第23课 数据的分析（教师版）

第23课数据的分析

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课程标准

1.了解加权平均数的意义和求法，会求实际问题中一组数据的平均数，体会用样本平均数估计总体平均数

的思想.

2.了解中位数和众数的意义，掌握它们的求法.进一步理解平均数、中位数和众数所代表的不同的数据特

征.

3.了解极差和方差的意义和求法，体会它们刻画数据波动的不同特征.体会用样本方差估计总体方差的思

想，掌握分析数据的思想和方法.

4.从事收集、整理、描述和分析数据得出结论的统计活动，经历数据处理的基本过程，体验统计与生活的

联系，感受统计在生活和生产中的作用，养成用数据说话的习惯和实事求是的科学态度.

&知识精讲

知识点01算术平均数和加权平均数

一般地，对于〃个数内、七、不、…工，我们把'(芯+9+%3+…+5)叫做这〃个数的算术平均数，简称平

n

++

均数，记作元刀算公式为了=—(A)+A2A3+•-•A;J).

【注意】

平均数表示一组数据的“平均水平”，反映了一组数据的集中趋势.

(I)当一组数据较大时，并且这些数据都在某一常数。附近上、下波动时，一般选用简化计算公式

5=亍+。.其中兄为新数据的平均数，a为取定的接近这组数据的平均数的较“整”的数.

(2)平均数的大小与一组数据里的每个数据均有关系，其中任一数据的变动都会相应引起平均数的变动.

所以平均数容易受到个别特殊值的影响.

若〃个数为、居、…X”的权分别是叫、叫、…、%，则+…+」产'〃叫做这〃个数的加权平均

“+w2+...+wn

数.

【注意】

(1)相同数据七的个数叫叫做权，吗越大，表示巧的个数越多，"权''就越重.数据的权能够反映数据的

相对“重要程度”.

(2)加权平均数实际上是算术平均数的另一种表现形式，是平均数的简便运算.

知识点02中位数和众数

1.中位数的概念：将一-组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列,如果数据的个数是奇数，则处于史

回位置的数称为这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数

称为这组数据的中位数.

【注意】

（1）一组数据的中位数是唯一的;一组数据的中位数不一定出现在这组数据中.

（2）由一组数据的中位数可以知道中位数以上和以下数据各占一半.

2.众数的概念：一组数据中出现次数最多的数据称为这组数据的众数.

【注意】

（I）一组数据的众数二^出现在这组数据中；一组数据的众数可能不止一个;如果所有数据出现的次数都

一样，那么这组数据就没有众数.

（2）众数是一组数据中出现次数最多的数据而不是数据出现的次数.

知识点03平均数、中位数与众数的联系与区别

联系：平均数、众数、中位数都是用来描述数据集中趋势的量，其中以平均数最为重要.

区别：平均数的大小与每一个数据都有关，任何一个数的波动都会引起平均数的波动，当一处数据中有个

别数据太高或太低，用平均数来描述整体趋势则不合适，用中位数或众数则较合适.中位数与数据排列位置

有关，个别数据的波动对中位数没影响；众数主要研究各数据出现的频数，当一组数据中不少数据多次重

复出现时，可用众数来描述.

知识点04极差、方差和标准差

用一组数据中的最大值减去最小值所得的差来反映这组数据的变化范围,用这种方法得到的差称为极差，

极差=最大值一最小值.

【注意】

极差是最简单的一种度量数据波动情况的星，它受极端值的影响较大.一组数据极差越小，这组数据就越稳

定.

方差是反映一组数据的整体波动大小的特征的量.方差/的计算公式是:

S2=-

【注意】

（1）方差反映的是一组数据偏离平均值的情况.方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小.

（2）一组数据的每一个数都加上（或减去）同一个常数，所得的一组新数据的方差不变.

（3）一组数据的每一个数据都变为原来的上倍，则所得的一组新数据的方差变为原来的£倍.

知识点（）5极差、方差的联系与区别

联系：极差与方差都是表示一组数据离散程度的特征数.

区别：极差表示一组数据波动范围的大小，它受极端数据的影响较大；

方差反映了一组数据与其平均值的离散程度的大小.方差越大，融定性也越小；反之，则稳定性越好.所

以一般情况下只求一组数据的波动范围时用极差，在考虑到这组数据的稳定性时用方差.

