2026年高考数学复习系列（全国）专题1.4 不等式与复数（解析版）

专题1.4不等式与复数（举一反三专项训练）

【全国通用】

目录

第一部分题型专练

【题型1不等式的性质及其应用】...........................................................................................................................1

【题型2利用基本不等式求最值】...........................................................................................................................3

【题型3基本不等式中的恒成立问题】...................................................................................................................4

【题型4解常见的不等式】.......................................................................................................................................6

【题型5一元二次不等式恒成立、有解问题】.......................................................................................................7

【题型6复数的四则运算】.......................................................................................................................................8

【题型7复数的几何意义】.....................................................................................................................................10

【题型8与复数有关的最值问题】.........................................................................................................................11

第二部分分层突破

A组基础跟踪练

B组培优提升练

【题型1不等式的性质及其应用】

1．（2025·云南昭通·模拟预测），，下列不等式恒成立的是（）

A．�,�,�∈��B>．�

2222

C．�+�>�+�D．�+�<�+�

22

【答案】�B�>����<��

【解题思路】利用特例法判断ACD；利用不等式的性质判断B.

【解答过程】对于A，若，则，，故A错误；

2222

对于B，因为，故�<�<0�，故<�B正�确+；�<�+�

22

对于C、D，若�>�，�+�>�，+�，故C、D错误，

22

故选：B．�=0��=��=0��=��=0

2．（2025·河北石家庄·一模）如果，那么“”是“”的（）

11

��>0�>��<�

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【解题思路】由不等式的性质作差后分别证明充分性和必要性即可.

【解答过程】若，，则，

则��，>即0�>，�充分性�成−立�<；0

11�−�11

�−�=��<0�<�

若，，则，

1111�−�

所以��>0，�必<要�性成�立−，�=��<0

�<�

所以如果，那么“”是“”的充要条件.

11

��>0�>��<�

故选：C.

3．（2025·河北沧州·模拟预测）已知，，则的取值范围（）

A．B．2<�≤C4．−1<�≤02�D−．�

【答案】B4,94,95,85,8

【解题思路】由不等式的同向可加性得到结果.

【解答过程】因为，得，，

所以2<．�≤4−1<�≤04<2�≤80≤−�<1

故选：4B<．2�−�<9

4．（2025·北京海淀·二模）设、、，，且，则（）

A．���∈��B�．�≠0�>�>�

����

�+�>2�+�<2

C．D．

【答案】2C�>�+��+�>�

【解题思路】利用特殊值法可判断ABD选项，利用不等式的性质可判断C选项.

【解答过程】对于A选项，不妨取，，，则，A错；

1��

�=2�=1�=−4�+�=2−4=−2<2

对于B选项，不妨设，，，则，B错；

��

�=−1�=−2�=−6�+�=2+3=5>2

对于C选项，因为，由不等式的基本性质可得，C对；

对于D选项，不妨�设>�>�，，，则2�>�+�，D错.

故选：C.�=−1�=−2�=−2.5�+�=−3<−2.5=�

【题型2利用基本不等式求最值】

5．（2025·四川绵阳·模拟预测）若，，且，则的最小值是（）

14

�>0�>0�+4�=5�+�

A．16B．25C．4D．5

【答案】D

【解题思路】利用常数代换，结合基本不等式可得.

【解答过程】因为，，且，

所以�>0�>0�+4�=5，

1411414�4�14�4�

�+�=5�+��+4�=51+�+�+16≥517+2�⋅�=5

当且仅当，即时等号成立，所以的最小值是

4�4�5.

14

�=�

�=�=1�+�

故选：D.

�+4�=5

．（全国模拟预测）已知，为正数，则的最小值为（）

62025··xy22

2�+3�

��

A．4B．C．3D．

【答案】D3226

【解题思路】根据给定条件，利用基本不等式求出最小值.

【解答过程】由，均为正数，则，

xy22

2�+3�2�3�2�3�

��=�+�≥2�⋅�=26

当且仅当，即时取等号，

2�3�6

�=��=3�

故的最小值为

22.

2�+3�

��26

故选：D.

7．（2025·广东梅州·模拟预测）已知正实数满足，则的最小值是（）

A．B．4�,C �．��+�+2�=4D．�+2�

【答案】4A3−423−223

【解题思路】由题意得，代入得，再由均值不等式求解即可.

