第二十一章 四边形 章末复习 课件 2025-2026学年数学人教版八年级下册

章末复习R·八年级数学下册四边形21知识结构图平行四边形四边形两组对边分别平行只有一组对边平行梯形一个角是直角一组邻边相等距形菱形一组邻边相等一个角是直角正方形知识回顾平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系平行四边形矩形菱形正方形几种特殊四边形的性质边角对角线对称性平行四边形矩形菱形正方形对边平行且相等对角相等互相平分对边平行且相等四个角都是直角互相平分且相等轴对称图形对边平行且四边相等对角相等轴对称图形互相垂直且平分，每一条对角线平分一组对角对边平行且四边相等四个角都是直角互相垂直平分且相等，每一条对角线平分一组对角轴对称图形几种特殊四边形的常用判定方法条件平行四边形矩形菱形正方形1.定义：两组对边分别平行；2.两组对边分别相等；3.两组对角分别相等；4.对角线互相平分；5.一组对边平行且相等.1.定义：有一个角是直角的平行四边形；2.对角线相等的平行四边形；3.有三个角是直角的四边形.1.定义：一组邻边相等的平行四边形

；2.对角线互相垂直的平行四边形；3.四条边都相等的四边形.1.定义：一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形；2.有一组邻边相等的矩形；3.有一个角是直角的菱形；4.对角线垂直平分且相等任意四边形平行四边形正方形矩形菱形5种判定方法三个角是直角四条边相等一个角是直角或对角线相等一组邻边相等或对角线垂直一个角是直角且一组邻边相等一组邻边相等或对角线垂直一个角是直角或对角线相等其他重要概念及性质1.两条平行线之间的距离：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离叫作两条平行线之间的距离.abABCDEF两条平行线之间的距离处处相等.2.三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.ABCDEDE∥BC，且

DE=BC.

3.直角三角形斜边上的中线：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.ABCO

BO=BD=AC.

D复习巩固1.选择题.

（1）若四边形的四个内角的度数比为1∶2∶3∶4，则其中最大的内角是（

）.

（A）120°

（B）135°

（C）144°

（D）150°C（2）若平行四边形中两个内角的度数比为1∶2，则其中较小的内角是（

）.（A）45°

（B）60°

（C）90°

（D）120°B（3）若菱形的周长为8，高为1，则菱形两个相邻的内角的度数比为（

）.（A）3∶1（B）4∶1（C）5∶1（D）6∶1解析：由题意知高AE=1，∠AEB=90°.∵四边形

ABCD是菱形，∴AB=8÷4=2.由AE=1，AB=2，易知∠B=30°，∴可知∠BAD=150°.∴菱形两个相邻的内角的度数比为150°∶30°=5∶1.故选C.C（4）如图，在正方形

ABCD

的外侧，作等边三角形

ADE，则∠AEB

为（

）.（A）10°（B）15°（C）20°（D）30°解析：由题意得∠BAE=∠BAD+∠DAE=90°+60°=150°，AB=AD=AE，∴∠AEB=∠ABE=(180°－∠BAE)=15°.故选B.

B2.一个多边形的每个内角都相等，且每个内角与它相邻外角

的度数比为3∶1.这个多边形的内角和是多少？解：∵多边形的每个内角都相等，∴每个外角也相等.又每个内角与它相邻外角的度数和为180°，且度数比为3∶1，∴每个外角的度数为180°×=45°.∵360°÷45°=8，∴这个多边形是八边形.∴这个多边形的内角和是(8－2)×180°=1080°.

3.如图，将

▱ABCD

的对角线

BD

向两个方向延长，分别至点

E，F，且使

BE=DF.求证：四边形

AECF

是平行四边形.证明：如图，连接

AC，交

BD

于点

O.∵四边形

ABCD是平行四边形，∴AO=CO，BO=DO.又

BE=DF，∴BO+BE=DO+DF，即

EO=FO.∴四边形

AECF

是平行四边形.4.矩形对角线组成的对顶角中，有一组是两个50°的角.