知识点06用样本估计总体

在考察总体的平均水平或方差时，往往都是通过抽取样本，用样本的平均水平或方差近似估计得到总体的

平均水平或方差.

【注意】

（1）如果总体数量太多，或者从总体中抽取个体的试验带有破坏性，都应该抽取样本.取样必须具有尽可

能大的代表性.

（2）用样本估计总体时，样本容量越大，样本对总体的估计也越精确.样本容量的确定既要考虑问题本身

的需要，又要考虑实现的可能性所付出的代价.

J能力拓展

考法01利用概念求平均数、中位数、众数

【典例1】鞋店在一段时间内销0了某种女鞋30双，各种尺码鞋的销位量如表所示.你能根据表中的数据

为这家鞋店提供进货建议吗？

尺码/cm2222.52323.52424.525

销售量/双12511731

【答案】可以建议鞋店多进23.5cm的鞋.

【解^5]

【分析】

找出这组数据的众数，即可完成解答.

【详解】

解：由表中可以看出，在鞋的尺码组成的数据中，23.5是这组数据的众数，

即23.5cm的鞋销售量最大.

因此可以建议鞋店多进23.5cm的鞋.

【点睛】

本题考查了众数在实际生活中的应用，根据众数进行决策.

【即学即练】2018年9月某市区一周空气质量报告中其气体污染指数的数据分别是37、39、38、37、39、

40、36,这组数据中的中位数是,平均数是_____,众数是.

【答案】383837和39

【解析】

【分析】

根据众数和中位数、平均数的定义求解可得.

【详解】

解：将数据重新排列为36、37、37、38、39、39、40,

所以这组数据的中位数是38、众数是37和39,平均数是gx（36+37+37+38+39+39+40）=38,

故答案为38、38、37和39.

【点睛】

本题考查的是平均数、众数、中位数的定义及其求法，牢记定义是关键.平均数是指在一组数据中所有数

据之和再除以数据的个数；将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数,

则处于中间位置的数就是这组数据的中位数：如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是

这组数据的中位数.•组数据中现次数最多的数据叫做众数.

考法02利用三数一一平均数、众数、中位数解决问题

【典例2】某校欲招聘一名数学教师，学校对甲、乙、丙三位候选人进行了三项能力测试，各项测试成绩满

分均为100分，根据结果择优录用，三位候选人的各项测试成绩如下表所示：

⑴如果根据三项测试的平均成绩，谁将被录用？说明理由；

⑵根据实际需要，学校将教学、科研和组织三项能力测试得分按5:3：2的比例确定每人的成绩，谁将被

录用？说明理由.

测试成绩

测试项目甲乙丙

教学能力857373

科研能力707165

组织能力647284

【答案】（1）丙;（2）甲

【解析】

【详解】

分析：（1）根据平均数的计算公式分别求出甲、乙、丙的成绩，再进行比较，即可得出答案；（2）将三人

的总成绩按比例求出测试成绩，匕较得出结果.

本题解析：

解：⑴丙将被录用，因为x甲=73分，Xz,=72分，X丙=74分，x丙〉x甲“乙；

⑵甲将被录用，因为x甲=76.3分，x乙=72.2分，x丙=72.8分，x甲＞x内“乙

【即学即练】小林在八年级第一学期的数学书面测验成绩分别为：平时考试第一单元得104分，第二单元

得96分，第三单元得112分；期中考试得102分；期末考试得110分.如果按照平时、期中、期末各占10%,

30%,60%计算，那么小林该学期数学书面测验的总评成绩为多少分？

【答案】107分

【解析】

【分析】

把不同的成绩分别乘以对应的权重后求和.

【详解】

小林该学期数学书面测验的总评成绩=（104+96+112）-r3xl0%+102x30%+110x60%=107（分）.

【点睛】

本思考查了加权成绩的计算.加权成绩等于各项成绩乘以不同的权重的和.

【典例3】下表是七年级（2）班30名学生期中考试数学成绩表（已破损）.

成绩（分）5060708090100

人数（人）2573

已知该班学生期中考试数学成绩平均分是76分.

（1）求该班80分和90分的人数分别是多少?

（2）设此班30名学生成绩的众数为中位数为〃，求。+人的值.