66

�=�+1−2�+2��+2�=�+1+2�+1−4

【解答过程】由，，可得，

4−2�4−2(�+1)+26

��+�+2�=4�>0�=�+1=�+1=�+1−2

所以，

666

�+2�=�+1−2+2�=�+1+2�+1−4≥2�+1×2�+1−4=43−4

当且仅当，即时，等号成立.

6

�+1=2�+1�=3−1

故选：A.

8．（2025·辽宁盘锦·三模）已知正数、满足，则的最小值为（）

12�

��4�+6�=1�+�

A．B．C．D．

【答案】2B+434+437+437+23

【解题思路】将代入所求代数式，结合基本不等式可求得其最小值.

【解答过程】因为4�正+数6�、=1满足，

所以��4�+6�=1，

12�4�+6�2�6�2�6�2�

�+�=�+�=4+�+�≥4+2�⋅�=4+43

当且仅当6�2�，即，时等号成立，故的最小值为．

�=�33112�

4�+6�=1�=1−2�=3−2�+�4+43

故选：C.�>0,�>0

【题型3基本不等式中的恒成立问题】

9．（25-26高一上·江苏扬州·期中）已知实数，，，且恒成立，则实数的取

14

��

值范围为（）�>0�>0+=3�+�≥��

A．B．C．D．

【答案】B��≤9��≤3��≥9��≥3

【解题思路】由乘1法，求得的最小值，即可求解.

【解答过程】�+�，

1141�4�1�4�

�+�=3�+��+�=35+�+�≥35+2�·�=3

当且仅当，即时，取等号，

�4�

所以�=，��=1,�=2

故选：�B≤.3

10．（25-26高一上·辽宁大连·期中）设实数满足，不等式

3332

恒成立，则实数的最大值为（）�,��>2,�>3�2�−3�−3≤8�+�−12�−

2

3�A．12�B．24C．32D．48

【答案】B

【解题思路】原不等式可转化为，利用均值不等式求最小值即可

2222.

4��4��

�−3+2�−3≥��−3+2�−3

【解答过程】由，变形可得，，

3

令�>，2�>3，2�−3>0�−3>0

�=2�−3>0�=�−3>0

则转化为，即，

332222

33228�+�−12�−3�4��

�2�−3�−3≤8�+�−12�−3��≤2�−3�−3�−3+2�−3≥�

其中2，

22222

4���+3�+323�23�����

�−3+2�−3=�+�≥�+�=12�+�≥24�⋅�=24

当且仅当，即，时取等号，

�=3

��=3��=3�=6

所以不等式�=�恒成立，只需

22.

4��

�−3+2�−3≥��≤24

故选：B.

11．（25-26高一上·江苏南京·期中）已知，，且，若恒成立，则实数

212

��

的取值范围是（）�>0�>0+=1�+2�>�+2�

�A．B．

C．−2,4D．−4,2

【答案】B−∞,−2∪4,+∞−∞,−4∪2,+∞

【解题思路】不等式恒成立，等价于的最小值大于，所以先利用基本不等

22

式求出的最小�值+，2�然>后�解关+于2�的不等式即可.�+2��+2�

【解答过�程+】2�因为，，且�，

21

�>0�>0�+�=1

所以，

21�4��4�

�+2�=(�+2�)�+�=2+�+�+2≥4+2�⋅�=8

当且仅当，即时取等号，

�4�

�=��=4,�=2

所以的最小值为8，

不等式�+2�恒成立，等价于的最小值大于，

22

所以�+2�>�，+解2得�，�+2��+2�

2

故选：8B>.�+2�−4<�<2

12．（25-26高一上·山东·期中）已知，为正实数，且，若不等式恒成立，

21

则实数的取值范围是（）��3�−2��+4=0�−2�≥�

A．�B．C．D．

【答案】C−∞,2−∞,4−∞,22−∞,42

【解题思路】根据题意得，则，再根据恒成立问题转化为最值即可．

3212

�=2�+��>0�−2�=�+�≥22

【解答过程】即，

2

23�+432

3�−2��+4=0�=2�=2�+��>0

（当且仅当时取等号），

122

∴�−2�=�+�≥22�=�=2

又不等式恒成立，

1

�−2�≥�

所以．

1

�≤�−2�min=22

故选：C．

【题型4解常见的不等式】

13．（2025·河南·模拟预测）若集合，，则（）

2

A．B．�=�−2C≤．�≤0�=��D−．�−2≤0�∩�=

【答案】B−2,2−1,0−2,0−1,2

【解题思路】解不等式，得到，利用交集概念求出答案.