对角线与各边组成的角是多少度？解：如图，∵四边形

ABCD

是矩形，∴AO=BO=CO=DO.又∠AOB=50°，∴∠BOC=130°，∴∠OAB=∠OBA=（180°－∠AOB）=65°，∠OBC=∠OCB=（180°－∠BOC）=25°.∴矩形的对角线与各边组成的角分别为65°和25°.

5.如图，你能用一根绳子检查一个书架的侧边是否和上、下底边都垂直吗？为什么？解：能.方法是先检查两组对边

AB

和

CD，AD

和

BC

是否分别相等，再检查对角线

AC

与

BD

是否相等.若相等，则侧边与上、下底边都垂直；若不相等，则侧边与上、下底边不垂直.理由：如图，∵AB=CD，AD=BC，∴四边形

ABCD

是平行四边形.又

AC=BD，∴▱ABCD

为矩形，∴∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°，即此时边

AB，CD

与上、下底边

AD，BC

都垂直.6.如图，矩形

ABCD

的对角线

AC，BD

相交于点

O，且

DE∥AC，CE∥BD.求证：四边形

OCED

是菱形.证明：∵DE∥AC，CE∥BD，∴四边形

OCED

是平行四边形.∵四边形

ABCD

是矩形，∴DO=CO.∴▱OCED

是菱形.7.如图，正方形

ABCD

的对角线

AC，BD

相交于点

O，

且

E，F，G，H

分别是

AO，BO，CO，DO

的中点.

求证：四边形

EFGH

是正方形.证明：∵四边形

ABCD

是正方形，∴AC⊥BD，AO=BO=CO=DO.∵E，F，G，H

分别是

AO，BO，CO，DO

的中点，∴EO=AO，FO=BO，GO=CO，HO=DO，

∴EO=FO=GO=HO.∴四边形

EFGH

是平行四边形，EG=FH.∴▱EFGH

是矩形.又EG⊥FH，∴矩形

EFGH

是正方形.综合运用8.如图，六边形

ABCDEF

的内角都相等，∠DAB=60°.AB

与DE

有怎样的位置关系？BC

与

EF

有这种关系吗？证明你的结论.解：AB∥DE，BC∥EF.证明：∵六边形

ABCDEF

的内角都相等，∴六边形

ABCDEF

的每一个内角均为180°×(6－2)÷6=120°.∵∠ABC=120°，∠DAB=60°，∴∠ABC+∠DAB=180°，∴AD∥BC.∴∠C+∠ADC=180°，∴∠ADC=180°－∠C=60°.∴∠ADE=∠CDE－∠ADC=60°.∴∠DAB=∠ADE，∠E+∠ADE=180°.∴AB∥DE，AD∥EF.又

BC∥AD，∴BC∥EF.9.如图，四边形

ABCD

是平行四边形，BE∥DF，且分别

交对角线

AC

于点

E，F，连接

ED，BF.求证∠1=∠2.证明：∵四边形

ABCD

是平行四边形，∴AB=CD，AB∥CD.∴∠BAE=∠DCF.∵BE∥DF，∴∠BEF=∠DFE.由图知，∠AEB+∠BEF=180°，∠CFD+∠DFE=180°，∴∠AEB=∠CFD.∴△ABE≌△CDF（AAS）.∴BE=DF.又BE∥DF，∴四边形

EBFD

是平行四边形.∴DE∥BF.∴∠1=∠2.10.顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫作四边形的中点

四边形，在第64页“例6”中已经证明了四边形的中点四边形是平行

四边形.

（1）平行四边形的中点四边形是什么形状？为什么？

（2）矩形、菱形和正方形的中点四边形分别是什么形状？为什么？解：如图.四边形

ABCD

的对角线交于点

O，E，F，G，H

分别为

AB，BC，CD，DA

的中点.（1）任意平行四边形的中点四边形为平行四边形，理由如下：∵E，F，G，H

分别是

AB，BC，CD，DA

的中点，∴EF，GH分别是

△ABC，△DAC

的中位线.∴EF=AC，EF∥AC，GH=AC，GH∥AC.∴EF

GH.∴四边形

EFGH是平行四边形.