【答案】（1）该班得80分的有8人，得90分的有5人.（2）160.

【解析】

【分析】

50x24-60x5+70x74-80x4-90?+100x3

（1）根据题意:设该班80分和90分的人数分别是x、y；得方程=76

30

与x+y+2+5+7+3=30：解方程组即叽

（2）众数是一组数据中出现次数最多的数；中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最

中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数.求出〃的值就可以.

【详解】

解：（1）设该班得80分的有X人.得90分的有y人.

根据题意和平均数的定义，得

2+5+7+x+y+3=30

76x30=50x2+60x5+70x7+80x+90y+100x3

+y=13x=8

整理得\A:ninn*解得--

8x+9>'=109［），=3

即该班得80分的有8人，得90分的有5人.

（2）因为80分出现8次且出现次数最多.所以4=80,第15、16两个数均为80分，所以。=80,则

。+8=80+80=160.

【点睛】

本题为统计题，考查平均数、众数与中位数的意义.解题的关铤是准确理解题意，建立等量关系.

【即学即练】某教师为了对学生零花钱的使用进行教育指导，对全班50名学生每人一周内的零花钱数额进

行了调查统计，并绘制了统计表如下：

请根据表中的信息，回答以下问题.

（1）求a的值；

（2）求这50名学生每人一周内的零花钱额的众数、中位数和平均数.

【答案】⑴10;（2）众数：15,中位数：12.5,平均数：12；

【解析】

【分析】

⑴用总人数减去其它三个的人数即可得到零花钱额为5亓的学牛的人激.即可得到a的信:

⑵根据众数、中位数、平均数的定义计算即可得到这50名学生每人一周内的零花钱额的众数、中位数和平

均数.

【详解】

解：⑴;调查的总人数为50,

•••零花钱数额为5元学生有，50-15-20-5=10

a的值为10；

⑵从图表的信息得到，

本周内有20个学生的零花钱是15元，出现的次数最多，

「•众数为：15；

••,学生零花钱的数目和人数分别为：5元10个，10元15个，15元20个，20元5个，

・•・根据中位数定义，按照零花钱的额从小到大排（等额的不分M页序），排在得到25、26的学生的钱的平均

值即是中位数（50是偶数，所以取中间的两个数的平均值），

二•中位数为：*”=12.5：

平均数为：5X10+10X15+15X20+20X5_%

【点睛】

本题主要考查数据的收集、处理以及统计表，熟记众数（出现次数最多的）、中位数（按顺序排列的一组数

中居于中间位置的数）、平均数的基本概念是解题的关键.

考法03方差

【典例4】某社区准备在甲、乙两位射箭爱好者中选出一人参加集训，两人各射了5箭，他们的总成绩（单

位：环）相同，小宇根据他们的成绩绘制了如下尚不完整的统计图表，并计算了甲成绩的平均数和方差（见

小宇的作业）.

甲、乙两人射箭成绩统计表

第1次第2次第3次第4次第5次

甲成绩94746

乙成绩757a7

,.甘¥小宇的作业

解:元=+(9+4.77+6)=6.

,,

5^=±((9-6)+(4-6)+

(7-6)J+(4-6)\(6-6),|

=+(9.4.1X.O)

=3.6

（1）a=,无=；

（2）请完成图中表示乙成绩变化情况的折线；

（3）①观察折线图，可看出的成绩比较稳定（填"甲"或"乙〃）.参照小宇的计算方法，计算乙成绩

的方差，并验证你的判断.

②请你从平均数和方差的角度分析，谁将被选中.

【答案】（1）4,6：（2）见解析；（3）①乙，验证见解析；②乙将被选中.因为两人成绩的平均水平（平

均数）相同，而乙的方差小于甲的方差，所以乙的成绩比甲稳定，故乙将被选中.

【解析】

【分析】

（1）根据他们的总成绩相同，算出甲的总成绩后得出。=30-7-7-5-7=4,进而可以利用平均数的计算公式求

出结果；

（2）根据（1）中所求得出〃的值进而得出折线图即可；

（3）①观察图，即可得出乙的成绩比较稳定；

②因为两人成绩的平均水平（平沟数）相同，根据方差得出乙的成绩比甲稳定，所以乙将被选中.