【解答过程】�=�−1≤�≤2，又，

2

所以�=��−�−2≤0=�−1≤�≤2�=�−2≤�≤.0

故选：�∩B.�=�−2≤�≤0∩�−1≤�≤2=�−1≤�≤0=−1,0

14．（2025·湖北黄冈·三模）已知集合，则（）

12

�=��−1≤1,�=��−3�+2≥0�∩�=

A．B．

C．−∞,1∪2,+∞D．1,2

【答案】C−∞,1∪2,+∞−∞,1∪2,+∞

【解题思路】利用分式不等式和一元二次不等式可求得集合，再利用交集运算法则可得结果.

【解答过程】对于集合，，进一�步,�化简为，

112−�

�={�∣�−1≤1}�−1−1≤0�−1≤0

所以或.

对于集�=合{�∣�<1�≥2}，因式分解得，

2

所以�={�∣�或−3�+2.≥0}�−1�−2≥0

所以�={�∣�≤1�或≥2}.

故选：�∩C.�={�∣�<1�≥2}=−∞,1∪[2,+∞)

15．（2025·上海杨浦·三模）不等式的解集为．

�+1

�−2≤2

【答案】或.

【解题思路{�|】�将≥分5,式�不<等2式}化成一元二次不等式，求解即得.

【解答过程】等价于，即，

−�+5

�+1�−2≠0

�−2≤2�−2≤0

解得或，即原不等式的解集为(：�−5)(�−或2)≥0.

故答案�≥为5：�<2或.{�|�≥5,�<2}

16．（2025·上{�海|�·模≥拟5,预�测<）2}的解集为，则的解集为．

【答案】��+�<0−∞,−1��−��+2<0

【解题思路−】2,1由不等式的解集为，可得到且,代入一元二次不等式求解即

可.��+�<0(−∞,−1)�=��>0

【解答过程】由题干知，不等式的解集为，

可得到，代入一元二次不�等�式+得�<0(−∞,−1)

�=�

�>0，

(由��于−�)(�，+所2)以<0⇒ �(�−1)(�+，2)即<0.

故答案�>为0：(�.−1)(�+2)<0−2<�<1

(−2,1)

【题型5一元二次不等式恒成立、有解问题】

17．（2025·河南·模拟预测）已知命题“”是假命题，则实数的取值范围为（）

2

A．B．∃�∈�C,�．−��+�<0D．�

【答案】A0,40,40,20,2

【解题思路】已知原命题为假命题，那么它的否定“”为真命题.对于一元二次函数

2

，要使其对于任意实数都大于等于∀，�∈则R需,�要考−虑��其+判�别≥式0的取值范围.�=

2

【�解−答�过�程+】�已知原命题为假命题，那�么它的否定0“Δ”为真命题.

2

对于一元二次函数，要使其对于任∀意�∈实R数,�都−大�于�等+于�≥.0

2

因为�=�−恒�成�立+，�所以，即�，解得0.

22

故选：�=A.�−��+�≥0Δ≤0�−4�≤00≤�≤4

18．（2025·浙江·模拟预测）若不等式的解为全体实数，则实数的取值范围是（）

2

A．��+�B−．6�+2>0�

C．2≤�≤18D．−18<�<−2

【答案】2C<�<180<�<2

【解题思路】分类讨论与两种情况，结合二次不等式恒成立问题的解决方法即可得解.

【解答过程】当时�，=不0等式�≠0可化为，显然不合题意；

2

�=0��+�−6�+2>0−6�+2>0

当时，因为的解为全体实数，

2

所以�≠0��+�−6�，+解2得>0；

�>0

22<�<18

综上：Δ=�−6.−4�×2<0

故选：C2.<�<18

19．（2025·辽宁·三模）若“，使”是假命题，则实数的取值范围为.

2

【答案】∃�∈0,+∞�−��+4<0�

【解题思路(−】∞将,4问]题转化为“在上恒成立”，再利用对勾函数的单调性求得最值，从而得解.

