1)求平面PAB与平面ABE夹角的正切值；

(2)设F为线段PB上一点（含端点），求CF与平面ABE所成角的正弦值的范围；

(3)直接写出四棱锥PABCD的外接球表面积与体积（无需证明）．

17．（15分）

近年来某App用户保持连续增长，若李明收集了20202024年的年份代码xx1,2,3,4,5与该App在线用

户数y（单位：万）的数据，具体如下表所示：

年份代码x12345

App在线用户数y（单位：万）80150210260300

(1)求样本相关系数r，并判断变量x与y之间的线性相关关系的强弱：

(2)从20202024年中随机抽取三个不同年份所对应的在线用户数据y，记最小的数据为X，求X的分布列

及数学期望EX．

n

xixyiy

注：样本相关系数ri1．当越接近时，成对样本数据的线性相关程度越强；当

nnr1

22

xixyiy

i1i1

55

它接近时，成对样本数据的线性相关程度越弱其中，2222．

0.xi5xyi5y553

i1i1

18．（17分）

已知函数fx2axlnx，其中aR．

(1)当a1时，求fx在1，f1处的切线方程；

(2)若函数fx存在单调递增区间，求实数a的取值范围；

(3)若a0,bR，对任意的x0，fxab恒成立，求b5a的最小值．

19．（17分）已知抛物线C：x22py(p0)的焦点为F，O为坐标原点.过F作直线与C交于点A