【详解】

解：（1）解：（1）二•两人各射了5箭，他们的总成绩（单位：环）相同，

甲的总成绩为：9+4+7+4+6=30,

二乙的总成绩为：7+5+7+4+7=30,

解得:。=4,

故％乙=^又30=6,

故答案为：4,6；

（2）如图所示：

（3）①观察图，可看出乙的成绩比较稳定，

故答案为：乙；

S2=1[（7-6）2+（5-6）2+（7-6）2+（4-6）2+（7-6）2]=1.6,

由于所以上述判断正确；

②乙将被选中.因为两人成绩的平均水平（平均数）相同，而乙的方差小于甲的方差，所以乙的成绩比甲

稳定，故乙将被选中.

【点睛】

此题主要考查了方差的定义以及折线图和平均数的意义，根据已知得出〃的值进而利用方差的意义比较稳

定性即可.

8.某工厂甲、乙两名工人参加操作技能培训.现分别从他们在培训期间参加的若干次测试成绩中随机抽取

8次，数据如下（单位：分）.

甲9582888193798478

乙8375808090859295

（1）请你计算这两组数据的平均数、中位数.

（2）现要从中选派一人参加操作技能比赛，从统计学的角度考虑，你认为选派哪名工人参加合适？请说明

理由.

【答案】（1）甲、乙两组数据的平均数都是85分，中位数分别为83分、84分；（2）派乙参赛更合适.理由

见解析.

【解析】

【分析】

（1）根据平均数、中位数的计算方法分别计算即可；

（2）从平均数、中位数、方差以及数据的变化趋势分析.

【详解】

z—1

（1）不।=-（95+82+88+81+93+79+84+78）=85（分），

8

—1,

立=一（83+75+80+80+90+85+92+95）=85

8

将甲工人的测试成绩从小到大排序，处在第4、5位的平均数为（82+84）+2=83（分），

因此甲工人测试成绩的中位数是83分，

将乙工人的测试成绩从小到大排序，处在第4、5位的平均数为（83+85）+2-84（分），

因此乙工人测试成绩的中位数是84分，

答：甲、乙两组数据的平均数都是85分，中位数分别为83分、84分.

（2）（答案不唯一，合理即可）

="［（95-85『+（82-85『+…+（78一85）［=35.5（分2）

=11^（83-85）2+（75-85）2+...+（95-85）2］=412）

①从平均数看，甲、乙均为85分，平均水平相同；

②从中位数看，乙的中位数大于中，乙的成绩好于甲；

③从方差来看，因为所以甲的成绩较稳定；

④从数据特点看，获得85分以上（含85分）的次数，甲有3次，而乙有4次，

故乙的成绩好些；

⑤从数据的变化趋势看，乙后几次的成绩均高于甲，且呈上升趋势，因此乙更具潜力.

综上分析可知，甲的成绩虽然比乙稳定，但从中位数、获得好成绩的次数及发展势头等方面分析•，乙具有

明显优势，

所以派乙参赛更合适.

【点睛】

考查平均数、中位数、方差的意义及计算方法，从多角度分析数据的发展趋势是一项基本的能力.

考法04统计思想

【典例5】9.中考体育测试前，原塔区教育局为了了解选报引体向上的初三男生的成绩情况，随机抽取了

本区部分选报引体向.上项目的初三男生，并将测试得到的成绩绘成了下面两幅不完整的统计图.

请你根据图中的信息，解答下列问题：

（1）写出扇形图中,并补全条形图；

（2）在这次抽测中，测试成绩的众数和中位数分别是个、个；

（3）该区体育中考选报引体向上的男生共有2400人，如果体育中考引体向上达6个以上（含6个）得满

分，请你估计该区体育中考中选报引体向上的男生能获得满分的有多少名？

【答案】（1）25%,见解析；（2）5,5；（3）1080名

【解析】

【分析】

（1）根据扇形统计图可以求得a的值，根据扇形统计图和条形统计图可以得到做6个的学生数，从而可以

将条形图补全；

（2）根据（1）中补全的条形图和众数、中位数的定义可以得到众数和中位数：

（3）根据统计图可以估计该区体育中考中选报引体向上的男生能获得满分的人数.