4

�≤�+�(0,+∞)

【解答过程】因为“，使”是假命题，

2

所以“∃，�∈0,+∞�”为−真��命+题4，<0

2

其等价∀于�∈0,+∞在�−��上+恒4成≥立0，

4

�≤�+�0,+∞

又因为对勾函数在上单调递减，在上单调递增，

4

所以��=�，+�(0,2][2,+∞)

所以��m，in即=实�(2数)=的4取值范围为.

故答案�≤为4：�.(−∞,4]

20．（2025·(山−东∞·,二4]模）已知不等式对任意的恒成立，则实数a的最小

2

值为．3�+�−2�+4≥0�∈0,+∞

【答案】

【解题思路2−】4分3离参数，利用基本不等式即可求解.

【解答过程】因为不等式对任意的恒成立，

2

所以对任3意�的+�−2�+4恒≥成0立，�∈0,+∞

4

�−2≥−3�−��∈0,+∞

又当时，，当且仅当，即时，等号成立，

444423

����3

所以�∈0,+∞，即−3�−=−3，�+所以实≤−数2a的3�最⋅小=值−为43.3�=�=

故答案�−为2：≥−43.�≥2−432−43

【题型6复2−数4的3四则运算】

21．（2025·山东·三模）若复数满足，则的值为（）

�

�1−i=2i�

A．B．C．2D．

3222

【答案】D

【解题思路】先利用复数的乘法运算求得，然后利用复数模的运算求解即可.

【解答过程】因为，所以�=2+2i，所以.

�22

1−i=2i�=2i1−i=2+2i�=2+2=22

故选：D.

22．（2025·河南·模拟预测）已知复数满足，则的虚部是（）

1

��−i=1−i�

A．B．C．D．

1133

2−22−2

【答案】D

【解题思路】利用复数四则运算法则得到，从而根据共轭复数和虚部的概念得到答案.

13

�=2+2i

【解答过程】，

11+i1+i13

�=1−i+i=1−i1+i+i=2+i=2+2i

故，故虚部为.

133

�=2−2i−2

故选：D.

23．（2025·云南·模拟预测）已知复数，则（）

�

�=1+i�+�=

A．B．C．D．

【答案】C2−i2+i2−i2+i

【解题思路】利用复数模的运算，共轭运算，除法运算来求解即可.

【解答过程】，

2

�1−i1−i−2i

故选：C.�+�=1+i+1+i=2+2=2+2=2−i

24．（2025·浙江·模拟预测）已知是虚数单位，复数满足，则（）

�⋅i

i�3+2i=1−i�=

A．B．C．D．5

【答案】C293326

【解题思路】先根据复数的四则运算求出复数，再求模即可.

【解答过程】由，得�，

�⋅i

3+2i=1−i�⋅i=1−i3+2i=5−i

所以，

5−i5−ii

2

�=i，=i=−1−5i

∴故选�：=C.26

【题型7复数的几何意义】

25．（2025·四川成都·模拟预测）已知复数满足，则在复平面内复数所对应的点位于（）

A．第一象限B．第二象限�C．1第+三i象�限=7−iD．第四象限�

【答案】D

【解题思路】根据复数除法运算及复数在复平面内所对应的点即可判断.

【解答过程】由已知得，

7−i7−i1−i6−8i

�=1+i=1+i1−i=2=3−4i

则复数所对应的点为，位于第四象限.

故选：D�.3,−4

26．（2025·全国·模拟预测）已知复数在复平面内对应的点为，则（）

�

�(3,4)|�|=

A．B．C．D．

55553443

3−4i4+3i5−5i5+5i

【答案】C

【解题思路】根据复数的几何意义可得，进而得到，进而求解即可.

【解答过程】根据题意有，则�=3+4i，�=3−4i

故�=3.+4i�=3−4i

�3−4i3−4i34

22

|�|=|3+4i|=3+4=5−5i

故选：C.

27．（2025·陕西西安·模拟预测）若复数在复平面内对应的点在直线上，则

（）�=3+�i�∈��−3�=0�1−

i=A．B．C．D．

【答案】D4−4i2−4i3−2i4−2i

【解题思路】利用复数的几何意义得出对应点坐标，代入直线方程可得，进而得出复数，最后利用复数乘

法运算即可.��

【解答过程】因为，

所以复数在复平面�=内3对+应�的i点�为∈�

又点�在直线上，3,�

所以3,�，�解−得3�=0，

所以复3数−3�=0，�=1

�=3+i，

�1−i=3+i1−i=4−2i

故选：D.

