北京电影学院《数值分析》2025-2026学年期末试卷

北京电影学院《数值分析》2025-2026学年期末试卷

一、选择题（总共10题，每题3分，每题只有一个正确答案，请将正确答案填写在括号内）1.已知函数$f(x)$在区间$[a,b]$上有二阶导数，且$f(a)=f(b)=0$，$f(x)$在$(a,b)$内不恒为零，则在$(a,b)$内（）A.至少存在一点$\xi$，使得$f''(\xi)=0$B.至多存在一点$\xi$，使得$f''(\xi)=0$C.一定不存在点$\xi$，使得$f''(\xi)=0$D.对任意的$\xi\in(a,b)$，都有$f''(\xi)=0$2.用二分法求方程$f(x)=0$在区间$[a,b]$内的根，若要求误差限为$\varepsilon$，则二分次数$n$应满足（）A.$n\geq\frac{\ln(b-a)-\ln\varepsilon}{\ln2}$B.$n\leq\frac{\ln(b-a)-\ln\varepsilon}{\ln2}$C.$n\geq\frac{\ln\varepsilon-\ln(b-a)}{\ln2}$D.$n\leq\frac{\ln\varepsilon-\ln(b-a)}{\ln2}$3.设矩阵$A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$，则$A$的特征值为（）A.$5$和$-1$B.$5$和$1$C.$-5$和$-1$D.$-5$和$1$4.已知线性方程组$Ax=b$，其中$A$为可逆矩阵，则其解$x=$（）A.$A^{-1}b$B.$bA^{-1}$C.$A+b$D.$b-A$5.用梯形公式计算积分$\int_{a}^{b}f(x)dx$的近似值，其误差为（）A.$-\frac{(b-a)^3}{12}f''(\xi)$，其中$\xi\in(a,b)$B.$\frac{(b-a)^3}{12}f''(\xi)$，其中$\xi\in(a,b)$C.$-\frac{(b-a)^2}{12}f'(\xi)$，其中$\xi\in(a,b)$D.$\frac{(b-a)^2}{12}f'(\xi)$，其中$\xi\in(a,b)$6.若向量组$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s$线性相关，则（）A.必有一个向量为零向量B.必有两个向量成比例C.必有一个向量是其余向量的线性组合D.任一个向量是其余向量的线性组合7.设$f(x)$是$[a,b]$上的连续函数，则$\int_{a}^{b}f(x)dx$（）A.是$f(x)$在$[a,b]$上的一个原函数B.在$[a,b]$上可导C.是$f(x)$在$[a,b]$上的一个平均值D.是一个确定的常数8.已知矩阵$A$与$B$相似，则（）A.$A$与$B$有相同的特征值和特征向量B.$A$与$B$有相同的特征值，但特征向量不一定相同C.$A$与$B$有相同的特征向量，但特征值不一定相同D.$A$与$B$的特征值和特征向量都不相同9.用牛顿迭代法求方程$f(x)=0$的根，若$f(x)$满足一定条件，则该方法的收敛速度为（）A.线性收敛B.超线性收敛C.平方收敛D.三次收敛10.若函数$f(x)$在区间$[a,b]$上满足$f(a)f(b)<0$，则方程$f(x)=0$在区间$(a,b)$内（）A.至少有一个实根B.至多有一个实根C.没有实根D.有且仅有一个实根二、填空题（总共10题，每题3分，请将答案填写在横线上）1.设$f(x)=x^3-3x+1$，则$f(x)$在区间$[0,1]$上的最大值为______。2.已知向量$\alpha=(1,2,3)$，$\beta=(4,5,6)$，则$\alpha\cdot\beta=$______。3.用高斯消元法解线性方程组$\begin{cases}x+2y=3\\3x+5y=4\end{cases}$，消元后的同解方程组为______。4.设矩阵$A=\begin{pmatrix}1&0\\0&2\end{pmatrix}$，则$A^n=$______。5.已知函数$f(x)$在$x=x_0$处的泰勒展开式为$f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\cdots$，则$f(x)$在$x=0$处的三阶泰勒展开式为$f(x)=$______。6.若矩阵$A$满足$A^2=A$，则$A$的特征值为______。7.设$A$是$n$阶方阵，且$|A|=2$，则$|2A|=$______。8.用辛普森公式计算积分$\int_{a}^{b}f(x)dx$的近似值，其代数精度为______。9.已知向量组$\alpha_1=(1,1,1)$，$\alpha_2=(1,2,3)$线性无关，则向量组$\alpha_1+\alpha_2$，$\alpha_2$______（填“线性相关”或“线性无关”）。10.若方程$x^2+px+q=0$的两个根为$x_1$和$x_2$，则以$\frac{1}{x_1}$和$\frac{1}{x_2}$为根的方程为______。三、判断题（总共10题，每题2分，请在括号内打“√”或“×”）1.若函数$f(x)$在区间$[a,b]$上连续，则$f(x)$在$[a,b]$上一定可积。（）2.线性方程组一定有解。（）3.若矩阵$A$与$B$相似，则$A$与$B$一定合同。（）4.用迭代法求方程的根，若迭代格式收敛，则收敛到的根是唯一的。（）5.向量组的极大线性无关组是唯一的。（）6.若$f(x)$在$x=x_0$处可导，则$f(x)$在$x=x_0$处一定连续。（）7.设$A$是$n$阶方阵，若$|A|=0$，则$A$的列向量组线性无关。（）8.用拉格朗日插值法构造插值多项式时，插值节点的选取是任意的。（）9.若函数$f(x)$在区间$[a,b]$上满足$f(a)f(b)>0$，则方程$f(x)=0$在区间$(a,b)$内一定没有实根。（）10.已知矩阵$A$与$B$等价，则$A$与$B$的秩相等。（）四、综合题（总共2题，每题20分）1.已知函数$f(x)=x^3-2x+1$，试用牛顿迭代法求方程$f(x)=0$在区间$[0,1]$内的根，取初始值$x_0=0.5$，计算迭代两步后的结果。2.设线性方程组$\begin{cases}2x_1+x_2-x_3=1\\x_1+2x_2+x_3=2\\x_1+x_2+2x_3=3\end{cases}$，求其系数矩阵的特征值和特征向量