【详解】

解：（1）由题意可得，a=l-30%-15%-10%-20%=25%,

做6个的学生数是604-30%X25%=50

补全的条形图，如图所示，

故答案为：25%；

（2）由补全的条形图可知，这次抽测中，测试成绩的众数和中位数分别是5个，5个；

故答案为：5,5：

（3）该区体育中考中选报引体向上的男生能获得满分的有：2400x（25%+20%）=1080（名），

即该区体育中考中选报引体向上的男生能获得满分的有1080名.

【点睛】

此题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解

决问题的关键.条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小.

【即学即练】某公司对消费者进行了随机问卷调查，共发放1000份调查问卷，并全部收回，根据调查问卷,

将消费者年收入情况整理后，制成如下表格（被调查的消费者年收入情况）：

年收入/万元38102050

被调查的消费者数/人1005003005050

（1）根据表中数据，被调查的消费者平均年收入为多少万元？

（2）被调查的消费者年收入的中位数和众数分别是和万元.

（3）在平均数、中位数这两个数据中，谁更能反映被调查的消费者的收入水平?请说明理由.

【答案】（1）10.8；（2）8,8；（3）中位数更能反映被调查的消费者的收入水平.理由见解析.

【解析】

【分析】

（1）根据加权平均数概念:若〃个数-，X〉……,%的权分别是叫，卬2,……，叫，那么

了=.二月叫叫做这〃个数的加权平均数，进行求解即可；

（2）根据中位数和众数的概念：一般地，〃个数据按大小顺序排列，处于最中间的一个数据1或最中间两

个数据的平均数）叫做这组数据的中位数.一组数据中出现次数最多的那个数据叫做坡绢数据的众数,进

行求解即可.

（3）根据平均数与众位的区别进行分析可得出结论.

【详解】

反〃/、_3x100+8x500+10x300+20x50+50x50…,一、

解：（1）x=-------------------------------=10.8（刀兀），

1lAA7

答：被调查的消费者平均年收入为10.8万元；

（2）将这组数据按照由小到大排列，由于有偶数个数，所以取中间两个数的平均数，第500、501位都是8,

所以被调查的消费者年收入的中位数8万元；

年收入是8万元的消费者人数是500人，人数最多，所以被调查的消费者年收入的众数是8万元；

（3）中位数更能反映被调查的消费者的收入水平，理由如下：

虽然平均数，中位数均能反映一组数据的集中程度，但平均数易受极端数值影响，所以中位数更能反映被

调查的消费者的收入水平.

【点睛】

本题考杳了利用图表获取信息的能力，解题的关键是理解平均数、中位数以及众数的意义以及区别与联系.

fii分层提分

题组A基础过关练

1.一组数据：1、2、2、3,若添加一个数据2,则发生变化的统计量是（）

A.平均数B.中位数C.众数D.方差

【答案】D

【解析】

【详解】

解：A.原来数据的平均数是2,添加数字2后平均数仍为2,故A与要求不符;

B.原来数据的中位数是2,添加数字2后中位数仍为2,故8与要求不符；

C.原来数据的众数是2,添加数字2后众数仍为2,故C与要求不符；

D.原来数据的方差=（12>+2x（2—2）2+（3―2尸二,

42

添加数字2后的方差=（S2+3x（2-2）2+（3—2一,

55

故方差发生了变化.

故选D.

2.某排球队6名场上队员的身高（单位:cm）是：180,184,28,190,192,194.现用一名身高为186cm

的队员换下场上身高为192cm的队员，与换人前相比，场上队员的身高（）

A.平均数变小，方差变小B.平均数变小，方差变大

C.平均数变大，方差变小D.平均数变大，方差变大

【答案】A

【解析】

【详解】

分析：根据平均数的计算公式进行计算即可，根据方差公式先分别计算出甲和乙的方差，再根据方差的意义

即可得出答案.

180+184+188+190+192+194

详解：换人前6名队员身高的平均数为；=-------------------------=188,

6

方差为S2=:[(180—I88『+(184-188『+(188-188『+(190-188)2+(192-188『+(194-188)1号;

180+184+188+190+186+194

换人后6名队员身高的平均数为7=-------------------------=187,

6

方差为S2=1[(180-187)2+(184—187)2+(188-187)2+(190-187)2+(186-187)2+(194-187)2J=y

6859

V188>187,—>—»

33

二平均数变小，方差变小,

故选A.