28．（2025·甘肃白银·三模）已知复数满足，则复数的共轭复数在复平面内对应的点位于（）

�

�1−i=−2+i�

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

【答案】C

【解题思路】根据题意，利用复数的运算法则，化简得到，结合共轭复数的概念，以及复数的几

何意义，即可求解.�=−1+3i

【解答过程】由复数满足，则，可得，

�

�1−i=−2+i�=1−i−2+i=−1+3i�=−1−3i

故复数的共轭复数在复平面内对应的点位于第三象限.

故选：C�.−1,−3

【题型8与复数有关的最值问题】

29．（2025·湖南·模拟预测）若是复数，，则的最大值为（）

A．B．��−C2．i=1�D．

【答案】B4321

【解题思路】设，由条件结合复数的几何意义确定复数在复平面上的对应点为的

轨迹，结合复数�模=的�几+何�i意�,义�求∈R结论.���,�

【解答过程】设，则复数在复平面上的对应点为，

因为�，=�+�i�,�∈R���,�

�−2i=1

所以，故，

2222

所以点�的+轨�迹−为2以点=1为�圆+心，�−为2半=径1的圆，

所以点�到原点的最大距0,离2为1，

所以�的最大值为.2+1=3

故选：�B．3

30．（2025·辽宁·模拟预测）已知复数分别满足，，则的最大值为（）

A．5B．6�1,�2C．7�1=1i�2+3+D．4i8=2�1−�2

【答案】D

【解题思路】先通过模长公式求出复数在复平面内对应点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆，再利

用的最大值为两圆圆心距加两�个2圆的半径即可求得结果.�−4,3

�1−�2

【解答过程】设，则，

22

22

如图，复数在�复=平�面+内�对i�应,�点∈的�轨迹是i以�+3+4i为=圆心3−，�2+为半�径+的4圆i=，3−�+�+4=2

复数在复平�2面内对应点的轨迹是以原点为�圆−心4,3，1为半径的圆，

则�1�．

�1−�2max=��+1+2=5+1+2=8

故选：D．

31．（2025·黑龙江佳木斯·三模）已知复数满足，则的最小值为.

【答案】/��−1=1�−i

【解题思路2】−根1据−1复+数模2的几何意义，将条件转化为距离问题即可得到答案

【解答过程】设，

由得�=�+�i(�,�∈，R)

所以�−1=1|�−1，+�i|=1

22

即点�−1是圆+心�为=1，半径为1的圆上的动点，

(�,�)1,0

，表示的是点与点的距离，

22

所�以−i其=最小�值+为点�−1到圆心的距(�离,�)减去半0径,1，

即的最小值为0,1.1,0

故答�案−i为：.2−1

32．（2025·上2海−杨1浦·二模）已知复数满足，其中为虚数单位，则的最小值为.

【答案】�|�−1+i|=1i�

【解题思路2】−根1据给定条件，利用复数模的几何意义求出最小值.

【解答过程】在复平面内，表示复数对应的点与复数对应点的距离为1，

因此点的轨迹是以|�−为1圆+心i|，=11为半径的圆�，�1−i�(1,−1)

表示�点到原点的�(距1,离−，1)所以的最小值为.

故�答案为：��.�|��|−1=2−1

2−1

A组基础跟踪练

一、单选题

1．（2025·江苏南通·模拟预测）已知全集，集合，则（）

2�−5

�={�|1≤�≤4}�={�|�−3≤1}∁��=

A．或B．或

C．{�|1≤�≤2或3≤�≤4}D．{�|1≤�<2或3<�≤4}

【答案】{D�|1≤�≤23<�≤4}{�|1≤�<23≤�≤4}

【解题思路】解不等式化简集合，再利用补集的定义求解.

【解答过程】不等式�，解得，

2�−5�−2

即�，−3而≤1⇔�−3≤0，2≤�<3

所以�={�|2≤�<3}或�={�|1≤�.≤4}

故选：∁�D�.={�|1≤�<23≤�≤4}

2．（2025·河南·模拟预测）若复数满足，则的虚部为（）

A．B．3�i�=C2．+3i�D．

【答案】A−2−2i3i

【解题思路】利用复数的除法运算求得，从而求得的虚部.

【解答过程】因为，所以��，

2+3ii2+3i2i−3

2

ii−1

所以的虚部为i.�=2+3i�====3−2i

故选：�A.−2

．（海南一模）不等式的解集为（）

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