变化率问题与瞬时速度+高二下学期数学人教A版选择性必修第二册

5.1.1

课时1

变化率问题与瞬时速度第五章

一元函数的导数及其应用观看视频：运动员从起跳到入水的过程中包含哪些阶段？

在一次高台跳水运动中，某运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度h

(单位：m)与起跳后的时间t(单位：s)存在函数关系：

问题：如何描述运动员从起跳到入水的过程中运动的快慢程度呢？h(x)＝－4.9t2＋2.8t＋11►课本P59

由生活经验可知，运动员从起跳到入水的过程中，在上升阶段会运动得越来越慢，在下降阶段会运动得越来越快。

平均速度指运动员在某一时间段[t1，t2]的平均变化率

►课本P59

(一)平均变化率★

平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋势.▲

如何求在

x1≤x≤x2

这段区间上的平均变化率？(1)计算函数的增量：

∆y＝f(x2)－f(x1)

；(2)计算自变量的改变量：

∆x＝x2－x1；(3)相除，得平均变化率：

.“三步法”根据函数关系：h(t)＝－4.9t2＋2.8t＋11，

①在0≤t≤0.2这段时间里，平均速度为②在1≤t≤1.5这段时间里，平均速度为

►课本P59

＝1.82(m/s)＝-9.45(m/s)典例剖析典例1.

已知

s(t)＝5t2.(1)求t从3秒到3.1秒的平均速度；(2)求t从3秒到3.01秒的平均速度.

解析：知识运用自主练

一物体的运动方程是

s＝3＋t2，则在一小段时间[2，2.1]内相应的平均速度为()A.0.41B.3C.4D.4.1D

典例2.

求函数

y＝2x2＋3在

x0到

x0＋∆x之间的平均变化率，并求

当

x0＝2，∆x＝

时该函数的平均变化率.

典例剖析知识运用解析：因为f(x)＝2x2＋3x－5，

所以∆y＝f(x1＋∆x)－f(x1)

＝2(x1＋∆x)2＋3(x1＋∆x)－5－(2x12＋3x1－5)

＝2[(∆x)2＋2x1∆x]＋3∆x＝2(∆x)2＋(4x1＋3)∆x自主练

已知函数

f(x)＝2x2＋3x－5.(1)求当

x1＝4，且∆x＝1时，函数增量∆y和平均变化率

；(2)求当

x1＝4，且∆x＝0.1时，函数增量∆y和平均变化率.知识运用自主练

已知函数

f(x)＝2x2＋3x－5.(1)求当

x1＝4，且∆x＝1时，函数增量∆y和平均变化率

；(2)求当

x1＝4，且∆x＝0.1时，函数增量∆y和平均变化率.(1)当x1＝4，且∆x＝1时，∆y＝2＋(4×4＋3)×1＝21

所以＝21.(2)当x1＝4，且∆x＝0.1时，∆y＝2×0.12＋(4×4＋3)×0.1

＝0.02＋1.9＝1.92

所以

＝19.2∆y＝2(∆x)2＋(4x1＋3)∆x计算运动员在

这段时间里的平均速度：0≤t≤我们发现，运动员在这段时间里的平均速度为

0.显然，在这段时间内，运动员并不处于静止状态；因此，用平均速度不能准确反映运动员在这一时间段里的运动状态.h(t)＝－4.9t2＋2.8t＋11►课本P60为了精确刻画运动员的运动状态，需要引入瞬时速度的概念.瞬时速度：指物体在某一时刻的速度。

(二)瞬时速度►课本P60(二)瞬时速度为了求运动员在

t＝1

时刻的瞬时速度，我们在

t＝1之后或之前，任意取一个时刻1＋∆t，∆t是时间改变量，可以是正值，也可以是负值，但不为零.当∆t＞0时，1＋∆t在1之后；当∆t＜0时，1＋∆t

在1之前。►课本P60当∆t＜0时，在时间段[1＋∆t，1]可作类似处理。为了提高近似表示的精确度，我们不断缩短时间间隔，得到如下表格：

＝－4.9∆t－7►课本P60h(t)＝－4.9t2＋2.8t＋11当∆t＜0时，在时间段[1＋∆t，1]内当∆t＞0时，在时间段[1，1＋∆t]内∆t∆t-0.010.01-0.0010.001-0.00010.0001-0.000010.00001-0.0000010.000001............-6.951-6.9951-6.99951-6.999951-6.9999951-7.049-7.0049-7.00049-7.000049-7.0000049

►课本P60

＝－4.9∆t－7－7►课本P61

►课本P61

辨析瞬时速度平均速度区别联系刻画某一时刻运动状态刻画某一段时间内运动状态

小结1.平均速度的计算：在时间段[t0，t0＋∆t]内的平均速度为2.瞬时速度的计算：在

t0时刻的瞬时速度为典例剖析典例3.

前面问题中运动员运动状态函数关系为h(t)＝-4.9t2＋4.8t＋11.(1)求运动员在

t＝2s时的瞬时速度；(2)求运动员在

t＝0.5s时的瞬时速度；典例剖析典例3.

前面问题中运动员运动状态函数关系为h(t)＝-4.9t2＋4.8t＋11.(1)求运动员在

t＝2s时的瞬时速度；典例剖析典例3.

前面问题中运动员运动状态函数关系为h(t)＝-4.9t2＋4.8t＋11.(2)求运动员在

t＝0.5s时的瞬时速度；知识运用自主练

某物体的运动方程为s(t)＝3t2(位移单位：m，时间单位：s)，若

＝18m/s，则下列说法中正确的是(

)A.

18m/s是物体从开始到3s这段时间内的平均速度B.

18m/s是物体从3s到(3＋Δt)s这段时间内的速度C.

18m/s是物体在3s这一时刻的瞬时速度D.

18m/s是物体从3s到(3＋Δt)s这段时间内的平均速度C知识运用►课本P62自主练

一个小球从

5m的高处自由下落，其位移y(单位：m)与时间

t(单位：s)之间的关系为y(t)＝－4.9t2.求

t＝1s时小球的瞬时速度.典例剖析典例4.

一质点的运动方程为

s＝8－3t2，其中

s表示位移(单位：m)，t表示时间(单位：s).(1)求该质点在[1，1＋∆t]这段时间内的平均速度；(2)求质点在t＝1时的瞬时速度.

知识运用自主练

火箭发射

ts后，其高度(单位：m)为

h(t)＝0.9t2.求(1)在1≤

t≤2这段时间里，火箭爬高的平均速度；(2)发射后第

10s时，火箭爬高的瞬时速度.►课本P61知识运用自主练

已知质点

M做直线运动，且位移(单位：cm)随时间(单位：s)变化的函数为

s＝2t2＋3.(1)当

t＝2，∆t＝0.01时，求平均速度；

知识运用自主练

已知质点

M做直线运动，且位移(单位：cm)随时间(单位：s)变化的函数为

s＝2t2＋3.

(2)求质点

M在

t＝2时的瞬时速度.

1.如何计算平均速度