点睛：本题考查了平均数与方差的定义：一般地设n个数据，X］，X2,…七的平均数为7,则方差S2='［（x】，）

n

2+2+...+（Xn-j）",它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立.

3.甲、乙两班举行电脑汉字输入比赛，参赛学生每分钟输入汉字个数的统计结果如下表:

班级参加人数平均数中位数方差

甲55135149191

乙55135151110

某同学分析上表后得出如下结论：

①甲、乙两班学生的平均成绩相同;

②乙班优秀的人数多于甲班优秀的人数（每分钟输入汉字N150个为优秀）：

③甲班成绩的波动比乙班大.

上述结论中，正确的是（）A.①②B.②③C.①③

D.①②③

【答案】D

【解析】

【详解】

分析：根据平均数、中位数、方差的定义即可判断；

详解：由表格可知，甲、乙两班学生的成绩平均成绩相同；

根据中位数可以确定，乙班优秀的人数多于甲班优秀的人数；

根据方差可知，甲班成绩的波动匕乙班大.

故①②③正确，

故选D.

点睹：本题考查平均数、中位数、方差等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型.

4.%,左，…，£的平均数为4,4，与，…，/的平均数为6,则再，“2，…，与）的平均数为（）

A.5B.4C.3D.8

【答案】A

【解析】

【详解】

根据题意可知：。+晨一+.=4,%+久…+再o=6,可求得士+/+…+/=20,/+巧+…+%=30,

JJ

因此可得再+".•+/=生变=5.

1010

故选A.

5.某市6月份日平均气温统计如图所示，则在日平均气温这组数据中，众数和中位数分别是（）

A.21,21B.21,21.5C.21,22D,22,22

【答案】C

【解析】

【详解】

这组数据中，21出现了10次，出现次数最多，所以众数为21,

第15个数和第16个数都是22,所以中位数是22.

故选C.

6.在某校“我的中国梦”演讲比赛中，有9名学生参加决赛，他们决赛的最终成绩各不相同.其中的一名学生

想要知道自己能否进入前5名，不仅要了解自己的成绩，还要了解这9名学生成绩的（）

A.众数B.方差C.平均数D,中位数

【答案】D

【解析】

【分析】

根据中位数是一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数）

的意义，9人成绩的中位数是第5名的成绩.参赛选手要想知道自己是否能进入前5名，只需要了解自己的

成绩以及全部成绩的中位数，比较即可.

【详解】

由于总共有9个人，旦他们的分数互不相同，第S的成绩是中位数，要判断是否进入前S名，故应知道中

位数的多少.

故选：D.

【点睛】

本题考查了统计量的选择，熟练掌握众数，方差，平均数，中位数的概念是解题的关键.

7.若一组数据2,3,4,5,4的方差与另一组数据5,6,7,8,9的方差相等，则4的值为（）.

A.1B.6

C.1或6D.5或6

【答案】C

【解析】

【分析】

根据数据XT,X2,...Xn与数据XT+a,x?+a,...Xn+a的方差相同这个结论即可解决问题.

【详解】

解：•••一组数据2,2,4,5,x的方差与另一组数据5,6,7,8,9的方差相等，

・•・这组数据可能是2,3,4,5,6或1,2,3,4,5,

/.x=l或6,

故选：C

【点睛】

本题考查方差、平均数等知识，解题的关键结论：数据XI，X2,…Xn与数据Xi+a,X2+a,...Xn+a的方差相同解

决问题.

8.已知一组数据々，七，％，Z的平均数是2,方差是g，那么另一组数据3%-2,3&-2,3X.-2,

3X4-2,3X5-2,的平均数和方差分别是（）.

12

A.2,—B.2,1C.4,—D.4,3

33

【答案】D

【解析】

【分析】

根据数据的变化和其平均数及方差的变化规律求得新数据的平均数及方差即可.

【详解】

解：.•.数据X],X2,X3,X4,X5的平均数是2,

二数据3x”2,3X2-2,3x3-2,3又4-2,3依-2的平均数是3x2-2=4；

;数据X1，X2，X3，X4,X5的方差为g,

「•数据3xi，3x2，3X3，3X4»3x5的方差是§x3?=3,

...数据3X1-2,3X2-2,3X3-2,3x4-2,3x$-2的方差是3,

故选D.

