吉林省长春市文理高中2024-2025学年高三卓越年级下学期质量监测(六)数学试题【可打印＋答案详解】

吉林省长春市文理高中2024-2025学年高三卓越年级下学期质量监测(六)数学试题【可打印＋答案详解】全卷满分150分，考试时间120分钟注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、学号、准考证号等填写在本试卷和答题卡相应位置上。2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。答案不能答在试卷上。3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先画掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。5.本试卷分为试题卷和答案详解两部分，试题卷可直接打印使用，答案详解附后，便于自查自纠。第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合A=x|x2−3x−4≤0，A.24B.24C.−12.已知复数z=2i1−i（i为虚数单位），则A.2B.2C.223.已知向量a=21，b=mA.1B.2C.3D.44.已知函数f(x)=\sin(\omegax+\varphi)（ω>0，|\varphi|<\frac{\pi}{2}）的最小正周期为π，且其图像关于直线x=π3对称，则A.fx=sin2x+π65.已知等比数列an的前n项和为Sn，若a1=1，A.3B.-4C.3或-4D.-3或46.某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积为（）A.8πB.12πC.16πD.24π7.已知a=log23，b=log3A.a>b>cB.a>c>bC.b>a>cD.c>b>a8.已知函数fx=x3−3x2A.0B.1C.2D.4二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分）9.下列说法正确的是（）A.若a>b>0，则1a<1bC.若a>b>0，则a2>b2D.若a>b10.关于双曲线C:x2a2−A.双曲线的渐近线方程为y=±baxB.双曲线的离心率e=C.若双曲线的离心率e=2，则b=3a11.已知函数fxA.函数fx的定义域为0+∞B.函数fxC.函数fx的极小值为12D.函数12.如图，在正方体ABCD−A1B1CA.EF∥A1C1B.EF⟂BD1C.EF∥第Ⅱ卷（非选择题，共90分）三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.若tanα=2，则sin14.若x+1xn15.已知直线l:y=kx+1与圆C:x2+y2−2x−3=0相交于16.已知定义在ℝ上的奇函数fx，满足fx+2=−fx，且当x∈0四、解答题（本题共6小题，共70分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17.（10分）在\triangleABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且满足acos（1）求角C的大小；（2）若c=23，\triangleABC的面积为23，求18.（12分）已知等差数列an的前n项和为Sn，且a2（1）求数列an（2）若数列bn满足bn=2an，求数列19.（12分）如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AB⟂BC，（1）证明：BD⟂平面ACC（2）求平面A1BD与平面20.（12分）某商场为了提升销售额，开展了“五一”促销活动，活动期间推出两种促销方案：方案一：购物满100元减20元，满200元减40元，以此类推，上不封顶；方案二：购物满100元可抽奖一次，每次抽奖的中奖概率为12，中奖者可获得30元优惠券，不中奖者无优惠。某顾客购买了价值300元的商品，选择哪种方案更划算？请说明理由；若该顾客购买了价值x（x∈21.（12分）已知椭圆E:x2a2+y2（1）求椭圆E的标准方程；（2）过椭圆E的右焦点F作直线l交椭圆于A,B两点，若线段AB的中点为M，直线OM（O为坐标原点）与直线x=4交于点N，求|AB||FN|22.（12分）已知函数fx=e（1）讨论函数fx（2）若函数fx有两个零点x1,x2参考答案及详解一、单项选择题（每小题5分，共40分）1.