（2）任意矩形、菱形、正方形的中点四边形分别为菱形、矩形、正方形.理由如下：①若四边形

ABCD

为矩形，则

AC=BD.由题意可得

EH=BD，EF=AC，

∴EH=EF.∴▱EFGH

为菱形.②若四边形

ABCD为菱形，则

AC⊥BD.又

EH∥BD，EF∥AC，∴EF⊥EH.∴∠FEH=90°.∴▱EFGH为矩形.③若四边形

ABCD为正方形，则

AC⊥BD且

AC=BD，易知

EH⊥EF

且

EH=EF，∴▱EFGH为正方形.11.如果一个四边形是轴对称图形，并且有两条互相垂直的

对称轴，它一定是菱形吗？一定是正方形吗？解：如果一个四边形是轴对称图形，并且有两条互相垂直的对称轴，它不一定是菱形，也不一定是正方形（这个四边形可能是矩形）.12.两个全等的三角形纸片，用它们能够拼成什么四边形？要想拼成一个矩形，需要两个什么样的全等三角形？要想拼成菱形或正方形呢？动手剪拼一下，并说明理由.解：用它们能够拼成平行四边形（如图①）；要想拼成一个矩形，需要两个全等的直角三角形（如图②）；要想拼成菱形，需要两个全等的等腰三角形（如图③）；要想拼成正方形，需要两个全等的等腰直角三角形（如图④）13.如果你身旁没有量角器和三角尺，又需要作30°的角，可以采用下面的方法（如图所示）：（1）对折矩形纸片

ABCD，使

AD

与

BC

重合，得到折痕

EF，把纸片展平.（2）再一次折叠纸片，使点

A落在

EF

上，并使折痕经过点

B，得到折痕

BM.同时得到线段

BN，把纸片展平.由此得到∠ABM，∠MBN

和∠NBC

都是30°，请你写出证明过程.证明：如图，连接

AN.由对折可得∠ABM=∠MBN，EF

垂直平分

AB，AB=BN，∴AN=BN.∴AB=BN=AN.∴△ABN

是等边三角形.∴∠ABN=60°.∴∠ABM=∠MBN=∠ABN=30°，

∠NBC=∠ABC－∠ABN=90°－60°=30°.14.如图，过▱ABCD

的对角线

AC

的中点

O

作两条互相垂直的直线，

分别交

AB，BC，CD，DA

于

E，F，G，H

四点，连接

EF，FG，

GH，HE.判断四边形

EFGH

的形状，并说明理由.解：四边形

EFGH

为菱形.理由如下：∵四边形

ABCD

为平行四边形，∴AO=CO，DC∥AB.∴∠GCO=∠EAO.又∠COG=∠AOE，∴△GCO≌△EAO（ASA）.∴GO=EO.同理得

HO=FO，∴四边形

EFGH

为平行四边形.又

GE⊥HF，∴▱EFGH为菱形.拓广探索15.如图，四边形

ABCD

是正方形，E

是边

BC

的中点，∠AEF=90°，

且

EF

交正方形外角的平分线

CF

于点

F.求证

AE=EF.（提示：

取

AB

的中点

G，连接

EG.）证明：如图，取

AB

的中点

G，连接

EG.∵四边形

ABCD

是正方形，∴∠B=∠BCD=90°，AB=BC.∴∠DCH=180°－∠BCD=90°.∵G，E

分别为

AB，BC

的中点，∴AG=BG=BE=CE.∴∠BGE=45°，∴∠AGE=180°－∠BGE=135°.HG∵CF

平分∠DCH，∴∠DCF=∠DCH=45°.∴∠ECF=∠BCD+∠DCF=135°，∴∠ECF=∠AGE.∵∠ABC=∠AEF=90°，∴∠BAE+∠BEA=90°，∠BEA+∠