【点睛】

本题考查了方差的知识,说明了当数据都加上一个数（或减去一个数）时，平均数也加或减这个数，方差不变，即

数据的波动情况不变；当数据都乘以•个数（或除以•个数）时,平均数也乘以或除以这个数，方差变为这个数

的平方倍.

题组B能力提升练

9.已知一组数据4,x,5,y,7,9的平均数为6,众数为5,则这组数据的中位数是.

【答案】5.5

【解析】

【详解】

【分析】先判断出X,y中至少有一个是5,再用平均数求出x+y=ll,即可得出结论.

【详解】••.一组数据4,x,5,V，7,9的众数为5,

x,y中至少有一个是5,

・•・一组数据4,x,5,y,7,9的平均数为6,

—(4+x+5+y+7+9)=6,

6

x+y=ll,

••.x,y中一个是5,另一个是6,

.•.这组数为4,5,5,6,7,9,

」•这组数据的中位数是gx(5+6)=5.5,

故答案为5.5.

【点睛】本题考杳了众数、平均数、中位数等概念，熟练掌握众数、平均数、中位数的概念、判断出x,y

中至少有一个是5是解本题的关键.

10.某水果店销售11元，18元，24元三种价格的水果，根据水果店一个月这三种水果销售量的统计图(如

图)，可计算出该店当月销售出水果的平均价格是元・

【答案】15.3

【解析】

【分析】

根据加权平均数的计算方法，分别用单价乘以相应的百分比，计算即可得解.

【详解】

11X60%+18X15%+24X25%=15.3(TL)，

即该店当月销售出水果的平均价格是15.3元，

故答案为15.3.

【点睛】

本题考查扇形统计图及加权平均数，熟练掌握扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小及加权平均数

的计算公式是解题的关键.

11.已知一组从小到大排列的数据：2,5,x,y,2x,11的平均数与中位数都是7,则这组数据的众数是.

【答案】5

【解析】

【详解】

【分析】抓住平均数和中位数都是7,可以列出:(2+5+x+y+2x+ll)(x+y)=7,解方程得.

【详解】•••一组从小到大排列的数据：2,5,x,y,2x,11的平均数与中位数都是7,

7(2+5+x+y+2x+ll)=；(x+y)=7,

6一

解得y=9,x=5,

,这组数据的众数是5.

故正确答案为：5.

【点睛】本题考核知识点：平均数、中位数.解题关键：抓住题中涉及的数量关系，列出相关式子.

12.已知2,3,5,〃?，〃五个数据的方差是2,那么3,4,6,5+1,五个数据的方差是.

【答案】2

【解析】

【详解】

由题意知，原数据的平均数为天，新数据的每一-个数都加了1,则平均数变为元+1,

222

则原来的方差S/=；[(XI，)+(X2-J)+...+(x5-i)]=2,

现在的方差Sz2=—[(X1+1-X-1)2+(X2+1-X-1)2+-.+(Xs+1-.r-l)2]=~[(X1-X)2+(X2-x)2+...+(X5-.V)2]=2,

JJ

所以方差不变.

故答案为：2.

点睛：本题考杳了方差，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，每个数都加1所以波动不会变，方差不

变，即数据的波动情况不变.

13.已知5个互不相同的正整数的平均数是18,中位数25,那么这5个正整数中最大数的最大值是.

【答案】36

【解析】

【分析】

根据平均数的求法，可得出所有数据的和，再根据中位数求法是从大到小排列后，最中间一个或两数的平

均数，所以25在最中间，求这5个正整数中最大数的最大值，即尽可能让其他数据最小即可求出.

【详解】

••・5个互不相同的正整数的平均数是18.

••.这5个数的和为：5x18=90,

中位数25,

最中间一定是25,

二•要求这5个正整数中最大数的最大值是，

其他数据应尽可能的小，

「•其他数一定为：1，2,26,

「•最大数为：90-1-2-25-26=36.

故答案为36.

【点睛】

本题主要考查了中位数以及平均数的应用，求这5个正整数中最大数的最大值，即尽可能让其他数据最小

是解决问题的关键.