【答案】B【详解】解不等式x2−3x−4≤0，得−1≤x≤4，故A=−14；由x−2>0，得x>2，故2.【答案】A【详解】z=2i1−i=3.【答案】C【详解】a−b=2−m−2，因为a⟂a4.【答案】B【详解】由最小正周期T=π，得ω=2πT=2；因为图像关于直线x=π3对称，所以2\times\frac{\pi}{3}+\varphi=\frac{\pi}{2}+k\pi（k∈ℤ），解得\varphi=−\frac{\pi}{6}+k\pi。又5.【答案】C【详解】当q=1时，S3=3a1=3≠13，不符合题意；当q≠1时，S3=6.【答案】B【详解】由三视图可知，该几何体为一个圆柱截去一半后得到的半圆柱，圆柱的底面半径为2cm，高为3cm，其体积为12×πr7.【答案】A【详解】构造函数fx=logxx+1=lnx+1lnx（x>1），求导得f'x=lnxx+1−8.【答案】C【详解】求导得f'x=3x2−6x+2，令f'x=0，解得x=1±33，均在02内。计算得f0=0，f2=0，f1+33=−239，f1−33=239。所以fx在0二、多项选择题（每小题5分，共20分）9.【答案】ACD【详解】A选项，a>b>0，两边同乘1ab（正数），得1a<1b，正确；B选项，当c=0时，a10.【答案】ABC【详解】A选项，双曲线渐近线方程为y=±bax，正确；B选项，离心率e=ca，c=a2+b2，正确；C选项，e=2，则ca11.【答案】ABCD【详解】A选项，由lnx有意义，得x>0，定义域为0+∞，正确；B选项，求导得f'x=x−1x=x2−1x，当x∈01时，f'x<012.【答案】ABC【详解】在正方体中，E,F分别为AB,BC中点，故EF为△ABC的中位线，EF∥AC，又AC∥A₁C₁，故EF∥A₁C₁，A正确；BD₁⊥平面A₁C₁B，EF∥A₁C₁，故EF⊥BD₁，B正确；EF∥A₁C₁，A₁C₁⊂平面A₁B₁C₁D₁，EF⊄平面A₁B₁C₁D₁，故EF∥平面A₁B₁C₁D₁，C正确；EF∥AC，AC与平面BDD₁B₁不垂直，故EF与平面BDD₁B₁不垂直，D错误。故选ABC。三、填空题（每小题5分，共20分）13.【答案】4【详解】sin2α=14.【答案】15【详解】由二项式系数性质，第3项与第7项二项式系数相等，得Cn2=Cn6，故n=8。展开式通项为Tk+115.【答案】0或±1【详解】圆C的标准方程为x−12+y2=4，圆心(1,0)，半径r=2。圆心到直线l的距离d=|k+1|k2+1，由|AB|=2r2−d2，得16.【答案】−【详解】由fx+2=−fx，得fx+4=−fx+2=fx，故周期T=4。四、解答题（共70分）17.（10分）【详解】（1）由正弦定理，a=2RsinA，b=2Rsin2R化简得sinA+B=2sinCcosC，因为因为0<C<π，sinC≠0，所以cosC=1（2）由三角形面积公式，S_{\triangleABC}=\frac{1}{2}ab\sinC=2\sqrt{3}，代入C=π3，得12由余弦定理，c2=a2+b2232=a2因为a+b2=a2+18.（12分）【详解】（1）设等差数列an的公差为da解得a1=1d=2（2）由（1）得bn=2则T_n=\frac{1}{2}[1\times4+3\times4^2+5\times4^3+\dots+(2n−1)\times4^n]，①4T_n=\frac{1}{2}[1\times4^2+3\times4^3+\dots+(2n−3)\times4^n+(2n−1)\times4^{n+1}]，②①-②得：−3T_n=\frac{1}{2}[4+2\times4^2+2\times4^3+\dots+2\times4^n−(2n−1)\times4^{n+1}]化简得−3整理得Tn19.（12分）【详解】（1）证明：在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AA1⟂因为AB=BC，D为AC中点，所以BD⟂AC。又AA1∩AC=A，AA1,AC⊂平面（2）以B为原点，BA为x轴，BC为y轴，BB1为则B000，A200，设平面A1BD的法向量为n1=xn1⋅BD=x平面B1C1CB的法向量为n2设两平面所成锐二面角为θ，则cosθ=|故平面A1BD与平面B120.（12分）【详解】（1）购买300元商品，方案一优惠：3×20=60元；方案二：抽奖3次，每次中奖概率12，期望优惠金额为3×30×因为60>45，所以选择方案一更划