14.两组数据：3,a,2b,5与a,6,。的平均数都是6,若将这两组数据合并为一组数据，则这组新数据

的中位数为.

【答案】6

【解析】

【分析】

首先根据平均数的定义列出关于a、b的二元一次方程组，再解方程组求得a、b的值，然后求众数即可.3,

a,2b,5与a,6,8的平均数都是6.

【详解】

解；,两组数据：3,a,2b,5与a,6,〃的平均数都是6,

%+2b=24-3-5(a=8

AIQA，解得LA,

a+Z>=18-6[b=4

若将这两组数据合并为一组数据，按从小到大的顺序排列为3,4,5,6,8,8,8,

一共7个数，中间的数是6,所以中位数是6.

故答案为6.

15.下表为某班学生成绩的次数分配表.己知全班共有38人，且众数为50分，中位数为60分，则x2-y之

值为.

成绩

2030405060708090

（分）

次数

235X6y34

（A）

【答案】57

【解析】

【分析】

由于全班共有38人，则x+y=38-O+3+5+6+3+4）=15,结合众数为50分，中位数为60分，分情况讨论即

可确定X、y之值，从而求出x2-y之值.

【详解】

■「全班共有38人,

x+y=38-（2+3+S+6+3+4）=15,

又「众数为50分，

x>6,x>y,

x>8,

当x=8时，y=7,中位数是第19、20两个数的平均数，都为60分，则中位数为60分，符合题意；

当x=9时，y=6,中位数是第19、20两个数的平均数，则中位数为（50+60）+2=55分，不符合题意；

同理当x=10,11,12,13,14,15时，中位数都不等于60分，不符合题意.

x=8,y=7.

/.x2-y=64-7=57.

故答案为57.

【点睛】

本题结合代数式求值考查了众数与中位数的意义.众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以

不止一个；中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新拄列后，最中间的那个数（最中间两个数的

平均数），叫做这组数据的中位数.本题的关键是确定X、y之值.

题组C培优拔尖练

16.在一次中学生田径运动会上，根据参加男子跳高初赛的运动员的成绩（单位：m）,绘制出如下的统计

图①和图②，请根据相关信息，解答下列问题:

（I）图1中a的值为

（K）求统计的这组初赛成绩数据的平均数、众数和中位数;

（田）根据这组初赛成绩，由高到低确定9人进入复赛，请直接写出初赛成绩为1.65m的运动员能否进入

复赛.

【答案】⑴25;（2）这组初赛成绩数据的平均数是L61.；众数是1.65：中位数是1.60；（3）初赛成绩为1.65

m的运动员能进入亚赛.

【解析】

【详解】

试题分析：（1）、用整体1减去其它所占的百分比，即可求出a的值；（2）、根据平均数、众数和中位数的定

义分别进行解答即可；（3）、根据中位数的意义可直接判断出能否进入复赛.

试题解析：⑴、根据题意得：1-20%・10%・15%-30%=25%；则a的值是25；

1.50x24-1.55x44-1,60x5+1.65x64-1,70x3

（2）,观察条形统计图得:=1.61：

2+4+54-6+3

・••在这组数据中，L65出现了6次，出现的次数最多，这组数据的众数是1.65：

将这组数据从小到大排列为，其中处于中间的两个数都是1.60,则这组数据的中位数是1.60.

（3）,能；，•共有20个人，中位数是第10、11个数的平均数，

,根据中位数可以判断出能否进入前9名；

,/1.65m>1.60m,/.能进入复赛

考点：（1）、众数；（2）、扇形统计图；（3）、条形统计图；（4）、加权平均数；（5）、中位数

17.学校开展“书香校园〃活动以来，受到同学们的广泛关注，学校为了解全校学生课外阅读的倩况，随机调

查了部分学生在一周内借阅图书的次数，并制成如图不完整的统计表.学生借阅图书的次数统计表

借阅图

4次及

书的次0次1次2次3次

以上

数

人数713a103

请你根据统计图表中的信息，解答下列问题:

(l)a=,b=

（2）该调查统计数据的中位数是，众数是

（3）请计算扇形统计图中“3次〃所对应扇形的圆心角的度数;

（4）若该校共有2000名学生，根据调查结果，估计该校学生在•周内借阅图书"4次及以上〃的人数.

【答案】